3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 (2)(精品).ppt

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1、3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 运算是运算是“数数”的最主要的功能，复数不同于的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算单的复数运算复数的加、减法复数的加、减法引入引入 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数展到了复数实部实部虚部虚部1.1.复数代数形式的加、减运算法则复数代数形式的加、减运算法则.（重点）（重点）2.2.复数代数形式的加、

2、减运算律复数代数形式的加、减运算律.（难点）（难点）3.3.复数代数形式的加、减运算的几何意义复数代数形式的加、减运算的几何意义.我我们们知道知道实实数有加、减、乘等运算，且有数有加、减、乘等运算，且有运算律：运算律：a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac 那么复数那么复数应应怎怎样进样进行加、减、乘运算呢？行加、减、乘运算呢？你你认为应认为应怎怎样样定定义义复数的加、减、乘运算呢复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立？运算律仍成立吗吗？探究点探究点1 1 复数的加法复数的加法1.复数代数形式的加法复数代数形式的加法我我们规们规定

3、，复数的加法法定，复数的加法法则则如下：如下：设设z1=a+bia+bi,z2=c+dic+di是任意两个复数，那么是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+dia+bi)+(c+di)=()=(a+c)+(b+d)ia+c)+(b+d)i.说说明明:（1 1）复数的加法运算法）复数的加法运算法则则是一种是一种规规定定.当当b=0b=0，d=0d=0时时与与实实数加法法数加法法则则保持一致保持一致;（2 2）很明）很明显显，两个复数的和仍然是一个复数，两个复数的和仍然是一个复数,对对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.2.设设z1=a1+b1i,z

4、2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因）因为为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以所以 z1+z2=z2+z1 探究点探究点2 复数的加法复数的加法满满足交足交换换律、律、结结合律合律（2）因）因为为 (z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以所以 (

5、z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意所以，对任意z1，z2，z3 C,有有 z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）探究点探究点3 3 复数与复平面内的向量有一一对应关系复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？讨论复数加法的几何意义吗？OZ1(a,b)Z2(c,d)Zxy设设 ,分别与复数分别与复数a+bi,c+di对应对应=（a,b），），=(c,d)+=（a+c,b+d）=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行复数的加法可以按

6、照向量的加法来进行xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.3.3.复数加法运算的几何意义复数加法运算的几何意义探究点探究点4 复数的减法复数的减法 类类比比实实数集中减法的意数集中减法的意义义，我，我们规们规定，复数的定，复数的减法是加法的逆运算，即把减法是加法的逆运算，即把满满足足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数的复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的差，的差，记记作作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定根据复数相等的定义义，有，有c+x=a,d+

7、y=b,因此因此 x=a-c,y=b-d,所以所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i,即即 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.4.复数的减法复数的减法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说说明：明：两个复数的差是一个确定的复数两个复数的差是一个确定的复数.xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.探究点探究点5.5.复数减法运算的几何意义复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么表示什么?表示复平面上两点表示复平面上两点Z1,Z2的距离的距离例例1 1 计计算算(5-6i)+(-

8、2-i)-(3+4i).(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-35-2-3）+（-6-1-4-6-1-4）i i =-11i =-11i例例2 2 计计算算(1(13 3i i)+(2 2+5 5i i)+(-(-4 4+9i+9i).).解：解：原式原式=（1+2-41+2-4）+（-3+5+9-3+5+9）i=-1+11ii=-1+11i例例3 3A.A.一条直一条直线线 B.B.两条直两条直线线C.C.圆圆 D.D.其他其他C C3.|z3.|z1 1|=|z|=|z2 2|平行四平行

9、四边边形形OABCOABC是是 .4.|z4.|z1 1+z+z2 2|=|z|z1 1-z-z2 2|平行四平行四边边形形OABCOABC是是 .5.|z5.|z1 1|=|z|=|z2 2|，|z|z1 1+z+z2 2|=|z|z1 1-z-z2 2|平行四平行四边边形形OABCOABC是是 .菱形菱形矩形矩形正方形正方形(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(5+3i)|(2)|z+(5+3i)|6.6.已知复数已知复数z z对应对应点点A,A,说说明下列各式所表示明下列各式所表示的几何意的几何意义义.点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到

10、点到点(5,5,3)3)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0,(0,2)2)的距离的距离7.7.计计算算（1 1）（）（5+45+4i i）+（-3-2-3-2i i）（2 2）（）（2-2-i i）-（2+32+3i i）+4+4i i（3 3）5-5-（3+2i3+2i）（4 4）4i-4i-（4i-44i-4）答案：答案：(1)2+2i (2)0 (3)2-2i (4)4(1)2+2i (2)0 (3)2-2i (4)48.8.已知复数已知复数m=2m=23i,3i,若复数若复数z z满满足等式

11、足等式|z|zm|=1,m|=1,则则z z所所对应对应的点的集合是什么的点的集合是什么图图形形?解：解：以点以点(2,(2,3)3)为圆心为圆心,1,1为半径的圆为半径的圆.1.1.复数的加、减运算法复数的加、减运算法则则表明，若干个复数的代数表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可和仍是一个复数，复数的和差运算可转转化化为为复数的复数的实实部、虚部的和差运算部、虚部的和差运算.2.2.在几何背景下求点或向量在几何背景下求点或向量对应对应的复数，即求点或的复数，即求点或向量的坐向量的坐标标，有关复数模的，有关复数模的问题问题，根据其几何意，根据其几何意义义，有有时时可可转转化化为为距离距离问题处问题处理理.3.3.在在实际应实际应用中，既可以将复数的运算用中，既可以将复数的运算转转化化为为向向量运算，也可以将向量的运算量运算，也可以将向量的运算转转化化为为复数运算，二复数运算，二者者对对立立统统一一.人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗.