2019版高中数学 第3章 不等式 3.5.2 简单线性规划学案 新人教B版必修5.doc

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1、13.5.23.5.2 简单线性规划简单线性规划1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数.(重点)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题.(重点、难点)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.(易混点)基础初探教材整理 1 线性规划中的基本概念阅读教材 P90P91例 1，完成下列问题.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最

2、优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)可行域是一个封闭的区域.( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的.( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.( )(4)线性规划问题一定存在最优解.( )【解析】 (1)错误.可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的.(2)错误.在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无2最优解，故该说法错误.(3)正确.满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解

3、，所以最优解一定是可行解.(4)错误.线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的.【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 简单的线性规划阅读教材 P91例 1P94，完成下列问题.线性目标函数的最值线性目标函数zaxby(b0)对应的斜截式直线方程是yx ，它表示斜率为a bz b ，在y轴上的截距是 的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.a bz b当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小.再练一题1

4、.若x，y满足约束条件Error!则zxy的最大值为_.【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.由Error!得A.(1，1 2)当直线zxy过点A时，zmax1 .(1，1 2)1 23 2【答案】 3 2非线性目标函数的最优解问题变量x，y满足Error!(1)设z ，求z的最小值；y x(2)设zx2y2，求z的取值范围.【精彩点拨】 (1)式子z 可进行怎样的改写？y x6表示的几何意义是什么？y0 x0当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？(2)代数式x2y2可以怎样进行改写？x2y2的几何意义是什么？【自主解答】 由约束条件Error!作出(x，y)的可行域如图所

5、示.由Error!解得A.(1，22 5)由Error!解得C(1,1)，由Error!解得B(5,2).(1)z ，y xy0 x0z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zminkOB .2 5(2)zx2y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，2292z29.1.利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确.2.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目

6、标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，zx2y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.7(2)z型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.yb xa(3)z|AxByC|可转化为点(x，y)到直线AxByC0 的距离的倍.A2B2再练一题2.设x，y满足条件Error! 【导学号：18082052】(1)求ux2y2的最大值与最小值；(2)求v的最大值与最小值.y x5【解】 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，(1)x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆

7、O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小.又C(3,8)，所以umax73，umin0.(2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCDy x5最小，又C(3,8)，B(3，3)，所以vmax ，vmin4.3 353 28 35探究共研型利用线性规划解决实际问题某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元.2 3探究 1 设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？【提示】 Error!探究 2 若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0

8、.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？【提示】 根据公司所获利润投资项目甲获得的利润投资项目乙获得的利润，可8得z与x，y的关系为z0.4x0.6y.探究 3 x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？【提示】 x，y必须在线性约束条件Error!下取值.x，y取不同的值，直接影响z的取值.某人承揽一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个.现有两种规格的原料，甲种规格每张 3 m2，可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个；乙种规格每张 2 m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规

9、格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.【精彩点拨】 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.【自主解答】 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，由题意可得Error!所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图.在一组平行直线z3x2y中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2xy5 和直线x2y4 的交点(2,1)，最优解为x2，y1.使用甲种规格原料 2 张，乙种规格原料 1 张，可使总的用料面积最小.解答线性规划应用题的一般步骤：1审题仔细阅读，对关键部分进行“精读” ，准确理解题意，明确有哪些限制条件，

10、起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.2转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.3求解解这个纯数学的线性规划问题.4作答就应用题提出的问题作出回答.再练一题3.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力9限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱.货物每箱体积/m3每箱重量/kg每箱利润/百元甲5220乙4510托运能力限制数2413【解】 设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，由题意得Error!z20x10y，作出可行域如图所

11、示，作直线l：20x10y0，当直线z20x10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8,0)不是整点，解方程组Error!得点B(4,1)为整点.所以甲货物托运 4 箱，乙货物托运 1 箱，可获得最大利润.1.zxy在Error!的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A.(0,1)B.(1，1)C.(1,0)D.(1 2，1 2)【解析】 可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1 时，z1；当x1，y1 时，z0；当x1，y0 时，z1；当x ，y 时，z0.排除选项1 21 2A，B，D，故选 C.【答案】 C2.已知变量x，y满足约束条件Error!则zx2y的最小值为( )A

12、.3B.1C.5D.6【解析】 由约束条件作出可行域如图：由zx2y得yx ， 的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线yx1 2z 2z 21 210过直线x1 和xy1 的交点A(1，2)时，z最小，最小值为5，故选 C.z 2【答案】 C3.已知实数x，y满足Error!则目标函数zx2y的最小值是_.【解析】 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.目标函数可化为yxz，1 21 2作直线yx及其平行线，知当此直线经过点A时，z的值最大，即z的值最小.又A1 21 2点坐标为(3,6)，所以z的最小值为 3269.【答案】 94.已知点P(x，y)的坐标满足条件Error!点O为坐标原点

13、，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_. 【导学号：18082053】【解析】 点P(x，y)满足的可行域为ABC区域，A(1，1)，C(1,3).由图可得，|PO|min|AO|；2|PO|max|CO|.10【答案】 2105.某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品 5 件和B类产品 10 件，乙种设备每天能生产A类产品 6 件和B类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产A类产品 50 件，B类产品 140 件，所需租赁费最少为多少元？【解】 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，由题意得Error!z200x300y.作出如图所示的可行域.11令z0，得l0：2x3y0，平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值.又由Error!得A点坐标为(4,5).所以zmin420053002 300.答：该公司至少要生产 A 类产品 50 件，B 类产品 140 件，所需租赁费最少为 2 300 元.