中南大学随机过程第五章.ppt

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1、随机过程与排队论随机过程与排队论数学科学与计算技术学院数学科学与计算技术学院胡朝明胡朝明Email：math_1/30/20231/30/2023上一讲内容回顾上一讲内容回顾独立增量过程独立增量过程正态过程正态过程维纳过程维纳过程1/30/20232胡朝明胡朝明本讲主要内容本讲主要内容泊松过程泊松过程泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的概率分布泊松过程的概率分布泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征泊松过程的性质泊松过程的性质非齐次泊松过程非齐次泊松过程复合泊松过程复合泊松过程更新计数过程更新计数过程1/30/20233胡朝明胡朝明3.泊松过程泊松过程 泊松过程是一

2、种很重要的计数过程，它在随机过泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过程程的的理理论论和和应应用用方方面面都都起起着着重重要要的的作作用用，特特别别在在运筹学和排队论中的作用更为显著。运筹学和排队论中的作用更为显著。泊松过程的实例很多，例如：在泊松过程的实例很多，例如：在0,t)时间内，时间内，1.到达某超级市场的顾客数到达某超级市场的顾客数N(t)；2.某电话交换台的呼唤数某电话交换台的呼唤数N(t)；3.某车间发生故障的机器数某车间发生故障的机器数N(t)；4.某计数器接受到的粒子数某计数器接受到的粒子数N(t)；5.某通信系统出现的误码数某通信系统出现的误码数N(t)；等等，等等，N(

3、t),t 0都是泊松过程的典型实例。都是泊松过程的典型实例。1/30/20234胡朝明胡朝明泊松过程的定义泊松过程的定义1如果取非负整数值的计数过程如果取非负整数值的计数过程N(t),t 0满足：满足：1.N(0)0；2.具有独立增量；具有独立增量；3.对任意对任意0 st,N(t)-N(s)服从参数为服从参数为(t-s)泊泊松分布，松分布，则则称称N(t),t 0为为参参数数(或或平平均均率率、强强度度)为为 的的(齐次齐次)泊松过程泊松过程。1/30/20235胡朝明胡朝明泊松过程的定义泊松过程的定义2如果取非负整数值得计数过程如果取非负整数值得计数过程N(t),t 0满足下满足下列条件：

4、列条件：a)N(0)0；b)具有平稳独立增量；具有平稳独立增量；c)PN(h)=1 h+o(h)；d)PN(h)2o(h)则称则称N(t),t 0为为参数参数(或平均率、强度或平均率、强度)为为 的的(齐次齐次)泊松过程泊松过程。1/30/20236胡朝明胡朝明等价定理等价定理定理定理 泊松过程的定义泊松过程的定义1与定义与定义2是等价的。是等价的。证明证明 12：条件条件a)与与1)相同。条件相同。条件b)可由可由2)和和3)直接得到。直接得到。PN(h)=1PN(h)-N(0)=1即即d)。h1-h+o(h)h+o(h)即即c)。1/30/20237胡朝明胡朝明证明证明21：条件条件1)与

5、与a)相同。条件相同。条件2)由由b)直接得到。只要证明：直接得到。只要证明：N(t)(t 0)服从参数为服从参数为 t泊松分布。泊松分布。设设pk(t)PN(t)=k，利用归纳法证明：利用归纳法证明：(1)k=0，p0(t+h)PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0解得：解得：p0(t)e-t。独立增量独立增量过程过程平稳性平稳性 PN(t)=0PN(h)=0 p0(t)1-h+o(h)因为因为1/30/20238胡朝明胡朝明证明证明(续续1)(2)k 1pk(t+h)PN(t+h)=kpk(t)1-h+o(h)+pk-1(t)

6、h+o(h)+o(h)，1/30/20239胡朝明胡朝明证明证明(续续2)k=1时时,解得：解得：p1(t)te-t，所以所以k=1时结论成立。时结论成立。假设假设k-1时结论成立，时结论成立，解解得得结论成立。结论成立。由归纳法知，对一切由归纳法知，对一切k=0,1,2,，结论成立。结论成立。得证得证再由平稳独立增量性质，对一切再由平稳独立增量性质，对一切0 s0,N(t)(t),PN(t)=k2)均值函数均值函数m(t)EN(t)t；3)方差函数方差函数D(t)DN(t)t。2.一维特征函数一维特征函数1/30/202311胡朝明胡朝明泊松过程的概率分布和数字特征泊松过程的概率分布和数字特

