计算结构力学精选文档.ppt

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1、计算结构力学1本讲稿第一页，共五十页2.1 强形式和弱形式强形式和弱形式1.强形式强形式(Strong From)解析方法解析方法 闭合解闭合解 级数解级数解有限差分法有限差分法2.弱形式弱形式(Weak From)瑞利瑞利-里兹法里兹法加权残值法加权残值法 伽辽金法伽辽金法 最小二乘法最小二乘法 配置法配置法(配点法，子域法）配点法，子域法）矩量法矩量法有限元法有限元法边界元法（？）边界元法（？）无网格法（？）无网格法（？）求泛函求泛函的极值的极值求解方法求解方法数理方程数理方程欧拉方程欧拉方程控制方程控制方程泛函积分方程泛函积分方程2本讲稿第二页，共五十页2.1 强形式和弱形式强形式和弱形

2、式3.解析解解析解齐次方程为：齐次方程为：其特征方程为其特征方程为:特征解为特征解为:齐次方程的通解为齐次方程的通解为 非齐次方程非齐次方程 特解为特解为原方程的通解为原方程的通解为:利用边界条件：利用边界条件：得到：得到：最终解析解为最终解析解为:得，得，3本讲稿第三页，共五十页2.2 有限差分法有限差分法Finite Difference Method-FDM直接求解控制方程直接求解控制方程 4本讲稿第四页，共五十页2.2 有限差分法有限差分法5本讲稿第五页，共五十页 直接求解变分的积分方程的近似解法，如李兹法、直接求解变分的积分方程的近似解法，如李兹法、加权残值法加权残值法、有限元法等。

3、有限元法等。开创了弹性力学问题的近似解法开创了弹性力学问题的近似解法 未知函数未知函数y(x)近似由线性组合给出：近似由线性组合给出：2.3 瑞利瑞利-里兹法里兹法直接求解泛函积分方程直接求解泛函积分方程 6本讲稿第六页，共五十页2.3 瑞利瑞利-里兹法里兹法 The Rayleigh-Ritz Method求泛函求泛函的极值问题解的极值问题解设设为基函数为基函数解得解得从而求出数值解从而求出数值解7本讲稿第七页，共五十页【例题】例题】【解答】【解答】2.3 瑞利瑞利-里兹法里兹法8本讲稿第八页，共五十页【例题】例题】【解答】【解答】2.3 瑞利瑞利-里兹法里兹法9本讲稿第九页，共五十页2.3

4、 瑞利瑞利-里兹法里兹法10本讲稿第十页，共五十页2.4 加权残数法加权残数法Weight-Residual Method残值残值控制方程控制方程 泛函积分方程泛函积分方程11本讲稿第十一页，共五十页伽辽金法：伽辽金法：配点法：配点法：最小二乘法：最小二乘法：矩量法：矩量法：权函数权函数取控制方程在加权意义上的全域积分取控制方程在加权意义上的全域积分子域法：子域法：12本讲稿第十二页，共五十页2.4 加权残数法：伽辽金法加权残数法：伽辽金法1）Bubnov-Galerkin Method13本讲稿第十三页，共五十页2.4 加权残数法：最小二乘法加权残数法：最小二乘法2）Least Square

5、s Method基函数基函数14本讲稿第十四页，共五十页2.4 加权残数法：配置法加权残数法：配置法1）配点法配点法(Point Collection Method)3）Collection Method一维一维 函数的主要性质函数的主要性质15本讲稿第十五页，共五十页2.4 加权残数法：配置法加权残数法：配置法4）子域法子域法(Subdomain Collection Method)ax1b将整个域V分成n个子域Vi（i=1,2,n）,权函数选为16本讲稿第十六页，共五十页2.4 加权残数法：矩量法加权残数法：矩量法5）矩量法：矩量法：17本讲稿第十七页，共五十页2.5 伽辽金法和李兹法的关

