数理统计 (研究生课程) 第三章 假设检验.ppt

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1、 在在本本章章中中，我我们们将将讨讨论论不不同同于于参参数数估估计计的的另另一一类重要的统计推断问题类重要的统计推断问题.无论总体的分布形式是已知还是未知，先假定总体的分无论总体的分布形式是已知还是未知，先假定总体的分布形式或总体的某些参数具有某种特征，然后通过布形式或总体的某些参数具有某种特征，然后通过样本的样本的信息检验原假设是否合理。信息检验原假设是否合理。若合理，则承认原假设若合理，则承认原假设是正确的，否则否定原假设，从而对所需研究的对是正确的，否则否定原假设，从而对所需研究的对象做出合理的分析与判断象做出合理的分析与判断.此此做出肯定或否定回答的过程称为假设检验，做出肯定或否定回答

2、的过程称为假设检验，此类问题称为假设检验问题。此类问题称为假设检验问题。第三章第三章 假设检验假设检验一、基本思想与基本概念一、基本思想与基本概念二、正态总体的参数检验二、正态总体的参数检验三、非参数假设检验三、非参数假设检验例如例如1)要确定某批钢珠的直径是否服从正态分布；要确定某批钢珠的直径是否服从正态分布；先假定某批钢珠的直径是服从正态分布，然后进行随机先假定某批钢珠的直径是服从正态分布，然后进行随机试验测得一组样本观察值，据此做出假设是否合理的回答。试验测得一组样本观察值，据此做出假设是否合理的回答。2)某种新药对某疾病有疗效？某种新药对某疾病有疗效？3)两台机床生产同一型号的零件的质

3、量是否一样？两台机床生产同一型号的零件的质量是否一样？4)两种汽车的安全性是否一样？两种汽车的安全性是否一样？5)经过改进生产工艺，某电器零件的平均电阻是否经过改进生产工艺，某电器零件的平均电阻是否有显著变化有显著变化6)某长生产的产品能否正常出厂？某长生产的产品能否正常出厂？7)某种设备的寿命是否服从某种设备的寿命是否服从=20000的指数分布的指数分布 等等等等-先假设，后做出回答。先假设，后做出回答。假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，总体分布已知，检验关于未知参数检验关于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问

4、题假设检验问题问题问题2)、3)、4)、5)、6)等等问题问题1)、7)等等3.1 基本思想基本思想 与基本概念与基本概念让我们先看一个例子让我们先看一个例子.这一节我们讨论对参数的假设检验这一节我们讨论对参数的假设检验.一、基本思想与方法一、基本思想与方法 生产流水线上罐装可乐生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准看看容量是否合于标准.这样做显然不行！这样做显然不行！罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350

5、毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐.如每隔如每隔1小时，抽小时，抽查查5罐，得罐，得5个容量的值个容量的值X1，X5，根据这些值根据这些值来判断生产是否正常来判断生产是否正常.如发现不正常，就应停产，找出原因，排除如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量时间再抽样，以此监督生产，保证质量.通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查.很明显，不能由很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生

6、产的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是不正常，因为停产的损失是很大的很大的.当然也不能总认为正常，有了问题不能及时当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失发现，这也要造成损失.如何处理这两者的关系，假设检验面对的就如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾是这种矛盾.在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，可以认为可以认为每罐可乐的容量应在每罐可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动.如果这些因素中没有一个随机因素占有特别重要的如果这些因素中没有一个随机因素占有特别重要的地位地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容

7、量因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题现在我们就来讨论这个问题.罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.问题：问题：制定一个合理的法则，然后利用样本制定一个合理的法则，然后利用样本信息给出生产是否正常的一个判断。信息给出生产是否正常的一个判断。它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设（或零假设，解消假设）；为原假设（或零假设，解消假设）；称称H1为备选假设（或对立假设）为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，在实际工作中，往往把不轻易否定往往把不轻易否定的命题作为原假设的

8、命题作为原假设.当生产比较稳定时，当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？由于由于 是正态分布的期望值，它的估计量是样本均是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值值 ，因此可以根据，因此可以根据 与与 0 的差距的差距来判断来判断H0 是否成立是否成立.-|较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当-|生产已不正常生产已不正常.当当较大时，应认为较大时，应认为

