1-复变函数.ppt

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1、数数 学学 物物 理理 方方 法法课号 课序号：0122001110-0 周二上午课号 课序号：0122001110-1 周二下午课号 课序号：0122001110-4 周三下午课号 课序号：0122001110-5 周五上午主讲：张福军主讲：张福军Tel:13031709488Tel:13031709488绪论绪论“数学物理方法数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理。本课程在高等数学和普通物理学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后续的理论物理课和专业课做准备。续的理论物理

2、课和专业课做准备。课程的主要内容有：课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程复变函数论和数学物理方程两大部分。两大部分。2绪论绪论教材与参考书：教材与参考书：梁梁昆昆淼淼，数数学学物物理理方方法法（第第四四版版），高高等等教教育育出出版版社社，20102010年年斯斯颂颂乐乐，徐徐世世良良等等数数学学物物理理方方法法习习题题解解答答，天天津津科科学学技术出版社，技术出版社，19821982年年姚姚端端正正、梁梁家家宝宝，数数学学物物理理方方法法，武武汉汉大大学学出出版版社社，19971997年年姚姚端端正正，数数学学物物理理方方法法学学习习指指导导，科科学学出出版版社社，20012001年年

3、胡胡嗣嗣柱柱、倪倪光光炯炯，数数学学物物理理方方法法，高高等等教教育育出出版版社社，20022002年年胡胡嗣嗣柱柱、徐徐建建军军，数数学学物物理理方方法法解解题题指指导导，高高等等教教育育出版社，出版社，19971997年年3第一章第一章 复变函数复变函数 本章首先引入复数的概念及其运算、本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念。然后讨论复变函数的连平面点集的概念。然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数。续性，重点研究解析函数。41.1 复数与复数运算复数与复数运算（一）复数的概念（一）复数的概念1.复数：复数：形如形如 z=x+i y 的数被称为复数，其中的数被称为复数，其中x,

4、yR。x=Rez，y=Imz分别为分别为 z 的实部和虚部，的实部和虚部，i为为虚数单位，其意义为虚数单位，其意义为i2=-1复数相等：复数相等：z1=z2当且仅当当且仅当Rez1=Rez2且且Imz1=Imz1复数共轭：复数共轭：复数复数z=x+i y与与z*=x-i y互为共轭（实互为共轭（实部相等，虚部差一负号）部相等，虚部差一负号）复数不能比较大小。复数不能比较大小。5 2.复数的三种表示：复数的三种表示：复平面：复平面：由实轴由实轴(x轴轴)、虚轴虚轴(y轴轴)按直角坐标系构按直角坐标系构成的平面成的平面(z平面平面)，复数复数z=x+iy与复平面上点与复平面上点z(x,y)一一对应

5、。复数与一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。平面中的矢量可以类比。辐角主值：辐角主值：注意：注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当在三角表示和指数表示下，两个复数相等当 且仅当模相等且辐角相差且仅当模相等且辐角相差2k。零点与无穷远点：零点与无穷远点：复平面上有些个点比较特殊复平面上有些个点比较特殊,比如比如:零点和无穷远点零点和无穷远点.(1)复数零的复数零的辐辐角无意义角无意义,模为模为0。(2)无穷远点的模为无穷远点的模为,辐辐角没有意义角没有意义.关于无穷远点关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。的定义需要借助测地投影法。7复球面：复球面：复数平面上任意一点与复数球上

6、复数平面上任意一点与复数球上(除除N N点外点外)的的一点对应；当一点对应；当球面上的点离北极球面上的点离北极 N N 越近越近,它所表示它所表示的复数的模越大，的复数的模越大，北极北极 N N 点代表点代表无穷远点无穷远点。无穷远点3.复数的运算：复数的运算：设9距离不等式距离不等式:对给定的复数对给定的复数z,方程方程wn=z 的解的解w 称为称为z 的的n 次方根次方根,记做记做 或或 共有共有n个不同的解。个不同的解。例例：1011一般情况下一般情况下,n个根就是以原点为中心、个根就是以原点为中心、半径为半径为 的圆的内接正多边的圆的内接正多边 形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示

7、的复数.12例例:试将试将cos3j j和和sin3j j展开为展开为cosj j 和和sinj j 的多项式的多项式解：解：根据根据 e ij j=cosj j+i sinj j，有，有 ei nj j =cos nj j+isin nj j另一方面另一方面 ei nj j=(cosj j+isinj j)n故有：故有：(cosj j+isinj j)n=cos nj j+isin nj j令令 n=3，可得，可得 cos 3j j+isin 3j j=(cosj j+isinj j)3=cos3j j+3+3icos2j j sinj-j-3 3cosj j sin2j-j-isin3j

