第2章矩阵.ppt

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1、1.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项一、矩阵概念的引入线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为数表数表二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.记作记作简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主主对角线对角线副对角线副对角线例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶

2、方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵.也可记作也可记作只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（3）形形如如 的的方方阵阵,不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作(5)方阵方阵称为称为

3、单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同型矩阵同型矩阵.矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.思考题

4、矩阵与行列式的有何区别?、定义、定义一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为规定为说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如2 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律1 1、定义、定义二、数与矩阵相乘2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个

5、 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中例例设设例例2 2故故解解注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不不存在存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中其中 为数）为数）;若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：例例 设设则则但也有例外，比如但也有例外，比如设设则有则有解解例例4 4由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明

6、当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例例5 5 已知已知解法解法1解法解法22、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，

7、如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复

8、数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵.运算性质运算性质（设设 为复矩阵，为复矩阵，为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意

9、注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同不同.思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.,使得使得例例 设设说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即定理定理1 1 矩阵矩阵

10、 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 证明证明若若 可逆，可逆，按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论推论证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证明证明证明证明例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解三、逆矩阵的求法同理可得同理可得故故例例3 3 设设解解于是于是例例4 4解解 例例7 7一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横

11、线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.例例即即即即二、分块矩阵的运算规则分块分块对角矩阵的行列式具有下述性质对角矩阵的行列式具有下述性质:例例3 3 设设解解三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法.(1)加法加法(2)数乘数乘(3)乘法乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似