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1、计算方法电子教案第三章本讲稿第一页，共九十一页 第三章第三章 数值积分与微分数值积分与微分 在科学和工程技术问题中在科学和工程技术问题中,经常要计算一些定积分和微分经常要计算一些定积分和微分,但是由于很多函数但是由于很多函数只能用表格表示只能用表格表示,或者解析式非常复杂或者解析式非常复杂,或原函数不能用初等函数表示或原函数不能用初等函数表示.这样就只能这样就只能用数值方法求出它们满足误差要求的积分和导数的近似值用数值方法求出它们满足误差要求的积分和导数的近似值.本章主要介绍常用的数本章主要介绍常用的数值积分和数值微分方法值积分和数值微分方法.3.1 Newton-Cotes公式公式本讲稿第二

2、页，共九十一页本讲稿第三页，共九十一页数值积分问题可分解为下述的三个主要问题数值积分问题可分解为下述的三个主要问题:(1)求积公式的具体构造问题求积公式的具体构造问题;(2)精确性程度的衡量标准问题精确性程度的衡量标准问题;(3)误差估计问题误差估计问题.要解决第一个问题要解决第一个问题,我们必须考虑节点我们必须考虑节点xk和系数和系数Ak的选择而为的选择而为了解决第二个问题了解决第二个问题,将引入代数精度的概念将引入代数精度的概念;第三个问题第三个问题,则主要则主要是借助于插值多项式的余项估计公式来解决是借助于插值多项式的余项估计公式来解决.代数精度代数精度:定义定义3.1:一个求积公式一个

3、求积公式(3.1)若对若对f(x)=1,x,x2,xm精确成立精确成立,而对而对f(x)=xm+1不精确成立不精确成立,则称求积公式则称求积公式(3.1)具有具有m次代数精确度次代数精确度.可以看出可以看出m越大越大,求积公式求积公式(3.1)与原积分与原积分 接近程度也越高接近程度也越高.代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一.本讲稿第四页，共九十一页例例3.1:确定下面的求积公式确定下面的求积公式,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高本讲稿第五页，共九十一页本节着重讨论利用拉格朗日插值多项式来构造一种常用的插值型求积公式本节着重讨论利用

4、拉格朗日插值多项式来构造一种常用的插值型求积公式Newton-Cotes求积公式求积公式.3.1.1 梯形公式梯形公式 利用拉格朗日线性插值多项式来构造低阶的数值求积公式利用拉格朗日线性插值多项式来构造低阶的数值求积公式.过过a,b两点两点,得到拉格朗日线性插值多项式得到拉格朗日线性插值多项式 式式(3.2)几何意义如下图几何意义如下图1所示所示,所以我们也把式所以我们也把式(3.2)叫做梯形求叫做梯形求积公式积公式,也可以简称为梯形公式也可以简称为梯形公式.本讲稿第六页，共九十一页yxab0y=f(x)y=L1(x)图图1 梯形公式的代数精度：梯形公式的代数精度：本讲稿第七页，共九十一页 因

5、此因此,梯形公式的代数精度是梯形公式的代数精度是1次次.表明如果被积函数为线性函数表明如果被积函数为线性函数,那那么用梯形公式计算出的积分值是精确的么用梯形公式计算出的积分值是精确的.本讲稿第八页，共九十一页3.1.2 Simpson公式公式 对于梯形公式对于梯形公式,我们是采用拉格朗日线性插值多项式来进行构造我们是采用拉格朗日线性插值多项式来进行构造的的.为了减小误差为了减小误差,可以增加求积节点的数量可以增加求积节点的数量,构造更高次的插值多项构造更高次的插值多项式来逼近被积函数式来逼近被积函数f(x).现在我们用拉格朗日二次插值多项式来构造求现在我们用拉格朗日二次插值多项式来构造求积公式

6、积公式.1、求积公式：、求积公式：本讲稿第九页，共九十一页 式式(3.4)几何意义如图几何意义如图2所示所示,我们把式我们把式(3.4)叫做叫做Simpson求积公式求积公式,也可以简称为也可以简称为Simpson公式或抛物线公式公式或抛物线公式.本讲稿第十页，共九十一页y=f(x)y=L2(x)0baxy图图2 2、Simpson求积公式的代数精度和误差余项求积公式的代数精度和误差余项.本讲稿第十一页，共九十一页表明如果被积函数为三次以下表明如果被积函数为三次以下(包括三次包括三次)多项式函数多项式函数,那么用那么用Simpson公式计算出的积分值是精确的公式计算出的积分值是精确的.误差余项