8、j两边的实部虚部分别相等，有两边的实部虚部分别相等，有cos 3j j=cos3j-j-3 3cosj j sin2j jsin 3j j=3 3cos2j j sinj-j-sin3j j狄莫夫公式狄莫夫公式本节作业：第本节作业：第6页页 1（2，3，8）画出图即可；）画出图即可；2（3，7）；）；3（2，3）。）。13（一）复变函数的定义（一）复变函数的定义1.2 复变函数复变函数若在复数平面（或球面）上存在一个若在复数平面（或球面）上存在一个点集点集E（复数复数的集合），对于的集合），对于E的每一点（每一个的每一点（每一个z值），按照值），按照一定的规律，有一个或多个复数值一定的规律，有

9、一个或多个复数值w与之相对应，与之相对应，则称则称w为为z的函数的函数复变函数复变函数。z 称为称为w的的宗量宗量（自变量自变量），），定义域定义域为为E，记作记作 一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。应性质的直接推广。14说明：说明：如果如果z的一个值对应着的一个值对应着的唯一一个值，的唯一一个值，那么我们称那么我们称f(z)是单值的；如果是单值的；如果z的一个值对应着的一个值对应着多个多个的值，那么我们称的值，那么我们称f(z)是多值函数。是

10、多值函数。说明：说明：复变函数复变函数=f(z)可以看作是可以看作是z平面到平面到平平面上的一个映射。面上的一个映射。=f(z)z平面平面15（二）区域的概念（二）区域的概念 邻域邻域 以以z0为圆心，以任意小正数为圆心，以任意小正数为半径作一圆，为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为则圆内所有点的集合称为z0的邻域。的邻域。内点内点 z0及其邻域均属于点集及其邻域均属于点集E，z0叫作叫作E的内点。的内点。境界线境界线 若若z0及其邻域内既及其邻域内既有属于有属于E的点，也有不属于的点，也有不属于E的点，的点，z0为为境界点境界点，境界，境界点的全体称为点的全体称为境界线境界线。沿沿境界线的正

11、方向境界线的正方向行走时，行走时，区域始终在左侧。区域始终在左侧。外点外点 z0及其邻域均不属于点集及其邻域均不属于点集E，z0叫作叫作E的外点。的外点。区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界16区域：区域：满足下列两个条件的点集满足下列两个条件的点集 开集性：开集性：全部由内点组成；全部由内点组成；具有连通性：具有连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。且折线上的点属于该点集。闭区域：闭区域：区域连同它的边界称为闭区域。区域连同它的边界称为闭区域。单连通与复连通区域单连通与复连通区域单连通区域：单连通区域：区域内任意闭曲线，区域内

12、任意闭曲线，其内点都属于该区域。其内点都属于该区域。复连通区域：复连通区域：非单连通区域非单连通区域,即即有洞区域有洞区域。单连通域单连通域复连通域复连通域17几个典型区域：几个典型区域：18x yORx yORx yROr1x yR-ROxO yxO y21（三）复变函数例（三）复变函数例（p7）多项式多项式 有理分式有理分式 根式函数根式函数指数函数指数函数周期为三角函数三角函数复数三角函数值可大于复数三角函数值可大于1 1，周期为双曲函数双曲函数周期为（三）复变函数例（三）复变函数例（p7）对数函数对数函数例：例：解：解：幂幂函数函数s为复数 例：例：解：解：（四）复变函数的极限与连续（

13、四）复变函数的极限与连续一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。应性质的直接推广。极限极限设设w=f(z)在在z0的去心邻域已单值的确定，对的去心邻域已单值的确定，对于任意给定的于任意给定的 相应地必有一正数相应地必有一正数 使使得当得当时有时有称称A为为f(z)当当z 趋向趋向z0时的极限时的极限,记作记作设设21连续连续如果如果那么那么 f(z)在在z0 处连续。处连续。在在z0=x0+i y0 处连续，处连续，设设类似于实函数，对于复变函数亦可

14、证明下述结论类似于实函数，对于复变函数亦可证明下述结论（1）在某点连续的两函数的和、差、积、商（分母）在某点连续的两函数的和、差、积、商（分母不能为不能为0）在该点仍连续。）在该点仍连续。（2）在某点连续的函数的复合函数在该点仍连续。）在某点连续的函数的复合函数在该点仍连续。本节作业：第本节作业：第8页页 2（3，6）。）。22（一）导数的定义及公式（一）导数的定义及公式1.3 导数导数设函数设函数w=f(z)是在区域是在区域B上定义的单值函数，若上定义的单值函数，若在在B上的某点上的某点z，极限极限存在，并且存在，并且与与 z 0的方式无关的方式无关，则称函数在，则称函数在z点可点可导，此（

