北大材料力学课件Ch2轴向拉压4-5节.ppt

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1、材 料 力 学第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(Ch2.Axial Tension and Compression)2023/1/28材料力学拉拉(压压)杆的变形杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law)变形变形Deformation:Dl=l1-l横向横向Lateral变形变形:Dd=d1-d线应变Linear Strain:1,轴轴向向应应变变Axial Strain:=Dl/l=const2,横向横向应变应变Lateral Strain:e=Dd/d 显然:e e 0受力变形关系受力变形关系:Dl=Nl/E

2、A(or:=Ee;p)其中:E E-弹性模量弹性模量Elastic Modulus;EA-杆的杆的轴向刚度轴向刚度Axial Rigidity of Bar p-比例极限比例极限Proportional Limit纵横向纵横向应变应变关系关系:e=-me (p)其中:m-横向变形系数横向变形系数(or:泊松比泊松比Poissons Ratio)2023/1/28材料力学拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law)例题例题2-5 2-5 求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力p=2MPa作用下的径向应变和圆

3、环直径的改变量。已知材料的弹性模量E=210GPa。解解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线应变e为圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为2023/1/28材料力学拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law)例例:图示阶梯形钢杆，AB段和CD段的横截面面积相等A1500mm2，BC段横截面积A2300mm2。已知材料

4、的弹性模量E=200GPa。试求:1,各杆段的应力。2,端的位移。解解:1,绘轴力图如图(b)所示。2,求各段应力:3,计算端位移:(端位移D即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即:计算结果为负，说明端发生向左的位移。2023/1/28材料力学拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law)例例:某矿井升降机如图(a)所示，因吊索很长，其自重引起的应力和变形应予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为,材料容重为g，弹性模量为E。试求:钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的应力和变形(设起吊是匀速的)。的内力为

5、Nx=R0-gAx=gA(l-x)+P 故:maxgAl+P)。索为等截面的,其x截面上的应力为 sx=Nx/A=g(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上端横截面上,其值为 smax=Nmax/A=gl+P/A解解:1,计算应力:(索上端支反力R0=P+gA l。用截面法求得x截面2,计算变形:式中=gl为杆的总重量。上式表明:杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而在杆的下端作用一半重量下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长。2023/1/28材料力学拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law

6、)桁架节点位移桁架节点位移:例例:图(a)所示托架,杆1和杆2均为钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷载P=10kN,l1=2m。试求节点的位移。解解:1,求各杆轴力:(取节点A为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条件求得两杆轴力分别为)（拉）（压）2,求各杆的变形:作业作业:2-12,:2-12,2-13,2-15 2-13,2-152023/1/28材料力学拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律胡克定律(Hookes Law)3,求节点的位移:由于两杆的变形,节点A位

7、移至A点,A点是以B为圆心,(l1Dl1)为半径作圆弧与以C为圆心,(l2Dl2)为半径作圆弧的交点。由于变形相对于杆的原长很微小,这种作图方法和计算A点位移很不方便,但正因为变形微小,可将上述两圆弧用过A1和A2两点并分别垂直于杆和杆的两垂线代替(图(c)。此图称为节点A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移dAH和垂直位移dAV分别为节点的总位移为:2023/1/28材料力学225 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能Strain Energy of Axial Forced Bar 弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后

8、,在它放松的过程中将带动齿轮系使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领,这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据,下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内所积蓄的能量在数量上的关系。现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失去的位能将全部转变

9、为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性弹性弹性弹性应变能应变能。在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。2023/1/28材料力学External Work in Elastic RangeExternal Work in Elastic Range:225 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能Strain Energy of Axial Forced Bar韧性模量韧性模量(Modulus of Toughness):轴向变形下的

10、外力功轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial DeformationWork of External Forced in Axial Deformation:dWdTPdDl 故:弹能模量弹能模量:(Modulus of Resilience)2023/1/28材料力学225 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能Strain Energy of Axial Forced Bar(是使试件断裂所需要的比功，故tf越大此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。变形能变形能Strain EnergyStrain Energy and比能比能Energy

11、DensityEnergy Density (Strain Energy per Unit VolumeStrain Energy per Unit Volume):外力作功(T)引起构件变形产生内力(s e)将外力功(T)转化为内能(U)-因是构件变形引起，故称为变形能变形能。当(sse)时称为弹性变形能弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故:比能比能(杆件单位体积内储存的变形能):(s se时)u的量纲(力长度/长度3),常用单位：J/m3。材料进入塑性阶段后，有:(其中:)注:U 和 u 恒为正。2023/1/28材料力学225 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能Strain Energy of Axial Forced Bar例例:图(a)所示架，杆1和杆2均为钢杆，弹性模量E=200GPa，横截面面积分别为A1=200mm2，A2=250mm2，荷载P=10kN，l1=2m。试求节点的垂直位移。解解:2023/1/28材料力学225 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能Strain Energy of Axial Forced Bar 例例:求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用同一种线弹性材料制成，弹性模量为E。解解:(a)杆:(b)杆:(c)杆:因此:2023/1/28材料力学