7、征3.二维概率分布二维概率分布PN(s)=j,N(t)=kPN(s)=j,N(t)-N(s)=k-jtsPN(s)=jPN(t-s)=k-j1/30/202312胡朝明胡朝明泊松过程的概率分布和数字特征泊松过程的概率分布和数字特征4.协方差函数和相关函数协方差函数和相关函数协方差函数协方差函数C(s,t)min(s,t)，相关函数相关函数R(s,t)min(s,t)2st。证明证明 R(s,t)EN(s)N(t)EN(s)N(t)-N(s)+N(s)st表表示示在在0,t)内内泊泊松松事事件件还还没没有有出出现现，因因此此，事事件件T1t的的发发生生当当且且仅仅当当没没有有泊泊松松事事件件在在

8、在在0,t)内内出出现现，于是对于是对t0，有，有P T1tPN(t)=0e-tP T1t1-P T1t 1-e-t对对tt0因此，因此，T1的分布函数为的分布函数为1/30/202315胡朝明胡朝明T1的概率密度为的概率密度为即即T1服从参数为服从参数为的（负）指数分布。的（负）指数分布。T2表示事件第表示事件第1次出现至第次出现至第2次出现的点间间距次出现的点间间距 P T2t|T1=s1P在在(s,s+t)内没有事件出现内没有事件出现|T1=s1 P在在(s1,s1+t)内没有事件出现内没有事件出现P N(s1+t)N(s1)=0P N(t)=0e-t1/30/202316胡朝明胡朝明当

9、当s0时时，可可见见T2也也服服从从参参数数为为的的（负负）指指数数分分布布且且T2与与T1独立同分布。独立同分布。类类似似地地，可可用用数数学学归归纳纳法法证证明明当当n2时时，Tn，n=1,2,相互独立，都相互独立，都参数为参数为的（的（负负）指数分布。）指数分布。1/30/202317胡朝明胡朝明泊松过程的性质泊松过程的性质3设设N(t),t 0是是参参 数数 为为 的的 泊泊 松松 过过 程程，n,n=1,2,为为等等待待时时间间序序列列，则则 n(n,)，即即概概率率密密度度为：为：即即n阶爱而朗分布。阶爱而朗分布。1/30/202318胡朝明胡朝明非齐次泊松过程非齐次泊松过程如果计

10、数过程如果计数过程N(t),t 0满足下列条件：满足下列条件：a)N(0)0；b)N(t),t 0是独立增量过程；是独立增量过程；c)PN(t+t)-N(t)=1(t)t+0(t)；d)PN(t+t)-N(t)20(t)则称则称N(t),t 0为为参数参数(或平均率、强度或平均率、强度)为为(t)的的非齐非齐次泊松过程次泊松过程。特别，当。特别，当(t)=时，即为时，即为齐次泊松过程齐次泊松过程。定理定理 若过程若过程N(t),t 0是非齐次泊松过程，则在时间是非齐次泊松过程，则在时间间距间距t0,t0+t)内事件内事件A出现出现k次的概率为：次的概率为：式中式中1/30/202319胡朝明胡

11、朝明例例某某镇镇有有一一小小商商店店，每每日日8:00开开始始营营业业。从从8:00到到11:00平平均均顾顾客客到到达达率率线线性性增增加加，在在8:00顾顾客客平平均均到到达达5人人/小小时时；11:00到到达达率率达达最最高高峰峰20人人/小小时时。从从11:00到到13:00平平均均顾顾客客到到达达率率为为20人人/小小时时。从从13:00到到17:00平平均均顾顾客客到到达达率率线线性性下下降降，17:00顾顾客客到到达达率率为为12人人/小小时时。假假设设在在不不相相交交的的时时间间间间隔隔内内到到达达商商店店的的顾顾客客数数是是相相互互独独立立的的，试试问问在在8:30到到9:3

