自控原理5.ppt

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1、第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法5.1 频频 率率 特特 性性5.2 典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性5.3 奈奎斯特判据奈奎斯特判据5.4 稳稳 定定 裕裕 度度5.5 闭环频率特性闭环频率特性 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方

2、便又有效的工具。R1C1i1(t)5.1 5.1 频率特性频率特性频率特性频率特性图图5.1A()称称幅频特性幅频特性，()称称相频特性相频特性。二者统称为频率特性。二者统称为频率特性。幅相曲线：幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率从从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。率特性曲

3、线，简称幅相曲线。幅频特性曲线：幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线），其横坐标采对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线），其横坐标采用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作dBdB，对数相频曲线对数相频曲线的单位是度。的单位是度。对数分度优点：对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。频率特性的几何表示方法频率特性的几何表示方法 图图5-35-3对数幅相曲线对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横

4、坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。比例环节：比例环节：K K 惯性环节：惯性环节：1/(1/(Ts+1)Ts+1)，式中式中T0T0 一阶微分环节：一阶微分环节：(Ts+1)Ts+1)，式中式中T0T0 积分环节：积分环节：1/s 微分环节：微分环节：s 振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1;式中式中n0，00，015.2 5.2 典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性1典型环节典型环节典型环节典型环节比例环节的频率特性比例环节的频率特性是是G(

5、jG(j)=K,)=K,幅相曲线如下左图。幅相曲线如下左图。k j 0 图图5-4 比例环节比例环节K的幅相曲线的幅相曲线 0 0 20lgK (dB)(o)1 1 10 10 图图5-5 比例环节的比例环节的 对数对数 频率特性曲线频率特性曲线 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：L()=20lg|G(j)|=20lgK 和和()=0 相应曲线如上右图。相应曲线如上右图。典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性比例环节比例环节 积分环节的对数幅频特性是积分环节的对数幅频特性是 L(L()=-20lg)=-20

6、lg,而相频特性是而相频特性是 ()=-90)=-90o o。图图5-7 1/j和和j的对数坐标图的对数坐标图 j 1/j 0.1 (dB)j 1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec 1/j (o)90 -90 0 0.1 1 10 j 1/j j=0 0图图5-8微分环节幅相曲线微分环节幅相曲线0 图图5-6 积分环节的幅相曲线积分环节的幅相曲线 j 微分环节微分环节 G(s)=s和和G(j)=j=/2 L()=20lg,而相频特性是而相频特性是()=90o。积分环节积分环节1/T,L()-20lgT =-20(lg-lg1/T)G(s)=1/(Ts+1),G(s)=

7、1/(Ts+1),-1/T j p0(a)j+1/T 图图5-9 惯性环节惯性环节 极点极点零点图零点图(a)和幅相曲线和幅相曲线(b)=0 j0=-45o =1/T (b)K惯性环节惯性环节 1/T,L()20lgT =20(lg-lg1/T)0.1 (dB)1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec 1/T 图图5-10 1+j T和和1/(1+j T)的对数坐标的对数坐标 (o)90 -90 0 0.1 1 10 G(s)=Ts+1，j -1/T 0 (a)j+1/T =0 j 0 1(b)图图5-11 一阶微分环节的一阶微分环节的 极点极点零点图零点图(a)和幅相曲

8、线和幅相曲线(b)一阶微分环节一阶微分环节 G(s)=Ts+1G(s)=1/(s/n)2+2s/n+1图图5-12 振荡环节的幅相曲线振荡环节的幅相曲线振荡环节振荡环节 n n时时L(L()-40lg-40lg/n n=-40(lg=-40(lg-lg lg n n)10 1 10 图图5-13 振荡环节的对数坐标图振荡环节的对数坐标图 /n 0.1 (dB)1 0 40-20 40dB/dec -40dB/dec (o)180 -180 0 0.1 /n 20 谐谐振频率振频率r与与谐谐振峰值振峰值Mr：当阻尼比当阻尼比 比较小时，在比较小时，在=n附近将出现附近将出现谐谐振峰值。振峰值。延

9、迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：0-25ImG(j)ReG(j)例题例题1：绘制：绘制 的幅相曲线的幅相曲线。解：解：求求交点：交点：曲线如图所示曲线如图所示：令令.064,056,0)j(GRe222=+=+-=无实数解，与虚轴无交无实数解，与虚轴无交点点开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。试绘出开环对数渐近幅频曲线。例例5.25.2 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。q确定 和各转折频率 ，并将这些q频率按小大顺序依次标注在频率轴上；q

10、确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：q 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;例5-3系统开环特性为：试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以则，2、低频渐进线：斜率为 ，过点

11、（1，20）3、波德图如下：红线为渐进线，兰线为实际曲线。例5-4已知，试画波德图。解：1、2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。4、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为：红线为渐进线，兰线为实际曲线。例5-5具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。解：可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统不成立。非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是当系统中包含一个或多个非最小相位

12、环节；另一种情况可能发生在系统存在不稳定的内部小回路。一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相位环节。一、幅角定理：设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：(a)闭环传递函数为：(b)5.3 5.3 频率域稳定判据频率域稳定判据频率域稳定判据频率域稳定判据 显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：.(c)由上页(

13、a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点 F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ，称为 在F(s)平面上的映射。同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。例辅助方程为：，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：示意图

14、 曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。若N为正，表示 顺时针运动，包围原

15、点；若N为0，表示 顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示 逆时针运动，包围原点。P:在右半平面开环特征根数在右半平面开环特征根数;Z:在右半平面闭环特征根数在右半平面闭环特征根数;N:在在G平面，平面，从从0，幅相曲线幅相曲线绕（绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。点逆时针转过的圈数。v奈氏判据奈氏判据 Z=P-2N；Z=0时时稳定。稳定。F(s)三个特点：三个特点：1.零、极点分别为闭、开环特征根零、极点分别为闭、开环特征根;2.零、极点个数相等零、极点个数相等;对于稳定的最小相角系统，对于稳定的最小相角系统，从从0 0时时F(s)F(s)应不包围原点。应不包围原点。3.与与G(s)H(s

16、)相差为相差为1。图图5-14奈氏稳定判据奈氏稳定判据何谓负穿越何谓负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的过负实轴的 段到实轴的下半部分，称段到实轴的下半部分，称为正为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴实轴的的 段到实轴的上半部分，称段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于）为负穿越；起始于（或终止于）段的负实轴的正、负穿越段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；称为正负半穿越；在伯特图上，在幅值在伯特图上，在幅值 的区域内，当角频率的区域内，当角频率 增加时，相频特性增加时，相频特性曲线曲线 从下

17、向上穿越从下向上穿越 线称为正穿越；线称为正穿越；相频特性曲线相频特性曲线 从上向下穿越从上向下穿越 线称为线称为负穿越；负穿越；例例5.45.4 判断以下系统的闭环稳定性。判断以下系统的闭环稳定性。从从=0+开始，开始，逆时针补画逆时针补画 90、半径为无穷大的半径为无穷大的圆弧。圆弧。例题例题例题例题2 2 2 2如图题如图题如图题如图题5-175-175-175-17所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。稳定的。稳定的。稳定的。解：解：所以系统

18、稳定所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定 所以系统不稳定所以系统不稳定所以系统稳定所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定 所以系统稳定所以系统稳定 为（为（-1-1，j0)j0)点或点或零分贝值以左的穿零分贝值以左的穿越次数。越次数。穿越时：穿越时：相角增大为正穿越相角增大为正穿越N+，相角减小为负穿越相角减小为负穿越N-,未穿透为半次穿越未穿透为半次穿越,图图5-15对数频率稳定判对数频率稳定判 5.4 5.4 稳定裕度稳定裕度1 1 相角裕度相角裕度当系统开环频率特性的幅值为当系统开环频率特性的幅值为1 1时，系统开环频时，系统开环频率特性相角与率特性相角与 的和定义为相角裕度，所对

19、应的和定义为相角裕度，所对应的频率的频率 称系统的剪切频率，即称系统的剪切频率，即式中式中式中式中 满足满足满足满足2 2 幅值裕度幅值裕度当系统开环频率特性为当系统开环频率特性为 时，系统开环频率幅时，系统开环频率幅值的倒数定义为幅值裕度，所对应的频率值的倒数定义为幅值裕度，所对应的频率 称相称相位交界频率，即位交界频率，即如果以分贝为单位来表示幅值裕度时，有如果以分贝为单位来表示幅值裕度时，有保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化等可能带来的不利影响。为了得到较满意的变化等可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当为在暂

20、态响应，一般相角裕度应当为在 到到 之之间，而幅值裕度应大于间，而幅值裕度应大于其中，其中，g g为相角交界频率为相角交界频率。其定义。其定义的含义：如果系统的开环传递的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的系数增大到原来的h h倍，则系统倍，则系统处于临界稳定状态。处于临界稳定状态。0 g c j -1 G(jc)H(jc)G(jg)H(jg)0 h(dB)(o)(dB)-180 g c 其中，其中，c为系统截止频率为系统截止频率。其定义的含义：如果系统对频率为其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大截止频率的信号的相角滞后再增大 度，则系统处于临界稳定状态。度，则系统

21、处于临界稳定状态。系统稳定，则系统稳定，则 h1、0。1、闭环频率特性性能指标常用的有下列两项：q 谐振峰值 ：系统闭环频率特性幅值的最大值。q 系统带宽和带宽频率：设 为系统的闭环频率特性，当幅频特性 下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围 称为系统带宽。5.5 5.5 闭环频率特性闭环频率特性闭环频率特性闭环频率特性2、典型一阶系统和二阶系统的频率特性与瞬态性能指标的关系频域性能指标：由频宽的定义知：我们知道一阶惯性环节的调整时间是：则频宽越大，调整时间越小。q 一阶系统 传递函数为：q 二阶系统闭环频率特性为：开环频率特性为：幅频特性为：由带宽的定义知当 时的频率 为带宽频率。得：若将带宽定义在波德图上，则当 时，有：图示如右：频域性能指标主要有相位稳定裕度（开环指标）和频宽、谐振峰值（闭环指标）。带宽的物理意义：因为 ，当 时，表示 ，随着 时，表示 ，输出衰减了0.707倍或-3分贝。再增加，输出衰减得更厉害，这时对实际系统来说，已不能正常使用了。在实际应用中，一般用 （或略大一些）来估计 。显然这种估计是偏于保守的。