7、：因为误差余项：因为Simpson公式的代数精度是公式的代数精度是3次次,所以先考虑所以先考虑构造一个三次插值多项式构造一个三次插值多项式P3(x)满足以下条件满足以下条件.本讲稿第十二页，共九十一页本讲稿第十三页，共九十一页本讲稿第十四页，共九十一页3.1.3 Newton-Cotes公式公式 讨论讨论:将区间将区间a,b n等分等分,得到等距节点得到等距节点,用拉格朗日用拉格朗日n次插值多项式来逼近被次插值多项式来逼近被积函数积函数f(x).其得到的对应数值求积公式其得到的对应数值求积公式.本讲稿第十五页，共九十一页本讲稿第十六页，共九十一页 cotes系数的计算：当 n=1时，k=0,1

8、当n=2时，k=0,1,2本讲稿第十七页，共九十一页利用式利用式(3.8)可以求出可以求出Cotes系数系数,下表中列出了部分结果下表中列出了部分结果.很显然很显然,当当n=1和和n=2时时,分别就是前面导出的梯形公式和分别就是前面导出的梯形公式和Simpson公式公式.n12345678本讲稿第十八页，共九十一页本讲稿第十九页，共九十一页 对于对于n阶阶Newton-Cotes求积公式，至少具有求积公式，至少具有n次代数精度。可次代数精度。可以证明：以证明：n+1个节点的插值型求积公式至少具有个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度，而当次代数精度，而当n为偶数时具有为偶数时具有n+1次代

9、数精度。次代数精度。讨论讨论：1、Newton-Cotes求积公式的收敛性求积公式的收敛性本讲稿第二十页，共九十一页 很显然，很显然，Newton-Cotes求积公式是收敛的。求积公式是收敛的。2、稳定性主要研究计算求积公式、稳定性主要研究计算求积公式(3.1)时，当时，当f(xk)有误差有误差 时时 ,I(f)的误差是否会增长的误差是否会增长?本讲稿第二十一页，共九十一页本讲稿第二十二页，共九十一页本讲稿第二十三页，共九十一页 由此当由此当n77时，时，Newton-CotesNewton-Cotes求积公式数值稳定，因此一般情况求积公式数值稳定，因此一般情况下下n8n8的的Newton-C

10、otesNewton-Cotes求积公式不采用。求积公式不采用。为方便使用为方便使用Newton-Cotes公式公式,将将36阶阶Newten-Cotes积分公式积分公式归纳如下归纳如下:本讲稿第二十四页，共九十一页本讲稿第二十五页，共九十一页本讲稿第二十六页，共九十一页本讲稿第二十七页，共九十一页3.2 复化积分公式复化积分公式3.2.1 复化梯形公式复化梯形公式本讲稿第二十八页，共九十一页本讲稿第二十九页，共九十一页3.2.2 复化复化Simpson公式公式本讲稿第三十页，共九十一页例例3.4 用用n=8的复化梯形公式及的复化梯形公式及n=4的复化的复化Simpson公式公式,计算积分计算

11、积分本讲稿第三十一页，共九十一页解解:只要将区间只要将区间0,1分为分为8等分等分,用复化梯形公式时用复化梯形公式时n=8,h=0.125,对复对复合合Simpson公式取公式取n=4,h=0.25.计算各分点计算各分点xk的函数值的函数值f(xk).由公式由公式(3.11)及式及式(3.13)得下表得下表:kxkf(xk)kxkf(xk)001.000000050.6250.936155610.1250.997397860.750.908851620.250.989615870.8250.877192530.3750.9767267810.841470940.50.9588510 由式由式(

12、3.11)及式及式(3.13)得得本讲稿第三十二页，共九十一页本讲稿第三十三页，共九十一页本讲稿第三十四页，共九十一页例例3.5 若用复化梯形公式求若用复化梯形公式求 的近似值的近似值,问要将积分区间问要将积分区间0,1分成多分成多少份才能保证计算结果有少份才能保证计算结果有4位有效数字位有效数字?若用复化若用复化Simpson求积公式呢求积公式呢?解解:(1)用复化梯形求积公式用复化梯形求积公式 即若用复化梯形公式求即若用复化梯形公式求I(f)的近似值的近似值,需将需将0,141等分才能保证等分才能保证计算结果有计算结果有4位有效数字位有效数字.本讲稿第三十五页，共九十一页(2)用复化用复化