9、H0不成立，即不成立，即-|问题归结为对差异作定量的分析，问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质以确定其性质.(1)差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动。然这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动。然而，这种随机性的波动是有一定限度的，而，这种随机性的波动是有一定限度的，引起误差的原因：引起误差的原因：(2)如果差异超过了这个限度，则我们就不能用如果差异超过了这个限度，则我们就不能用 抽样的随机性来解释了抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别

10、，即反映了必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常生产已不正常.这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差”问题是，根据所观察到的差异，如何问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？生产确实不正常？即差异是即差异是“抽样误差抽样误差”还是还是“系统误差系统误差”所所引起的？引起的？这里需要给出一个量的界限这里需要给出一个量的界限.问题是：如何给出这个量的界限？问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基小概率事

11、件在一次试验中基本上不会发生本上不会发生.小概率事件原理小概率事件原理下面我们用一例说明这个原则下面我们用一例说明这个原则.小概率事件在一次试验中基小概率事件在一次试验中基本上不会发生本上不会发生.这里有两个盒子，各装有这里有两个盒子，各装有100个球个球.一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个红球个红球一个白球一个白球99个个另一盒中的白球和红球数另一盒中的白球和红球数99个白球个白球一个红球一个红球99个个小概率事件在一次试验中基小概率事件在一次试验中基本上不会发生本上不会发生.现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球球99个还是红

12、球个还是红球99个？个？我们不妨先假设：我们不妨先假设：这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？此时你如何判断这个假设是否成立呢？小概率事件在一次试验中基小概率事件在一次试验中基本上不会发生本上不会发生.假设其中真有假设其中真有99个白球，摸出个白球，摸出红球的概率只有红球的概率只有1/100，这是小，这是小概率事件概率事件.这个例子中所使用的推理方法，可以称为这个例子中所使用的推理方法，可以称为小概率事件在一次试验中竟然发生了，小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设不能

13、不使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法带概率性质的反证法不妨称为概率反证法不妨称为概率反证法.小概率事件在一次试验中基小概率事件在一次试验中基本上不会发生本上不会发生.它不同于一般的反证法它不同于一般的反证法 概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设我们就以很大的把握否定原假设.一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设地否定原假设.在假设检验中，我

14、们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水显著性水平平，用，用 表示表示.带概率性质的反证法带概率性质的反证法常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。在提出原假设在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？的结论呢？现在回到我们前面罐装可乐的例中：现在回到我们前面罐装可乐的例中：罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升毫升之间之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为罐，测得容量为X1,X2,Xn，问这一批可乐的容问这一批可乐的容量是否合

15、格？量是否合格？提出假设提出假设H0：=355 H1：355可以认为在可以认为在H0成立的条件下，成立的条件下，这样就有了一个做出回答的规则这样就有了一个做出回答的规则 N(0,1)提出假设提出假设选检验统计量选检验统计量 N(0,1)H0：=355 H1：355它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知.对给定的显著性水平对给定的显著性水平，可以在，可以在N(0,1)表中查到表中查到分位点的值分位点的值u/2，使，使故我们可以取拒绝域为：故我们可以取拒绝域为：也就是说也就是说,“”是一个小概率事件是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域如果由样本值算得该统计量

16、的实测值落入区域W，则拒绝则拒绝H0；否则，不能拒绝否则，不能拒绝H0.不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对，一定对，而只是说差异还不够显著，还而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定没有达到足以否定H0的程度的程度.所以假设检验又叫所以假设检验又叫“显著性检验显著性检验”如果如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域计量落入区域 W(拒绝域拒绝域)是个小概率事件是个小概率事件.如果如果该统计量的实测值落入该统计量的实测值落入W，也就是说，也就是说，H0 成立下成立下的小概率事件发生了，那么就认为的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而

17、否不可信而否定它定它.否则我们就不能否定否则我们就不能否定H0（只好接受它）只好接受它）.这里所依据的逻辑是：这里所依据的逻辑是：基于这个理由，人们常把基于这个理由，人们常把 =0.05 时拒绝时拒绝H0称称为是为是显著显著的，而把在的，而把在=0.01 时拒绝时拒绝H0称为是称为是高高度显著度显著的的.如果显著性水平如果显著性水平 取得很小，取得很小，则拒绝域也会比较小则拒绝域也会比较小.其产生的后果是：其产生的后果是：H0难于被拒绝难于被拒绝.如果在如果在 很小的情况下很小的情况下H0仍仍被拒绝了，则说明实际情被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异况很可能与之有显著差异,可能数据有问

