(精品)2.1.2　线性方程组消元解法.ppt

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1、二、线性方程组的消元解法二、线性方程组的消元解法克莱姆法则中，克莱姆法则中，未知量的个数未知量的个数系数行列式系数行列式而线性方程组的一般形式为而线性方程组的一般形式为要求：要求：方程的个数方程的个数如如1.1.消元法消元法例例在以上求解过程中，在以上求解过程中，对方程组反复进行了对方程组反复进行了三种三种变换：变换：这三种这三种变换的每一种变换的每一种对线性方程组施行初等变换后对线性方程组施行初等变换后,把一个方程的若干倍把一个方程的若干倍用一个用一个非零非零的数的数得到的得到的新方程组新方程组都称为线性方程组的都称为线性方程组的与原方程组与原方程组初等变换初等变换.乘以某个方程的两边乘以某

2、个方程的两边;加到另一个方程上加到另一个方程上.是同解的是同解的.以下以下1.1.交换两个方程的位置交换两个方程的位置;2.2.3.3.(2.7)(2.7)称为方程组称为方程组(2.7)(2.7)的的称为方程组称为方程组(2.7)(2.7)的的系数矩阵系数矩阵.增广矩阵增广矩阵.例例 未知量的个数未知量的个数例例 对应的对应的方程组方程组为为此此方程为矛盾方程方程为矛盾方程,故原方程也无解故原方程也无解.无解无解,为方程组的全部解为方程组的全部解为方程组的全部解为方程组的全部解未知量的个数未知量的个数.线性方程组有解线性方程组有解的判定定理的判定定理定理定理2.32.3元元线性方程组线性方程组

3、方程组有解方程组有解方程组有方程组有 解解唯一唯一方程组有方程组有 解解无穷多无穷多此时此时,一般解中一般解中有有 个个自由未知量自由未知量.例例无解、无解、(2)(2)当有解时当有解时,有无穷多解有无穷多解;求出其解求出其解.取取何值何值时时,方程组方程组解解有有唯一解唯一解.时时此时，此时，有唯一解、有唯一解、唯一解为：唯一解为：有有唯一解唯一解.时时当当且且 时，时，无解无解;当当 且时，且时，有无穷多解有无穷多解,此时此时,方程组化为方程组化为:即即故方程组的全部解为故方程组的全部解为:n n元元齐次齐次线性方程组线性方程组其其系数矩阵为系数矩阵为常数项矩阵为常数项矩阵为增广矩阵为增广

4、矩阵为:齐次线性方程组齐次线性方程组有有唯一解唯一解有有无穷多个解无穷多个解(只有零解只有零解)(有非零解有非零解)总有解总有解(零解零解)时时,时时,定理定理2.42.4 设设 元元齐次线性方程组齐次线性方程组的系数矩阵的系数矩阵 的秩为的秩为(1)(1)如果如果则方程组则方程组(2.8)(2.8)仅有零解仅有零解;则方程组则方程组(2.8)(2.8)有非零解有非零解.推论推论 如果如果n n元元齐次线性方程组齐次线性方程组方程的个数方程的个数少于未知量的个数少于未知量的个数,即即则方程组必有非零解则方程组必有非零解.证证 系数矩阵系数矩阵故方程组有非零解故方程组有非零解.(2)(2)如果如

5、果中中,定理定理2.5 2.5 它的系数行列式它的系数行列式线性方程组线性方程组(2.9)(2.9)线性方程组线性方程组(2.9)(2.9)仅有零解仅有零解它的系数行列式它的系数行列式有非零解有非零解r r含含n n个未知量个未知量n n个方程的个方程的证证齐次线性方程组齐次线性方程组仅有零解仅有零解有有非非零解零解例例 使齐次线性方程组使齐次线性方程组解解或或时，时，有非零解有非零解有非零解，有非零解，并求出解并求出解.确定确定 的值的值,或或时，时，有非零解有非零解当当 时时全部解为全部解为当当 时时全部解为全部解为:例例 证明证明:两两两两不等，不等，此线性方程组无解此线性方程组无解.若

6、若则则解解例例 证明证明:两两两两不等，不等，此线性方程组无解此线性方程组无解.若若则则解解故此线性方程组无解故此线性方程组无解.例例解解使方程组有解使方程组有解,确定确定a a的值，的值，当当时，时，方程组有无穷多解方程组有无穷多解全部解为全部解为求其解求其解.在有无穷多解时在有无穷多解时,例例解解使方程组有解使方程组有解,确定确定a a的值，的值，求其解求其解.当当时，时，当当时，时，有无穷多解有无穷多解;当当在有无穷多解时在有无穷多解时,且且时时,有唯一解有唯一解;当当时时,无解无解.作业作业第二版第二版 P112 4P112 4，5 5，6 6 题题第三版第三版 P85 4P85 4，5 5，6 6 题题