15、有限的）极限叫做导，此（有限的）极限叫做 f(z)在在 z 点的导数，以点的导数，以 或或 表示。表示。显然，函数显然，函数f(z)必须在点必须在点z 连续，才有可能在连续，才有可能在 z 点点可导可导.23讨论：讨论：1)复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数则和公式可用于复变函数.(p9公式公式)24讨论讨论:2)复变函数和实变函数的导数的定义，复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这虽然形式上相同，实质上却

16、有很大的区别，这是因为实变函数是因为实变函数 x 只沿实轴逼近零，而复变只沿实轴逼近零，而复变函数函数 z却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多求要严格得多.25（二）柯西（二）柯西-黎曼条件黎曼条件 可导的必要条件可导的必要条件因此因此称为科西称为科西-黎曼黎曼条件条件:C.R.条件条件26证明：证明：u、v在在z处满足处满足C.R.条件条件 u、v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u、v在在z处有连续的一阶偏微商，处有连续的一阶偏微商，所以所以u、v

17、 的全微分存在的全微分存在(三三)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充要条点可导的充要条件件其中各个 i 值随 z 0而趋于零，对于任意的 z=x+i y，有 27此式此式 z无论以什么方式趋于零，导数都存在，无论以什么方式趋于零，导数都存在，故，故，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导。点可导。（四）（四）C.R.方程的方程的极坐标表示极坐标表示28例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程方程方法一：方法一：从极坐标关系出发，分别考虑从极坐标关系出发，分别考虑 z 沿沿径向径向和沿和沿横向横向趋于零。趋于零。沿沿径向径向趋于零，即趋于零，即沿沿

18、横向横向趋于零，即趋于零，即 f(z)=u(,)+iv(,)在在z 点点可导须两极可导须两极限相等限相等30方法二：从直角坐标关系出发方法二：从直角坐标关系出发本节作业：本节作业：1.第第12页页 习题习题2.复习静电学中复习静电学中“电场强度与电场强度与电势梯度的关系电势梯度的关系”部分。部分。321.4 解析函数解析函数(一一)解析函数的定义解析函数的定义若函数若函数 f(z)在点在点 z0 及其邻域上处处可导，称及其邻域上处处可导，称 f(z)在在 z0 点点解析解析；若；若w=f(z)在区域在区域 B上每一点都解析，称上每一点都解析，称 f(z)是区域是区域 B上的上的解析函数解析函数

19、。函数在某函数在某区域上可导与解析是等价的区域上可导与解析是等价的。若函数在点若函数在点a不解析不解析,则称点则称点a是是f(z)的的奇点奇点。说明说明:下述情况之一的点下述情况之一的点z0 都是奇点都是奇点:f(z)在点在点z0 无定义或无确定值；无定义或无确定值；f(z)在点在点z0 不连续；不连续；f(z)在点在点z0 不可导；不可导；f(z)在点在点z0 可导可导,但找不到某个邻域在其内处处可导。但找不到某个邻域在其内处处可导。例：例：证明函数证明函数 是复平面上的解析函数，且是复平面上的解析函数，且 证明证明因因有连续偏导数，故在全平面上可微，又有连续偏导数，故在全平面上可微，又 显

20、然，显然，f(z)在全平面满足在全平面满足C-R 条件。故条件。故f(z)在在整个平面解析。并且整个平面解析。并且34只有在实轴只有在实轴 上满足上满足Cauchy-Riemann方程方程,所以所以 在实轴上可导在实轴上可导.但在任何一点的邻域但在任何一点的邻域内都有不可导的点，因此，内都有不可导的点，因此，处处不解析处处不解析.例例 设设 问问 在何处可导在何处可导?是否解析是否解析?和和 在全平面内处处可微，但在全平面内处处可微，但 解解 记记 显然显然,函数函数 35（二）解析函数的主要性质（二）解析函数的主要性质性质性质1：若若 f(z)=u+iv 在区域在区域B上解析，则上解析，则

21、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数的曲线正交；常数的曲线正交；标量函数标量函数f(x,y,z)的梯度的梯度：梯度梯度(gradient)矢量算矢量算符符电势函数的梯度：电势函数的梯度：场强等于电势的负梯度，也是电势函数的法向矢量！场强等于电势的负梯度，也是电势函数的法向矢量！36两式相乘两式相乘即即证证1：因为因为f(z)=u+iv在区域在区域B上解析，则其实部和上解析，则其实部和虚部满足虚部满足C.R.条件条件因为因为即即37因此，因此，u(x,y)=常数常数与与 v(x,y)=常数常数曲线正交！曲线正交！因为因为u和和v分别是分别是u(x,y)=常数常数和和v(x,y)=常数常

