第一章 基础-aa(精品).ppt

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1、 第一章第一章 线型系统分析线型系统分析输入信号输出信号光学系统线性非线性n 11 常用非初等函数常用非初等函数n在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为三角函数和反三角函数称为基本初等函数基本初等函数。而。而初初等函数等函数则是指在自变量的定义域内，能用单一解则是指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。算和复合所构成的函数。n非初等函数非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单是指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数一

2、解析式表示的函数 1.1.1 标准形式的一维非初等函数标准形式的一维非初等函数 n（1）矩形函数矩形函数n又称为门函数，表示为 或n定义：曲线下面积为曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率1x（2）函数函数 n定义：曲线下面积为曲线下面积为1，中央主瓣宽度为，中央主瓣宽度为2，旁瓣宽度为，旁瓣宽度为1表示单缝夫琅和费衍射的复振幅表示单缝夫琅和费衍射的复振幅 函数函数 n定义：表示单缝夫琅和费衍射的强度分布表示单缝夫琅和费衍射的强度分布（3）三角函数）三角函数n表示为表示为 或或(x)n定义：定义：n或者或者 曲线下面积为曲线下面积为1，表示光瞳为

3、矩形的非相干成像系统的光学传递函数，表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数（4）符号函数）符号函数 n记为：n定义：与某函数相乘使其极性翻转与某函数相乘使其极性翻转（5）阶跃函数）阶跃函数 n定义：表示刀口或直边衍射物体或开关信号等表示刀口或直边衍射物体或开关信号等（6）圆柱函数圆柱函数 描述均匀照明圆描述均匀照明圆形孔径的透射系形孔径的透射系数数（7）高斯函数）高斯函数 n定义：各阶导数连续，是平滑化函数，各阶导数连续，是平滑化函数，其傅里叶变换仍然是高斯其傅里叶变换仍然是高斯函数。函数。描述激光器发出的高斯光束描述激光器发出的高斯光束 1.2 1.2 光学中常用特殊函数光学中常用特殊

4、函数n1.2.1.一维一维函数函数n1.2.2.一维梳状函数一维梳状函数n1.2.3.二维二维函数和梳状函数函数和梳状函数n1.2.4.贝塞尔函数贝塞尔函数1.2.1 函数和梳状函数函数和梳状函数 1.一维一维函数的定义函数的定义 n(1)分段函数形式定义分段函数形式定义（类似普通函数形式的定义）（类似普通函数形式的定义）表示高度集中的物理量，如质点、点电荷、点光源、瞬时电脉冲表示高度集中的物理量，如质点、点电荷、点光源、瞬时电脉冲（2）普通函数序列极限形式的定义）普通函数序列极限形式的定义 以高斯函数序列为例以高斯函数序列为例 所以可定义：所以可定义：普哇松普哇松积积分分 设：3.广义函数的

5、定义：函数是一个广义函数。设一个检验函数有：不同形式的函数，只要它在积分中的作用和上式相同，就可认为它们与 相等。并在原点处连续并在原点处连续1.2.21.2.2一维一维 函数的性质函数的性质（1）积分性质）积分性质 积分：积分：筛选性质：筛选性质：推论：推论：若若 定义在定义在 区间区间筛选性质：筛选性质：（2）坐标缩放性质：）坐标缩放性质：n设设a为实常数，则有：为实常数，则有：n证明：利用函数的积分性质比较上式左右两端证明：利用函数的积分性质比较上式左右两端对对g（x）的积分作用）的积分作用。n推论：推论：左端：右端：（3）可分离变量性质（4）与普通函数的乘法性质：）与普通函数的乘法性质

6、：n若若f（x）在）在 点连续，则：点连续，则：n推论：推论：1.2.3.一维梳状函数一维梳状函数n（1）定义）定义:间隔为间隔为1的的 函数无穷序列，表示光栅常数函数无穷序列，表示光栅常数d1的一的一维细缝光栅的复振幅透射系数维细缝光栅的复振幅透射系数（2）梳状函数的性质：）梳状函数的性质：n 筛选性质：筛选性质：n缩放性质：缩放性质：n平移性质：平移性质：n乘法性质：乘法性质：将连续分布的函数变为离散分布函数，实现了对函数的抽样将连续分布的函数变为离散分布函数，实现了对函数的抽样二维梳状函数式中：1.3 傅里叶变换的基本概念及运算傅里叶变换的基本概念及运算 1.3.1 傅里叶级数及频谱的概

