7-8 边际分析、弹性分析与经济问题的最优化.ppt

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1、7-8 边际分析、弹性分析边际分析、弹性分析 与经济问题最优化与经济问题最优化1 第七章 第八节第八节一、边际分析一、边际分析 二、弹性分析二、弹性分析三、经济问题的最优化三、经济问题的最优化边际分析、弹性分析与经济边际分析、弹性分析与经济问题的最优化问题的最优化2一、边际分析一、边际分析回忆回忆一元函数一元函数:y=f(x)在在 x=x0处的处的边边际际为为 边际的经济意义边际的经济意义:当当 时时,x 改变一个单位改变一个单位,y 改变改变个单位个单位.边际的实质边际的实质:反映了一种经济变量随另一种经济变反映了一种经济变量随另一种经济变量量变化的快慢程度变化的快慢程度.现实生活中，经常需

2、要考虑现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经一种经济变量随多个经 济变量变化的情况济变量变化的情况。例如例如,某种品牌的电视机的销售某种品牌的电视机的销售 情况，除了受本品牌电视机的价格影响外情况，除了受本品牌电视机的价格影响外,还受其他还受其他 品牌同类型电视机的价格的影响。品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推边际的概念也可推 广到多元函数的情形。广到多元函数的情形。3一、边际分析一、边际分析回忆回忆一元函数一元函数:y=f(x)在在 x=x0处的处的边边际际为为二元函数二元函数的偏导数的偏导数和和分别称为分别称为在点在点(x0 0,y0 0)关于关于和和的的边际边际。1.定

3、义：定义：边际的经济意义：边际的经济意义：表示表示在在(x0,y0)处，处，当当y=y0保持不变保持不变，x每改变一每改变一个单位，函数个单位，函数z=f(x,y)改变改变 个单位个单位 表示表示在在(x0,y0)处，处，当当x=x0保持不变保持不变,y每改变一每改变一个单位，函数个单位，函数z=f(x,y)改变改变 个单位个单位 4 例例1 1 设设Cobb-Douglas生产函数为生产函数为 P(K,L)=20K0.3L0.7。其中其中P表示产量、表示产量、K表示资本、表示资本、L表示劳动。求表示劳动。求解：解：PK(1,1)及及 PL(1,1)，并解释其含义。，并解释其含义。PK(1,1

4、)=6(1)-0.7(1)0.7=6PK=6K-0.7L0.7，含义含义:PK=6 表示当劳动保持表示当劳动保持1个单位不变，且个单位不变，且当资本为当资本为1 1个单位时，每增加一单位的资本，产量个单位时，每增加一单位的资本，产量约增加约增加6单位单位。称为资本的边际生产量。称为资本的边际生产量。P,L=14K0.3L-0.3，PL(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14 含义含义:PL=14 表示当资本保持表示当资本保持1 1个单位不变，且个单位不变，且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产量当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产量约增加约增加1414单位。单位。称为劳动的

5、边际生产量。称为劳动的边际生产量。5 例例2 2 已知某企业雇佣熟练工已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工人，非熟练工y人，人，日产量由二元函数日产量由二元函数 决定。已知该企业雇佣熟练工决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工人，非熟练工50人，人，若增加熟练工若增加熟练工1人，问产量增加多少？人，问产量增加多少？解解：根根据据题题意意，必须必须求求得得因为因为,所以所以,日产大约会增加日产大约会增加1800单位。单位。实实际际上上，日日产产量增量增加加的的真真实实值值为为用用來來逼近逼近是是恰当恰当的的。62.边际需求边际需求设两种相关商品甲和乙的需求函数为：设两种相关商品甲和乙的需求函数

6、为：其中其中 为甲，乙商品需求量，为甲，乙商品需求量，分别表示甲和乙分别表示甲和乙 表示表示乙商品的价格乙商品的价格 保持不变的情况下，保持不变的情况下，甲商品的价格甲商品的价格 变化时，变化时，甲商品需求量甲商品需求量 的变化率，的变化率，的价格的价格.需求量需求量 对价格对价格p1,p2的偏导数为的偏导数为边际需求函数：边际需求函数：称其为称其为甲商品关于自身价格甲商品关于自身价格 的边际需求的边际需求；7表示表示甲商品的价格甲商品的价格 保持不变的情况下，保持不变的情况下，称其为称其为甲商品关于相关价格甲商品关于相关价格 的边际需求的边际需求；乙商品的价格乙商品的价格 变化时，变化时，甲

7、商品需求量甲商品需求量 的变化率的变化率，的边际解释可与的边际解释可与 的边际解释类似的边际解释类似.8 两种商品彼此关系可分为为两种商品彼此关系可分为为替代型替代型还是还是互补型互补型。替代型替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另：一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等。肉和鸡蛋等。互补型互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的：一种商品的需求增加时，另一种商品的需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CDCD机和光盘等。机和光盘等。3、利用偏导