13、Simpson 求积公式求积公式3.2.3 逐次分半梯形积分公式与龙贝格积分公式逐次分半梯形积分公式与龙贝格积分公式 一、逐次分半梯形积分公式一、逐次分半梯形积分公式 1、基本步骤基本步骤:本讲稿第三十六页，共九十一页本讲稿第三十七页，共九十一页本讲稿第三十八页，共九十一页本讲稿第三十九页，共九十一页本讲稿第四十页，共九十一页本讲稿第四十一页，共九十一页本讲稿第四十二页，共九十一页本讲稿第四十三页，共九十一页 例3.6 用变步长的复合Simpson公式计算定积分 解：利用例3.4给出的结果，先取h=b-a=1,则：将步长折半，h=0.5,则本讲稿第四十四页，共九十一页 再将步长折半，h=0.2

14、5,由例3.4可得。本讲稿第四十五页，共九十一页二、RombergRomberg算法 Romberg算法是利用复合梯形公式，在对积分区间的步长逐次折半的过程中，求得积分 的近似值序列 （其中k表示对求积区间a,b的对分次数,k=0,1,2,),并且利用误差补偿的方法，逐步将 加工(递推)成具有高精度的积分近似值。本讲稿第四十六页，共九十一页由由3.16式式本讲稿第四十七页，共九十一页本讲稿第四十八页，共九十一页T数表kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)0123T0(0)T0(1)T0(2)T0(3)T1(0)T1(1)T1(2)T2(0)T2(1)T3(0)梯形公式辛普生公式

15、Cotes公式龙贝格公式本讲稿第四十九页，共九十一页本讲稿第五十页，共九十一页kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)00.920 735 4910.939 793 280.946 145 8820.944 513 520.946 086 930.946 083 0030.945 690 860.946 083 310.946 083 070.946 083 07本讲稿第五十一页，共九十一页本讲稿第五十二页，共九十一页3.3 Gauss型求积公式型求积公式 一一.问题问题：在节点数目固定为在节点数目固定为n+1的条件下的条件下,能否恰当地选择节点能否恰当地选择节点位置和相应的系数

16、位置和相应的系数,使求积公式使求积公式具有最大的代数精度具有最大的代数精度.首先分析一下对于首先分析一下对于n+1个节点个节点,求积公式求积公式(3.1)可以达到的最大代数精可以达到的最大代数精度是多少度是多少?设上述求积公式对所有设上述求积公式对所有m(m待定待定)次多项式次多项式是准确的是准确的,于是有于是有本讲稿第五十三页，共九十一页 由于由于a0,a1,am的任意性的任意性,(3.35)式成立的充分必要条件是式成立的充分必要条件是本讲稿第五十四页，共九十一页 在方程组在方程组(3.36)中有中有2n+2个待定常数个待定常数,所以所以m最大为最大为2n+1,即对即对于于n+1个节点的求积

17、公式个节点的求积公式,可能达到最大代数精度为可能达到最大代数精度为2n+1.并且可以证并且可以证明方程组明方程组(3.36)当当m=2n+1时是可解的时是可解的,也就是说也就是说,确实可以找到一组确实可以找到一组xk和和Ak使求积公式使求积公式(3.33)达到达到2n+1次代数精度次代数精度.下面的问题是如何选取下面的问题是如何选取这些节点这些节点xk、Ak.本讲稿第五十五页，共九十一页本讲稿第五十六页，共九十一页本讲稿第五十七页，共九十一页本讲稿第五十八页，共九十一页本讲稿第五十九页，共九十一页本讲稿第六十页，共九十一页本讲稿第六十一页，共九十一页本讲稿第六十二页，共九十一页定理定理3.2

18、Gauss型求积公式的系数型求积公式的系数Ak0(k=0,1,n).证明证明:由于由于Gauss型求积公式对任何不大于型求积公式对任何不大于(2n+1)次的多项式精次的多项式精确成立确成立,若取若取3.3.1 Gauss-Legendre求积公式求积公式 本讲稿第六十三页，共九十一页本讲稿第六十四页，共九十一页nxkAknxkAk00250.93246951420.66120938650.23861918610.1713244924036076157300467913934610.5773502692120.774596669200.55555555560.888888888960.94910