18、题可能数据有问题 在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法了假设检验的基本思想和方法.基于概率反证法的逻辑的检验：基于概率反证法的逻辑的检验：如果小概率事件在一次试验中居然发生，如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设我们就以很大的把握否定原假设.例例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米.实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X假定服从正态假定服从正态分布分布N(,2)，2未知，现从该厂生产的一批未知，现从该厂生产的一批产品中抽取产品中抽取6件件,

19、得尺寸数据如下得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?分析：分析：这批产品这批产品(螺钉长螺钉长度度)的全体组成问题的总的全体组成问题的总体体X.现在要现在要检验检验E(X)是是否为否为32.5.提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步：第一步：已知已知XN(,2)，2 未知未知第二步：第二步：能衡量差异大能衡量差异大小且分布已知小且分布已知取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布问这批产品是否合格问这批产品是否合格?第三步：第三步：对给定的显著性水平对给定的显著性水

20、平 =0.01，查表确定临界值，查表确定临界值故不能拒绝故不能拒绝H0.第四步：第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的实测值,|t|=2.9974.0322假设检验会不会犯错误呢？假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率原理小概率事件在一次试验中小概率事件在一次试验中基本上基本上不会发生不会发生.如果如果H0成立成立，但统计量的实测值落入否定，但统计量的实测值落入否定域，从而作出域，从而作出否定否定H0的结论，那就犯了的结论，那就犯了“以真以真为假为假”的错误的错误.“弃弃真真错误错误”不是一定不发生不是一定不发生三

21、、两类错误三、两类错误1.两类错误两类错误 如果如果H0不成立不成立，但统计量的实测，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即的结论，即接受了错误的接受了错误的H0，那就那就犯了犯了“以假为真以假为真”的错误的错误.“取伪错误取伪错误”这两类错误出现的可能性是不可能排除的。这两类错误出现的可能性是不可能排除的。原因在于：由样本推导总体原因在于：由样本推导总体 人们总希望犯这两类错误的概率人们总希望犯这两类错误的概率越小越好越小越好，但，但对样本容量一定时，对样本容量一定时，不可能不可能使得犯这两类错误的概使得犯这两类错误的概率都很小。率都很小

22、。实际情况实际情况决定决定H0为真为真H0不真不真拒绝拒绝H0第一类错误第一类错误正确正确接受接受H0正确正确第二类错误第二类错误 往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。假设检验的两类错误假设检验的两类错误 要同时降低两类错误的概率要同时降低两类错误的概率、，或者要在，或者要在 不变的条件下降低不变的条件下降低 ，需要增加样本容量，需要增加样本容量.两类错误是互相关联的，两类错误是互相关联的，当样本容量固定时，当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加一类错误

23、概率的减少导致另一类错误概率的增加.显著性水平显著性水平 为犯第一类错误的概率的为犯第一类错误的概率的上界上界.P拒绝拒绝H0|H0为真为真=,P接受接受H0|H0不真不真=.犯两类错误的概率犯两类错误的概率:即：即：使得使得P拒绝拒绝H0|H0为真为真 ,然后减小然后减小P接受接受H0|H0不真不真 为何先控制犯第一类错误的概率在一定限度内，为何先控制犯第一类错误的概率在一定限度内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。由于两类错误的结果造成的影响的不同。由于两类错误的结果造成的影响的不同。例如：例如：检验某人是否患某疾病检验某人是否患某疾病，即即 H0:此人患

24、有，此人患有，H1:此人没患此人没患第一类错误：有病被视为无病第一类错误：有病被视为无病 后果：轻者贻误治病良机，重者导致死亡。后果：轻者贻误治病良机，重者导致死亡。第二类错误：无病被视为有病第二类错误：无病被视为有病 后果：轻者经济损失，重者引起身体不良反映。后果：轻者经济损失，重者引起身体不良反映。零假设是经过周密考虑后作出的，应体现保护性。零假设是经过周密考虑后作出的，应体现保护性。一个好的检验是在限制了犯第一类错误的概一个好的检验是在限制了犯第一类错误的概率下，尽可能率下，尽可能缩小第二类错误的概率。缩小第二类错误的概率。四、显著性检验的一般程序四、显著性检验的一般程序1.根据问题提出