12、0时时间间内内无无顾顾客客到到达达商商店店的的概概率率为为多多少少？在在这这段段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？时间机内到达商店的顾客的均值为多少？1/30/202320胡朝明胡朝明解解设设8:00为为t=0，11:00为为t=3，13:00为为t=5，17:00为为t=9，第二天第二天8:00可以为可以为t=9。于是，顾客到达率是周期为于是，顾客到达率是周期为9的函数：的函数：(t)(t-9)根据题意，在根据题意，在0,t)内到达的顾客数内到达的顾客数N(t),t 0是一个是一个非齐次泊松过程。非齐次泊松过程。在在8:30到到9:30无顾客到达商店的概率为无顾客到达商店的概率为在在8:3

13、0到到9:30到达商店的顾客均值为到达商店的顾客均值为1/30/202321胡朝明胡朝明复合泊松过程复合泊松过程 设设N(t),t 0是是参参数数为为 的的泊泊松松过过程程，Yn，n=1,2,是是相相互互独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列，且且N(t),t 0与与Yn，n=1,2,相互独立，令相互独立，令称称X(t),t 0为为复合泊松过程复合泊松过程。1/30/202322胡朝明胡朝明更新计数过程更新计数过程 设设N(t),t 0是计数过程，如果它的时间间距是计数过程，如果它的时间间距T1,T2,Tn,是相互独立同分布的随机变量，是相互独立同分布的随机变量，则称则称N(t),t

14、 0为为更新计数过程更新计数过程，称时间间距为，称时间间距为更新更新间距间距。例例 电话台呼唤流电话台呼唤流 设设有有一一个个不不断断受受到到呼呼唤唤的的电电话话台台，电电话话呼呼唤唤到到达达的的时时间间为为 1,2,n，时时间间间间距距T1=1,T2=2-1，Tn=n-n-1是是相相互互独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量。令令N(t)表表示示在在时时间间0,t)内内收收到到的的呼呼唤唤数数，则则N(t),t 0是是更新过程。更新过程。1/30/202323胡朝明胡朝明更新过程的概率分布更新过程的概率分布 设设N(t),t 0是更新过程，其是更新过程，其到达的时间为到达的时间为 1,2,

15、n。时间间距时间间距T1=1,T2=2-1,Tn=n-n-1相互独立都与随相互独立都与随机变量机变量T同分布。设同分布。设T的分布函数为的分布函数为FT(t)，故，故Tk的分布函的分布函数为数为FTk(t)FT(t)，k=1,2,令令更新计数过程的分布函数为更新计数过程的分布函数为FN(t)(k)PN(t)k，则，则1)由时间间距由时间间距T的特征函数的特征函数 T(u)，计算到达时间计算到达时间 k 的特征函数：的特征函数：2)由由 k的特征函数的特征函数 k(u)确定确定 k的概率密度的概率密度f k(t)和分布和分布函数函数F k(t)；3)由由F k(t)确定更新计数过程确定更新计数过

16、程N(t),t 0的分布函数。的分布函数。由于事件由于事件 kt与事件与事件N(t)k等价，从而等价，从而P ktPN(t)k1-PN(t)k即即F k(t)1FN(t)(k)故故FN(t)(k)1F k(t)1/30/202324胡朝明胡朝明更新过程的均值函数更新过程的均值函数设设N(t),t 0是更新过程，则是更新过程，则1/30/202325胡朝明胡朝明本讲主要内容本讲主要内容泊松过程泊松过程泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的概率分布泊松过程的概率分布泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征泊松过程的性质泊松过程的性质非齐次泊松过程非齐次泊松过程复合泊松过程复合泊松过程更新计数过程更新计数过程1/30/202326胡朝明胡朝明下一讲内容预告下一讲内容预告马尔可夫过程马尔可夫过程马尔可夫过程的概念马尔可夫过程的概念马尔可夫过程的分类马尔可夫过程的分类离散参数马氏链离散参数马氏链1/30/202327胡朝明胡朝明P9812.15.19.习习 题题 三三1/30/202328胡朝明胡朝明