《医药数理统计》PPT课件.ppt

《《医药数理统计》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《医药数理统计》PPT课件.ppt（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些变量某些方面的重要特征的一些数值数值。3.1 随机变量的数学期望；随机变量的数学期望；3.2 随机变量的方差随机变量的方差；本章内容：本章内容：数字特征数字特征第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数若级数，则称级数和，则称级数和为随机变量为随机变量 X 的的数学期望数学期望（或均值），（或均

2、值），记作记作E（X）随随机机变变量量 X 的的数数学学期期望望完完全全是是由由它它的的概概率率分分布布确确定定的的，而不应受而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在否则，称随机变量的数学期望不存在解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例例1 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为求求 若将此例视为甲、乙两队若将此例视为甲、乙两队“比赛比赛”，甲队赢的概率为，甲队赢的概率为0.6，输的概率为，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得，并且甲队每赢一次得3分，每输一分，每输一次扣次扣1分，则分，则 E(X)=

3、1.4 是指甲队平均每次可得分是指甲队平均每次可得分 定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分，若积分 说明：如果积分说明：如果积分 不收敛不收敛，则称随机变则称随机变量量X的的数学期望不存在。数学期望不存在。收敛，则称积分值收敛，则称积分值 为为X的数学期望（或的数学期望（或均值）。记作均值）。记作E(X)，2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望试证试证X的数学期望不存在的数学期望不存在证证 因为因为 例例2 设随机变量设随机变量X 服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为即即 不收敛，所以不收敛，所以X的数学期望的数学期望不存

4、在不存在 求求X的数学期望（的数学期望（page 56）.例例3 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为解解3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望如果级数如果级数 收敛，则有收敛，则有 定理定理3 设设X是随机变量，是随机变量，Y=g(X)是是X的连续函数，则有的连续函数，则有(1)若若 为离散型变量，其概率函数为为离散型变量，其概率函数为(2)如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分如果积分 收敛收敛则有则有求求E(X2)及及E(2X-1).例例3.5 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为证证 可可

5、将将C看看成成离离散散型型随随机机变变量量，分分布布律律为为 PX=C=1，故故由由定定义即得义即得E(C)=C.2.设设C为常数，为常数，X为随机变量，则有为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证证 设设X的密度函数为的密度函数为 ，则有，则有 3.设设 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 1.设设C为常数，则有为常数，则有E(C)=C 4.数学期望的性质数学期望的性质4.设设X,Y为相互独立的随机变量，则有为相互独立的随机变量，则有注：3、4可以推广到有限个的情形解解:二项分布的均值二项分布的均值Poisson Poisson 分布分布解解:解解:均匀分布均匀分布指数分布解解

6、:常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)例例 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血,可采用两可采用两种种方法验血：方法验血：(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(2)将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性性,则此则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性个人的血只需化验一次；若为阳性,则则对对 k 个人的血

7、逐个化验，找出有病者个人的血逐个化验，找出有病者,这时这时 k 个人个人的血需化验的血需化验 k+1 次次.设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为p p，且每个人是否为阳，且每个人是否为阳性是相互独立的性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化试说明选择哪一种方法可以减少化验次数验次数 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，设共分成的倍数，设共分成 n/k 组组第第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X iXi P 1 k+1解解:若若则则EX n例如，例如，中位数、众数和分位点中位数、众数和分位点定义定义定义定义定义定义例例例例解解:解解:双双侧侧 分位数的概念

8、分位数的概念 设设X 为连续型随机变量为连续型随机变量,其概率密度函数为其概率密度函数为f(x)则对于满足则对于满足 0 1/2 的的 ,则称则称 x/2 为为X 所服从的分布的所服从的分布的双侧双侧 分位数分位数 若若标准正态分布的上标准正态分布的上 分位数分位数 z u 常用常用数字数字/2-u/2=u1-/2/2 u/2-u/2 四分位数指四分位数指例：page63 例3.11若E X-E(X)2 存在,则称其为随机称为 X 的均方差均方差或标准差标准差.方差的定义方差的定义定义定义1 即 V(X)=E X-E(X)2 变量 X 的方差方差,记为V(X)或 Var(X)两者量纲相同两者量

9、纲相同 D(X)描述 随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 数若 X 为离散型 随机变量，随机变量，分布律为若 X 为连续型随机变量随机变量，概率密度为 f(x)计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：(1)V(C)=0(2)V(aX)=a2V(X)（3）若X,Y 相互独立，则方差的性质方差的性质若相互独立，为常数则常见随机变量的方差(P.70)分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)例例1 1 设X P(),求V(X).解解方差的计算方差的计算例例2 2 设X B(n,p)，求V(X).解解引入随机变量相互独立，故例例3 设 X N(,2),求 V(X)解解仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差 并不能确定其分布并不能确定其分布P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如K阶原点矩和阶原点矩和K阶中心矩的概念阶中心矩的概念