6、系伽辽金法和李兹法的关系1）都是积分方程式；）都是积分方程式；2）伽辽金法是用控制微分方程的误差的积分，李兹法是）伽辽金法是用控制微分方程的误差的积分，李兹法是本身泛函的积分，前者含有更高阶导数；本身泛函的积分，前者含有更高阶导数；3）是同一物理现象的不同表现。）是同一物理现象的不同表现。18本讲稿第十八页，共五十页2.6.1 平衡条件平衡条件1）域内平衡方程）域内平衡方程2）在）在S(力边界上力边界上)的平衡方程的平衡方程2.6 弹性理论变分原理弹性理论变分原理19本讲稿第十九页，共五十页2.6.2 变形协调条件变形协调条件1）域内位移连续条件）域内位移连续条件2）在位移边界）在位移边界Su

7、上的位移协调条件上的位移协调条件20本讲稿第二十页，共五十页2.6.3 物理关系物理关系1）应力应变关系）应力应变关系21本讲稿第二十一页，共五十页2.6.4 虚功原理虚功原理笛卡尔坐标形式：22本讲稿第二十二页，共五十页2.6.4 虚功原理虚功原理分部积分：分部积分：最小势能原理最小势能原理张量形式：前提：位移连续条件严格满足，但放松力前提：位移连续条件严格满足，但放松力 的平衡条件式的平衡条件式23本讲稿第二十三页，共五十页 虚功原理表示式虚功原理表示式其定义为：连续弹性体平衡的必要和充分的条件是对于任意其定义为：连续弹性体平衡的必要和充分的条件是对于任意虚位移，外力所做的虚功等于内力所做

8、的虚功，也称为虚位虚位移，外力所做的虚功等于内力所做的虚功，也称为虚位移原理。移原理。24本讲稿第二十四页，共五十页 最小最小势能势能原理：在所有满足几何边界条件的原理：在所有满足几何边界条件的位移位移中，使中，使系统的势能为最小的系统的势能为最小的位移位移，就是能满足平衡条件的真实的，就是能满足平衡条件的真实的位移位移。分别表示弹性体的变形能和外载做功。分别表示弹性体的变形能和外载做功。它是有限元法中位移法的基础它是有限元法中位移法的基础导出单元刚度阵导出单元刚度阵25本讲稿第二十五页，共五十页 弹性体在外力作用下变形并处于平衡状态，弹性体所具有的弹性体在外力作用下变形并处于平衡状态，弹性体

9、所具有的总势能（或总位能）由三部分组成总势能（或总位能）由三部分组成26本讲稿第二十六页，共五十页27本讲稿第二十七页，共五十页2.6.5 余虚功原理余虚功原理最小余能原理最小余能原理28本讲稿第二十八页，共五十页 最小最小余能余能原理：在所有能满足平衡条件和应力边界条件的原理：在所有能满足平衡条件和应力边界条件的应应力状态力状态中，使系统的余能为最小的应力状态，就是能满足变形协中，使系统的余能为最小的应力状态，就是能满足变形协调条件和位移边界条件的真实的调条件和位移边界条件的真实的应力状态应力状态。.29本讲稿第二十九页，共五十页第3章 有限元法一）有限元法的基本思路一）有限元法的基本思路1

10、）把连续的弹性体进行离散化；把连续的弹性体进行离散化；离散原则离散原则:几何近似和物理近似几何近似和物理近似2 2）建立单个单元内的位移函数）建立单个单元内的位移函数-试函数；试函数；3 3）利用变分原理建立单元刚度方程）利用变分原理建立单元刚度方程-单元刚度阵和节点力向量单元刚度阵和节点力向量4 4）在总体坐标系组装，建立整体刚度阵和力阵，建立有）在总体坐标系组装，建立整体刚度阵和力阵，建立有 限元法基本方程，求解未知位移；限元法基本方程，求解未知位移；5 5）求解单元的应力，应变等。）求解单元的应力，应变等。30本讲稿第三十页，共五十页二）二）单元类型单元类型1）一维单元）一维单元2）二维