25、待检假设（原假设根据问题提出待检假设（原假设H0、备择假设备择假设H1）2.根据实际要求规定显著性水平根据实际要求规定显著性水平3.建立原假设建立原假设H0的拒绝域的拒绝域V,P拒绝拒绝H0|H0为真为真=4.判定样本值是否落在拒绝域判定样本值是否落在拒绝域V中，作出推断。中，作出推断。五、建立拒绝域的方法五、建立拒绝域的方法选择适当的选择适当的统计量统计量：在在H0为真这一条件下统计量为真这一条件下统计量G的的分布必须已知分布必须已知，利用分布表找出统计量利用分布表找出统计量G在水平在水平下的临界值。下的临界值。在大样本的条件下，若能求得检验统计量的在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限

26、分布，依据它去决定临界值极限分布，依据它去决定临界值C.F 检验检验 用用 F分布分布一般说来，一般说来，按照检验所用的统计量的分布按照检验所用的统计量的分布,分为分为U 检验检验 用正态分布用正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布检验检验用用分布分布 例例2 的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验.下面看一个单侧检验的例子下面看一个单侧检验的例子.有可能它的拒绝域取在一侧，称为单侧检验有可能它的拒绝域取在一侧，称为单侧检验例例3 某织物强力指标某织物强力指标X的均值的均值 =21公斤公斤.改改进工艺后生产一批织物，今从中取进工艺后生产一批织物，今从中取30

27、件，测件，测得得 =21.55公斤公斤.假设强力指标服从正态分假设强力指标服从正态分布布 且已知且已知 =1.2公斤，公斤，问在显著问在显著性水平性水平 =0.01下，下，新生产织物比过去的织物新生产织物比过去的织物强力是否有提高强力是否有提高?解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量否定域为否定域为 W:=2.33 是是一小概率事件一小概率事件代入代入 =1.2,n=30，并由样本值计算得并由样本值计算得统计统计量量U的实测值的实测值U=2.512.33故拒绝原假设故拒绝原假设H0.落入否定域落入否定域解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量否定域为否定域为 W:=2.33 此时可能犯第一类

28、错误，犯此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过错误的概率不超过0.01.例例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和和8的两个样本，测量某个指标的尺寸的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正假定服从正态分布态分布)，得到下列结果：，得到下列结果：在在 =0.1时，时，问这两台机床是否有同样的问这两台机床是否有同样的精度精度?车床甲：车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42车床乙：车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解解:设设两台自

29、动机床的方差分别为两台自动机床的方差分别为在在 =0.1=0.1下检验假设下检验假设:其中其中 为两样本的样本方差为两样本的样本方差取统计量取统计量否定域为否定域为 W:或或由样本值可计算得由样本值可计算得F的实测值为的实测值为:查表得查表得由于由于 0.3041.513.68，故接受故接受H0 .否定域为否定域为 W:或或F=1.51这时可能犯第二类错误这时可能犯第二类错误.注意：我们讨论的是注意：我们讨论的是正态总体正态总体均值和均值和方差的假设检验，或样本容量较大，可用方差的假设检验，或样本容量较大，可用正态近似的情形正态近似的情形.下面我们对本节内容作简单小结下面我们对本节内容作简单小

30、结.提出提出假设假设 根据统计调查的目的根据统计调查的目的,提出提出原假设原假设H0 和备选假设和备选假设H1作出作出决策决策抽取抽取样本样本检验检验假设假设 对差异进行定量的分析，对差异进行定量的分析，确定其性质确定其性质(是随机误差是随机误差还是系统误差还是系统误差.为给出两为给出两者界限，找一检验统计量者界限，找一检验统计量T，在在H0成立下其分布已知成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝还是不能拒绝拒绝H0显著性显著性水平水平P(T W)=-犯第一犯第一类错误的概率，类错误的概率，W为拒绝域为拒绝域总总 结结在大样本的条件下，若能求得检验统计量的在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限分布，依据它去决定临界值极限分布，依据它去决定临界值C.F 检验检验 用用 F分布分布一般说来，一般说来，按照检验所用的统计量的分布按照检验所用的统计量的分布,分为分为U 检验检验 用正态分布用正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布检验检验用用分布分布 按照对立假设的提法按照对立假设的提法，分为，分为单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧.双侧检验，它的拒绝域取在两侧双侧检验，它的拒绝域取在两侧;