22、数的法向矢量的法向矢量即即性质性质2、若若f(z)在区域在区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共共轭调和函数轭调和函数调和函数调和函数满足二维拉普拉斯满足二维拉普拉斯方程的函数方程的函数共轭调和函数共轭调和函数满足二维拉普拉斯满足二维拉普拉斯方程，方程，而且满足而且满足C.R.条件条件的一对函数。的一对函数。38拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程方程证证2：因为因为f(z)=u+iv在区域在区域B上解析，则其实部和上解析，则其实部和虚部满足虚部满足C.R.条件条件下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此

23、可对上式求偏导数上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数39同理可得同理可得由由C-R条件联系着的调和函数条件联系着的调和函数 u 与与 v 称为共轭称为共轭调和函数调和函数.40(三三)求共轭调和函数的方法求共轭调和函数的方法若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，条件，求求另一共轭调和函数另一共轭调和函数。方法如下：方法如下：例例：已知解析函数实部：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法C.R.C.R.条件条件全微分全微分故故u为调和函数为调和函数解解41v(x,y)的积分路径的积分路径最后结果为

24、：最后结果为：(积分与路径无关积分与路径无关)42方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法 方法三、不定积分法方法三、不定积分法所以所以同样同样故故将将x视为视为v的参数有：的参数有：v对对x求偏导有：求偏导有：43由由 ，知，知 ，即，即所以所以例例2 2 已知解析函数已知解析函数f(z)的虚部的虚部求实部求实部u(x,y)和这个解析函数。和这个解析函数。解解 改用极坐标改用极坐标44所以所以所以所以本节作业：第本节作业：第16页页第第2题题(1直直),(4极极),(6直直)451.5 平面标量场平面标量场（一）平面标量场的概念（一）平面标量场的概念 物理上及工程技术上常常需要各种各样的

25、场，例如电磁物理上及工程技术上常常需要各种各样的场，例如电磁场、声场、温度场等。若场与时间无关，则称为场、声场、温度场等。若场与时间无关，则称为恒定场恒定场；若；若所研究的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于所研究的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场平面场。恒定平面场虽然是矢量场，但存在确定的势函数，而势恒定平面场虽然是矢量场，但存在确定的势函数，而势函数是标量函数，故称为函数是标量函数，故称为平面标量场平面标量场。比如，平面静电场，存在电势；流体平面速度场，存在比如，平面静电场，存在电势；流体平面

26、速度场，存在速度势；平面温度场，存在热流量势函数；速度势；平面温度场，存在热流量势函数；在没有在没有“源源”的的区域，其势函数都满足二维拉普拉斯方程。区域，其势函数都满足二维拉普拉斯方程。因此，在此无因此，在此无“源源”区域的解析函数的实部或虚部，区域的解析函数的实部或虚部，就可以表示该区域的势函数。就可以表示该区域的势函数。46（二）平面静电场（二）平面静电场静电场的静电场的高斯定理高斯定理 1.1.静电场是静电场是有源无旋场有源无旋场，电力线不闭合，始于正电，电力线不闭合，始于正电荷，终于负电荷。荷，终于负电荷。静电场的静电场的环路定理环路定理微分形式微分形式微分形式微分形式存在势函数存在

27、势函数u(x,y,z)所以所以在没有电荷的区域在没有电荷的区域u是调和是调和函数，可用解析函数的实函数，可用解析函数的实部或虚部表示部或虚部表示472.静电场的复势静电场的复势存在解析函数存在解析函数,称为静电场的复势称为静电场的复势设设u为电势为电势,u=c1为等势线族，为等势线族，v=c2为电力线族。为电力线族。3.通量函数通量函数v(x,y)（p16）电通量电通量ds 之方向余弦之方向余弦ds 法线之方向余弦法线之方向余弦 ABds48于是于是这样，这样，即，即，v(x,y)在在A和和B两点取值之差就是两点取值之差就是A和和B两点之间穿两点之间穿过的电通量，过的电通量，v(x,y)称为称

