(精品)1.3偏导数.ppt

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1、1.3、偏导数与高阶偏导数、偏导数与高阶偏导数1.3.1偏导数的概念偏导数的概念定定义义1设设函函数数在在点点的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，当当固固定定在在,而而在在处有增量处有增量时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量如果如果存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数在点在点处对处对的的偏导数偏导数，记为，记为或或,同理同理,可定义可定义函数函数在点在点处对处对的偏导数，的偏导数，为为记为记为，或或偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如在在处处1.3.2偏导数的计算偏导数的计算由偏导数的定义可知由偏导数的定义可知,函数对某一自变量的函数对某一自变

2、量的偏导数就是把其他变量暂时视为常数时函数对偏导数就是把其他变量暂时视为常数时函数对这个自变量的变化率这个自变量的变化率.因此偏导数的计算与一元因此偏导数的计算与一元函数和求导数没有不同函数和求导数没有不同.解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解1.3.3、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多

3、元函数中在某点偏导数存在连续，连续，例例1.3.41.3.4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图过过作平面作平面截此曲面得一曲线截此曲面得一曲线几何意义几何意义:例例1.3.51.3.5求曲线求曲线在在 处的切线与处的切线与y y轴正向之间的夹角轴正向之间的夹角.解解由偏导数的几何意义有由偏导数的几何意义有有有可得可得纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.1.3.5、高阶偏导数、高阶偏导数解解解解混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？看下面的例子相等？看下面的例子.问题：问题：因此有因此有再由偏导数定义可得再由偏导数定义可得由以上两个例子可以看出由以上两个例子可以看出,混合偏导数相混合偏导数相等是有条件的等是有条件的,这个条件如下这个条件如下解解偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练练习习题题练习题答案练习题答案