7、念傅里叶级数及频谱的概念 222频率的取值是离散的，所以周期函数只有离散谱满足狄离赫利条件（3）存在条件：从应用的角度指出以下两点：1.傅立叶变换总是存在的。-作为时间和空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅立叶变换存在的基本条件。物理上的可能性是保证傅立叶变换存在的充分条件。2.在应用问题中也会遇到一些理想化的函数，例如，余弦函数，阶跃函数以至最简单的函数等。不满足傅立叶变换存在的充分条件；它在物理上也是不可能严格实现的。对这类函数难以讨论其经典意义下的傅立叶变换，然而借助函数序列极限概念或 函数性质可以得到这类函数的广义傅立叶变换。这种广义傅立叶变换不仅在理论上自恰，而且在应用上也能给

8、出符合实际的结果。由此我们可以认为，今后涉及到的函数都存在着相应的傅立叶变换，只有狭义和广义之分罢了。2.极坐标系中的二维傅里叶变换极坐标系中的二维傅里叶变换（1）定义式：）定义式：（2.）傅立叶）傅立叶-贝塞儿变换贝塞儿变换在极坐标系内，圆对称函数的傅立叶正变换和逆变换的运算相同。人们称这种特殊形式的傅立叶变换称为傅立叶-贝塞儿变换。1.3.3 广义傅里叶变换广义傅里叶变换 1.广义傅里叶变换的定义广义傅里叶变换的定义举例：举例：考察符号函数考察符号函数sgn(x)的傅立叶变换。由于的傅立叶变换。由于sgn(x)不满足绝对可积条件，无法确定其狭义不满足绝对可积条件，无法确定其狭义傅立叶变换。

9、为此选取适当的函数序列傅立叶变换。为此选取适当的函数序列根据广义傅立叶变换定义有：根据 函数的定义式，可直接求出它的傅立叶变换根据1.2.7式 函数的傅立叶变换是常数1那么常数1 的傅立叶逆变换 是否为。为此我们考察 在积分中的作用是否与 相同。于是考察积分其中 是一个具有傅立叶变换的函数设可以写成所以：类似地有即解决了常数的傅立叶变换问题3.广义傅立叶变换举例（1）阶跃函数的傅立叶变换xy01-1-1.3.2 一维傅里叶变换的定义一维傅里叶变换的定义1.从傅里叶级数演变为傅里叶变换从傅里叶级数演变为傅里叶变换 2.一维傅里叶变换的定义一维傅里叶变换的定义3 一维傅里叶变换举例一维傅里叶变换举

10、例(1)矩形函数的傅里叶变换矩形函数的傅里叶变换 1.4卷积和相关xyo2。一维实函数卷积的几何说明我们可以注意到卷积运算的两个效应（1）展宽效应假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般来说，卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和。（2）平滑效应被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。在数学上有关卷积的一条定理说，在某些相当普遍的条件下，n 个函数的卷积，当 时，趋于高斯函数形式。设 和 都是复值函数，因而有证明平移不变性：例题：1当 时 当 时 将上两式合并其他1.4.2 互相关1.互相关的定义两个函数 和 的互相关定义为含参变

11、量的无穷积分，即或可实可复实数2.互相关的卷积表达式3.性质相关运算不具有交换性而有证明：根据定义可写出令：则上式可写为：当 和 皆为实数时，则有（2）证明：引用许瓦兹不等式其中 和 一般为复常数。其中只有当 时才能取等号，是复常数，若令则许瓦兹不等式具有下述形式即根据该不等式，可以认为以x,y为自变量的互相干函数 ，描述了 和 两者之间的相关性。对于任一给定的x,y来说的数值可以用来估计这种关联性的强弱。当时，可以合理的认为此时的 和 之间完全相关。实际上，这时 有最大值。1.4.3自相关1.定义当时，即得到函数f 的自相关的定义式和2.性质（1）自相关 函数具有厄密对称性，即当 是实函数时

12、，是偶函数，即（2）3.归一化互相干函数和自相关函数这里假定均存在。显然，对于自相关和互相关的函数有4.关于自相关函数意义的说明的自相关函数可以用来描述函数和之间的相关性。由于是由通过平移x,y距离而形成的，他们之间的相关性，就反映了函数 变化的快慢。1.4.4 有限功率函数相关在互相关的定义中，要求函数绝对可积，但有些周期函数，平稳随机函数 并不满足这一条件，但却满足下述极限：和当系统中能量传递的平均功率为有限时，常用这类函数，称它们为有限功率函数，于是人们把函数 和 的互相关定义为有限功率的自相关定义为傅里叶变换的相关定理：傅里叶变换的相关定理：1、卷积定理、卷积定理2、巴塞瓦定理、巴塞瓦定理3、导数定理、导数定理