8、数对两种商品之间性质进行解释、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释 两种商品之间的关系两种商品之间的关系:9 假设有两种商品假设有两种商品 A 与与 B。p1 与与 p2 分别表示商品分别表示商品 A 与与 B 每单位的价格。函数每单位的价格。函数 Q1（p1,p2）表示商品表示商品 A 的需求函数，函数的需求函数，函数 Q2（p1,p2）表示商品表示商品 B 的需的需求函数求函数。则函数恒有下列关系：则函数恒有下列关系：即：即：商品商品 A 的价格的价格 p1 上升，则商品上升，则商品 A 的需求量会下降。的需求量会下降。商品商品 B的价格的价格 p2 上升，则商品上升，则商品 B的需求量会

9、下降。的需求量会下降。3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释10两商品在价格两商品在价格(p1,p2)处为互补型处为互补型 表示当商品表示当商品 B 的价格上升时，商品的价格上升时，商品 A 的需求量减少；的需求量减少；当当 A 的价格上升时，商品的价格上升时，商品 B 的需求量减少。即一种商的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少。品需求的减少导致另一种商品需求的减少。两商品在价格两商品在价格(p1,p2)处为替代型处为替代型 表示当商品表示当商品 B 的价格上升时，商品的价格上升时，商品 A 的需求量增加；的需求量增加；当当 A 的

10、价格上升时，商品的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加。品需求的减少导致另一种商品需求的增加。11 例例3 3 两种商品两种商品 A 与与 B，当其价格分别为，当其价格分别为 x 与与 y 时时的需求函数为的需求函数为 f(x,y)=300-6x2+10y2 (A的需求函数的需求函数)g(x,y)=600+6x-2y2 (B的需求函数的需求函数)试问这两种商品为替代型还是互补型？试问这两种商品为替代型还是互补型？解：解：所以，两种商品为替代型关系。所以，两种商品为替代型关系。12二、弹性分析二、弹性分析回忆回忆一元函数一元函数:

11、y=f(x)在在 x处的处的弹性弹性为为 y=f(x)在在 x=x0处处的的弹性弹性为为 弹性的经济意义：表示在弹性的经济意义：表示在x=x0处处,当当 x改变改变1 时时,y=f(x)改改变了变了 弹性的概念也可推广到多元函数的情形。弹性的概念也可推广到多元函数的情形。13二、弹性分析二、弹性分析回忆回忆一元函数一元函数:y=f(x)在在 x=x0处的处的弹性弹性为为1.定义：定义：二元函数二元函数在在(x0,y0)处对处对x和和y的弹性分别的弹性分别为为14二、弹性分析二、弹性分析1.定义：定义：二元函数二元函数在在(x0,y0)处对处对x的弹性为的弹性为弹性的经济意义：弹性的经济意义：表

12、示表示在在(x0,y0)处，处，当当y=y0保持不变时保持不变时，x每改每改变变1%，函数，函数z=f(x,y)改变改变 表示表示在在(x0,y0)处，处，当当x=x0保持不变时保持不变时,y每改每改变变1%，函数，函数z=f(x,y)改变改变 15二、弹性分析二、弹性分析1.定义：定义：二元函数二元函数在在(x0,y0)处对处对x的的弹性为弹性为偏弹性函数的定义：偏弹性函数的定义：称为称为在在(x,y)处对处对x和和y的的偏弹性函数偏弹性函数.16 假设有两种商品假设有两种商品 A 与与 B。P1 与与 P2 分分别表示商别表示商品品 A 与与 B 每单位的价格。函数每单位的价格。函数 Q1

13、（P1,P2）表示表示商品商品 A 的需求函数，函数的需求函数，函数 Q2（P1,P2）表示商品表示商品 B 的需求函数。称：的需求函数。称：为为需求量对自身价格的需求量对自身价格的直接价格偏弹性直接价格偏弹性。称。称2、需求价格偏弹性、需求价格偏弹性为为需求量对相关价格的需求量对相关价格的交叉价格偏弹性。交叉价格偏弹性。17例例4 4 设某市场牛肉的需求函数为设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格相关商品猪肉的价格P28.求求(1)牛肉需求的价格偏牛肉需求的价格偏弹弹性性,(2)牛肉需求的交叉价格偏牛肉需求的交

14、叉价格偏弹弹性性,(3)若猪肉价格增加若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的求牛肉需求量的变变化率化率.解解:(1)牛肉需求的价格偏弹性为牛肉需求的价格偏弹性为18例例4 设某市场牛肉的需求函数为设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格相关商品猪肉的价格P28.求求(1)牛肉需求的价格偏弹性牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率求牛肉需求量的变化率.解解:(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性为牛肉需求的交叉价格偏弹性为19

15、例例4 设某市场牛肉的需求函数为设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格相关商品猪肉的价格P28.求求(1)牛肉需求的价格偏弹性牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率求牛肉需求量的变化率.解解:3)由需求的交叉价格偏弹性由需求的交叉价格偏弹性,得得 即当相关商品猪肉的价格增加即当相关商品猪肉的价格增加10%,而牛肉价格不而牛肉价格不变时变时,牛肉的市场需求量将增加牛肉的市场需求量将增加0.0220 也可用偏弹性函数