11、单元）二维单元31本讲稿第三十一页，共五十页三）三维单元三）三维单元32本讲稿第三十二页，共五十页1.平面问题有限元法平面问题有限元法1.1 1.1 结构离散时应注意的问题结构离散时应注意的问题1 1）单元数目的确定应兼顾精度）单元数目的确定应兼顾精度,经济性和计算机容量的要求；经济性和计算机容量的要求；2 2）在初步分析的基础上进行离散；）在初步分析的基础上进行离散；3 3）每单元上的各边边长应尽量接近，以提高计算精度。）每单元上的各边边长应尽量接近，以提高计算精度。4 4）除边界点外，任意一个单元的角点（顶点或节点）必）除边界点外，任意一个单元的角点（顶点或节点）必须同时也是相邻单元的角点

12、，而不能是内点。须同时也是相邻单元的角点，而不能是内点。33本讲稿第三十三页，共五十页3）4）34本讲稿第三十四页，共五十页1.2.2 单元位移函数单元位移函数1）广义坐标系下单元位移函数）广义坐标系下单元位移函数注意项数的问题？注意项数的问题？35本讲稿第三十五页，共五十页对于三角形单元，有对于三角形单元，有3个节点，位移函数取：个节点，位移函数取：xyi节点:(ui,vi)j节点:(uj,vj)m节点:(um,vm)单元节点位移列阵：单元节点位移列阵：36本讲稿第三十六页，共五十页综合位移函数和综合位移函数和3节点处的位移值，可求得系数节点处的位移值，可求得系数a1,a2,a3,a4,a5

13、,a6代入位移函数表达式，并写成矩阵形式：代入位移函数表达式，并写成矩阵形式：37本讲稿第三十七页，共五十页其中，其中，称为称为插值函数插值函数插值函数的性质：插值函数的性质：1）在节点上插值函数的值有）在节点上插值函数的值有2）在单元中任一点各插值函数之和为）在单元中任一点各插值函数之和为1，即，即:Ni+Nj+Nm=1；3）连续性和完整性以及几何各向同性。）连续性和完整性以及几何各向同性。38本讲稿第三十八页，共五十页1.2.3 单元刚度方程的推导单元刚度方程的推导1）几何关系）几何关系39本讲稿第三十九页，共五十页2）物理关系）物理关系A)对于平面应力问题对于平面应力问题40本讲稿第四十

14、页，共五十页B)对于平面应变问题对于平面应变问题41本讲稿第四十一页，共五十页3）单元总势能）单元总势能I)单元内应变能密度单元内应变能密度II)单元内总势能单元内总势能42本讲稿第四十二页，共五十页根据变分原理，总势能泛函取得极值的条件是对未知位移根据变分原理，总势能泛函取得极值的条件是对未知位移的一阶变分为的一阶变分为0，即：，即：单元刚度阵单元刚度阵4）单元刚度阵）单元刚度阵43本讲稿第四十三页，共五十页单元刚度阵的性质：单元刚度阵的性质：1）是对称矩阵；）是对称矩阵；2）主对角线元素恒为正；）主对角线元素恒为正；3）是奇异矩阵）是奇异矩阵44本讲稿第四十四页，共五十页5）结构刚度方程）

15、结构刚度方程 单元刚度方程建立后，即可按对号入座原则，组集总单元刚度方程建立后，即可按对号入座原则，组集总体结构刚度矩阵，即体结构刚度矩阵，即直接作用在节点上的集直接作用在节点上的集中外荷向量中外荷向量结构刚度方程：结构刚度方程：45本讲稿第四十五页，共五十页6）组装刚度阵）组装刚度阵124365节点和单元编号I）总体矩阵中的位置之）总体矩阵中的位置之11234自由度编号(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)123446本讲稿第四十六页，共五十页II）总体矩阵中的位置）总体矩阵中的位置 之之2-（消除被约束自由度的编号）（消除被约束自由度的编号）自由度编号(1,2)

16、(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)1234自由度编号(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)123447本讲稿第四十七页，共五十页II）1单元组装单元组装1ijmi1,i2j1,j2m1,m2自由度编号(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)1234m1 m23 448本讲稿第四十八页，共五十页II）2单元组装单元组装自由度编号(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)1234ijm(i1,i2)(j1,j2)(m1m2)2m11m22j13j2449本讲稿第四十九页，共五十页7）等效节点载荷）等效节点载荷8）有位移值边界条件的处理）有位移值边界条件的处理50本讲稿第五十页，共五十页