高二数学三垂线定理精选文档.ppt

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1、高二数学三垂线定理本讲稿第一页，共二十二页这是偶然的巧合，还是必然？AaOPPO a？本讲稿第二页，共二十二页AaOP 已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直三垂线定理本讲稿第三页，共二十二页AaOP证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a本讲稿第四页，共二十二页三垂线定理三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。AaOP证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面

2、PAOPA a本讲稿第五页，共二十二页PCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC,AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM本讲稿第六页，共二十二页例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3)在正方体AC1中，求证：A1C

3、B1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD本讲稿第七页，共二十二页(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBD本讲稿第八页，共二十二页PMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMBCAM证明:PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平

4、面PBC上的射影本讲稿第九页，共二十二页(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 本讲稿第十页，共二十二页PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾，怎么找？本讲稿第十一页，共二十二页三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射

5、影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa本讲稿第十二页，共二十二页PAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线相交直线 异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解解题题回回顾顾本讲稿第十三页，共二十二页直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于OP 解解题题回回顾顾本讲稿第十四页，共二十二页若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影

6、，则 ab （）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （）练习：练习：判断下列命题的真假：面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直线A1C 斜线 a直线AB 垂线 b面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 b本讲稿第十五页，共二十二页PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa线面垂直 线斜垂直PAOa直 线

7、 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直本讲稿第十六页，共二十二页线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？本讲稿第十七页，共二十二页 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理本讲稿第十八页，共二十二页三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:平面内的一条直

8、线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直。三垂线定理三垂线定理:平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理本讲稿第十九页，共二十二页例例3 在四面体在四面体ABCD中，已知中，已知ABCD，ACBD求证：求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，本讲

9、稿第二十页，共二十二页1.在正方体在正方体AC1中，中，E、G分别是分别是AA1和和CC1的中的中点，点，F在在AB上，且上，且C1EEF，EF与与GD所成所成的角的大小为（的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG练习与作业本讲稿第二十一页，共二十二页2.已知已知 PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是ABC的垂心。的垂心。CBPAH3.在在ABCDA1B1C1D1中，中，求证：求证：AC1平面平面BC1DD1DCBAC1B1A1本讲稿第二十二页，共二十二页