19、791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183730.86113631160.33998104360.34785484510.652145154970.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783440.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889表表3.2本讲稿第六十五页，

20、共九十一页本讲稿第六十六页，共九十一页本讲稿第六十七页，共九十一页Gauss-Legendre求积公式求积公式,必须用变量替换方法把区间必须用变量替换方法把区间a,b变换到变换到-1,1.替换过程如下替换过程如下.令令本讲稿第六十八页，共九十一页本讲稿第六十九页，共九十一页3.3.2 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式本讲稿第七十页，共九十一页本讲稿第七十一页，共九十一页本讲稿第七十二页，共九十一页本讲稿第七十三页，共九十一页本讲稿第七十四页，共九十一页本讲稿第七十五页，共九十一页本讲稿第七十六页，共九十一页本讲稿第七十七页，共九十一页3.4 数值微分数值微分 一个函数是初等函数一

21、个函数是初等函数,我们可以用求导法则来求得其导函数或在我们可以用求导法则来求得其导函数或在某点的导数值某点的导数值.但是如果我们只知道一个函数在若干已知离散点上的但是如果我们只知道一个函数在若干已知离散点上的函数值则我们就必须利用数值方法来求解函数的导数函数值则我们就必须利用数值方法来求解函数的导数,这就需要数值这就需要数值微分方法微分方法.3.4.1 数值微分中最简单的方法数值微分中最简单的方法,也是最基本的方法也是最基本的方法,就是利用差就是利用差商替代导数商替代导数.在微积分中在微积分中,导数使用极限来定义的导数使用极限来定义的,如如:本讲稿第七十八页，共九十一页 式式(3.42)(3.

22、44)也分别称为向前差商数值微分公式、向后差也分别称为向前差商数值微分公式、向后差商数值微分公式和中心差商数值微分公式商数值微分公式和中心差商数值微分公式.对于这三个数值微分公式的误差对于这三个数值微分公式的误差,我们可以利用泰勒展开式求得我们可以利用泰勒展开式求得:(1)向前差商数值微分公式向前差商数值微分公式,由由Taylor展开式展开式本讲稿第七十九页，共九十一页本讲稿第八十页，共九十一页 从上述推导过程可以看出，向前差商数值微分公式和向后差商数从上述推导过程可以看出，向前差商数值微分公式和向后差商数值微分公式的精度都是值微分公式的精度都是O(h)，而中心差商数值微分公式的精度是，而中心

23、差商数值微分公式的精度是O(h2)。例例3.14 用下表中数据：用下表中数据：x0.010.020.030.04f(x)0.01210.01240.01290.0136本讲稿第八十一页，共九十一页本讲稿第八十二页，共九十一页3.4.2 用用Taylor展开式求数值微分公式展开式求数值微分公式本讲稿第八十三页，共九十一页本讲稿第八十四页，共九十一页(3.46)式是精度为式是精度为O(h4)的中心差商数值微分公式的中心差商数值微分公式.本讲稿第八十五页，共九十一页本讲稿第八十六页，共九十一页3.4.3 用插值多项式求微商用插值多项式求微商本讲稿第八十七页，共九十一页本讲稿第八十八页，共九十一页本讲

24、稿第八十九页，共九十一页本讲稿第九十页，共九十一页 从上面这些数值微分公式及其预想的分析来看，似乎从上面这些数值微分公式及其预想的分析来看，似乎h越小精越小精度越高，但在实际计算中并不完全如此。因为在实际计算中，截度越高，但在实际计算中并不完全如此。因为在实际计算中，截断误差只是误差的一个部分，此外还有舍入误差，而数值微分恰断误差只是误差的一个部分，此外还有舍入误差，而数值微分恰好对舍入误差非常敏感，它随好对舍入误差非常敏感，它随h的缩小而增大，造成计算的不稳定的缩小而增大，造成计算的不稳定性，所以在计算数值微分时，要特别注意误差分析，性，所以在计算数值微分时，要特别注意误差分析，h不能取得过不能取得过小。小。本讲稿第九十一页，共九十一页