28、为通量函数通量函数.49例例1 分析由分析由解：解：描述的场描述的场.u=常数电力线（等速度线）v=常数等势线（流线）平平面面静静电电场场（无无旋旋流流速速场场）50例例2.2.已知平面静电场的电力线为抛物线族已知平面静电场的电力线为抛物线族 求等势线。求等势线。（参数（参数 ）若取若取非调和函数！非调和函数！取！取！F(t)待定待定51解：解：解出解出电力电力线方线方程两程两种表种表示式示式由此可知，由此可知，v 应当只依赖于应当只依赖于5253代入二维代入二维拉氏方程拉氏方程即即亦即亦即积分一次积分一次再积分一次再积分一次于是有于是有54引用前节结果引用前节结果(p15例例2)，得，得等势

29、线方程为等势线方程为变换到直角坐标，令变换到直角坐标，令即即得得55 ：金属板：金属板 ：等势线：等势线 ：电力线：电力线xy本节作业：本节作业：第第20页页 第第3题题带电金属平板的静电场带电金属平板的静电场电力线族电力线族等势线族等势线族56 1.6 多值函数多值函数定义：定义：对于自变数对于自变数 z 的每一个值，有不止一个函数值的每一个值，有不止一个函数值 w与之相对应，与之相对应，w 便称为便称为 z 的多值函数。的多值函数。（一）（一）根式函数根式函数 1.多值性多值性n=2,3,4,重复前二值重复前二值572.2.自变数变化时函数关系的变化自变数变化时函数关系的变化 两个单值分支

30、两个单值分支从从 w1(z0)出发，出发，绕绕红线红线(含含z=0!)，w1 w2绕绕绿线绿线(不含不含z=0!)，w1 w1处理多值函数时，首先要解决的问处理多值函数时，首先要解决的问题是题是自变数自变数z与函数与函数w 的对应关系，的对应关系，特别是当特别是当 z 连续变化时这种对应关连续变化时这种对应关系的可能变化。系的可能变化。583.支点支点对于多值函数对于多值函数 w=f(z)，如绕某点，如绕某点 z0 一周，函数值一周，函数值 w 不复原，不复原，而在该点各单值分支函数值相同，则称而在该点各单值分支函数值相同，则称 z0 点为点为 f(z)的的支点支点。z绕支点绕支点n圈，函数值

31、复原，该支点称为圈，函数值复原，该支点称为n-1阶支点。阶支点。z=0是是 的一阶支点。的一阶支点。z=亦是其一阶支点。亦是其一阶支点。因此因此,为了完全确定多值函数为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值的函数值w与自变数与自变数 z之之间的对应关系，除了要在某一点间的对应关系，除了要在某一点 z 规定函数的对应值，还规定函数的对应值，还必须说明必须说明 z 的变化路径的变化路径!比较简单的办法是规定宗量比较简单的办法是规定宗量 z 的辐角变化范围，当宗量的辐角变化范围，当宗量 z的辐角限制在某个周期时，的辐角限制在某个周期时，的辐角也就唯一的辐角也就唯一的确定了，因而的确定了，因而w值也就

32、唯一地确定。值也就唯一地确定。594.黎曼黎曼(Riemann)面面单值分支单值分支单值分支单值分支xyoxyoArg(z)=0Arg(z)=2Arg(z)=2Arg(z)=4平面平面平面平面在在z平面上从支点平面上从支点z=0到支点到支点 z=任意引一条射线（如沿任意引一条射线（如沿正实轴方向），称为割线，将正实轴方向），称为割线，将z 平面割开。这样就将多值平面割开。这样就将多值函数变成了独立的单值函数。函数变成了独立的单值函数。60 61现在让我们来观察现在让我们来观察一下当一下当z在这双叶在这双叶黎曼面上变化时，黎曼面上变化时，函数值函数值 w 如何变如何变化化62（二）对数函数（二）

33、对数函数对数函数对数函数w=lnz 对应每一个对应每一个z值，有无穷多个值，有无穷多个w值，它们的实值，它们的实部相等，虚部相差部相等，虚部相差2的整数倍；的整数倍；支点支点是是z=0和和（无穷阶）；（无穷阶）；有无穷多个单值分支。可以证明对数函数的每一单值分支有无穷多个单值分支。可以证明对数函数的每一单值分支都是解析函数，且有都是解析函数，且有。若限定若限定 Argz 取取 argz ，则，则z的对数只有一个，的对数只有一个，称为主值支：称为主值支：63对数函数对数函数 w=lnz 的的Riemann面面对数函数对数函数 w=lnz只有两个支点，只有两个支点，从支点从支点z=0到支到支点点 z=作割线，作割线，即可得到在这割即可得到在这割破的破的z平面上的无平面上的无穷多单值分支，穷多单值分支，将多值函数变成将多值函数变成了独立的单值函了独立的单值函数。数。