16、来描述两种商品彼此为替代型也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型。还是互补型。假设有两种商品假设有两种商品 A 与与 B。p1 与与 p2 分别表示商品分别表示商品 A 与与 B 每单位的价格。函数每单位的价格。函数 Q1（p1,p2）表示商品表示商品 A 的需求函数，函数的需求函数，函数 Q2（p1,p2）表示商品表示商品 B 的需的需求函数。因为函数恒有下列关系：求函数。因为函数恒有下列关系：所以恒有：所以恒有：3、用需求价格偏弹性对两种商品之间性质进行解释、用需求价格偏弹性对两种商品之间性质进行解释21若两商品在价格若两商品在价格(p1,p2)处为替代型处为替代型 因为：因

17、为：则有：则有：表示当商品表示当商品 A的价格不变，而商品的价格不变，而商品 B 的价格上升时，的价格上升时，商品商品 A 的需求量增加；当商品的需求量增加；当商品 B 的价格不变，而的价格不变，而A 的价格上升时，商品的价格上升时，商品 A的需求量增加。即一种商品需的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加，两种产品是替求的减少导致另一种商品需求的增加，两种产品是替代关系。代关系。22若两商品在价格若两商品在价格(p1,p2)处为互补型处为互补型 因为：因为：则有：则有：表示当商品表示当商品 A的价格不变，而商品的价格不变，而商品 B 的价格上升时，的价格上升时，商品商品 A

18、 的需求量减少；当商品的需求量减少；当商品 B 的价格不变，而的价格不变，而A 的价格上升时，商品的价格上升时，商品 A的需求量减少。即一种商品需的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少，两种产品是互求的减少导致另一种商品需求的减少，两种产品是互补关系。补关系。23 小结：小结：不同交叉弹性的值，能反映两种不同交叉弹性的值，能反映两种 商品间的相关性，具体就是：商品间的相关性，具体就是：当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。

19、当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。24 例例5 5 某种数码相机的销售量某种数码相机的销售量 ,除与它自身的价格除与它自身的价格 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格 有关，具有关，具 体为体为 求求 时时,(1)对对 的弹性的弹性;(2)对对 的交叉弹性。的交叉弹性。解解(1)对对 的弹性为的弹性为 25 当当 时，时，(2)对对 的弹性为的弹性为 当当 时，时，26三、经济问题的最优化三、经济问题的最优化例例6 6：某企业生产两种商品的产量分别为某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位单位,利润函数为：利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+3

20、2y-14，求最大求最大利润。利润。解：解：由极值的必要条件由极值的必要条件由极值的必要条件由极值的必要条件解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点(40,24).(40,24).由由由由可知可知可知可知,唯一驻点唯一驻点唯一驻点唯一驻点(40,24)(40,24)为极大值点为极大值点为极大值点为极大值点,亦即最大值点。亦即最大值点。亦即最大值点。亦即最大值点。最大值为：最大值为：最大值为：最大值为：L L(40,24)=1650(40,24)=165027例例7 7：某厂生产某厂生产A、B两产品两产品,产量分别为产量分别为x和和y(单位单位:千件千件),利润函数为利润函数为L=6x-

21、x2+16y-4y2-2(单位单位:万元万元);已知生产这两产品时已知生产这两产品时,每千件消耗某原料每千件消耗某原料2000公斤公斤,现有该原料现有该原料12000公斤公斤,问两产品各生产多少问两产品各生产多少,总利总利润最大？润最大？解：解：条件极值问题条件极值问题条件极值问题条件极值问题拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数令令令令解得唯一驻点：解得唯一驻点：解得唯一驻点：解得唯一驻点：由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知,最大值为最大值为最大值为最大值为答：当答：当答：当答：当A A生产生产生产生产3.83.8千件千件千件千件,B B生产生产生产生产2.2

22、2.2千件时千件时千件时千件时,利润最大利润最大利润最大利润最大,最大最大最大最大利润为利润为利润为利润为36.7236.72万元。万元。万元。万元。28小小 结结1.二元函数二元函数z=f(x,y)的边际定义：的边际定义：二元函数二元函数的偏导数的偏导数和和分别称为分别称为在点在点(x0 0,y0 0)关于关于和和的的边际边际。边际的经济意义：边际的经济意义：表示表示在在(x0,y0)处，处，当当y=y0保持不变保持不变，x每改变一每改变一个单位，函数个单位，函数z=f(x,y)改变改变 个单位个单位 表示表示在在(x0,y0)处，处，当当x=x0保持不变保持不变,y每改变一每改变一个单位，函数个单位，函数z=f(x,y)改变改变 个单位个单位 292.二元函数二元函数z=f(x,y)的弹性定义：的弹性定义：二元函数二元函数在在(x0,y0)处对处对x的弹性为的弹性为弹性的经济意义：弹性的经济意义：表示表示在在(x0,y0)处，处，当当y=y0保持不变时保持不变时，x每改每改变变1%，函数，函数z=f(x,y)改变改变 表示表示在在(x0,y0)处，处，当当x=x0保持不变时保持不变时,y每改每改变变1%，函数，函数z=f(x,y)改变改变 30作业作业：P327P327：1 1(1)1),2,8,2,8复复习第习第7 7章章31