10讲:ch4-2直接三角分解法.ppt
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1、线性方程组线性方程组:如何求解?CramerCramer法则法则MathsMaths的一般解法的一般解法GaussGauss消元法的原理消元法的原理列主元素法列主元素法全主元素法全主元素法LULU分解法分解法直接三角分解法直接三角分解法上一讲 要 点 回 顾第3节直接三角分解法直接三角分解法设有线性方程组设有线性方程组:一、Gauss消去法的矩阵形式每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵 L Lk k如何理解如何理解?一、Gauss消去法的矩阵形式上三角方程组的一般形式是:上三角方程组的一般形式是:目标目标 一、Gauss消去法的矩阵形式 一、Gauss消去法
2、的矩阵形式若对增广矩阵施行初等行变换,经过若对增广矩阵施行初等行变换,经过n-1n-1次消元后得到:次消元后得到:一、Gauss消去法的矩阵形式i+1i+1行行 i+1i+1行行 一、Gauss消去法的矩阵形式令令 故消元过程是把系数矩阵A分解成下三角矩阵与上三角矩阵的乘积的过程 一、Gauss消去法的矩阵形式 若非奇异矩阵若非奇异矩阵A A,经过一定的行变换后可以分解经过一定的行变换后可以分解成两个三角形矩阵的乘积,即成两个三角形矩阵的乘积,即则称上述分解为杜利特尔则称上述分解为杜利特尔(Doolittle)(Doolittle)分解,也称分解,也称LULU分分解。解。一、Gauss消去法的
3、矩阵形式思思考考题题任一个非奇异矩阵是否一定存在任一个非奇异矩阵是否一定存在LULU分解?分解?解答:不一定解答:不一定比较两边第一列元素得:比较两边第一列元素得:出现矛盾等式,故出现矛盾等式,故A A不存在不存在LULU分解。分解。Gauss消去法的矩阵形式定理定理:设:设A A为为n n阶方阵,若阶方阵,若A A的顺序主子式的顺序主子式均不为零,则矩阵均不为零,则矩阵A A存在唯一的存在唯一的LULU分解。分解。由两个矩阵相等就是它们的对应元素都相由两个矩阵相等就是它们的对应元素都相等,通过比较等,通过比较A A与与LULU的对应元素,可对的对应元素,可对A A进行进行LULU分解。分解。
4、二、矩阵的三角分解l由由LU=ALU=A及对及对L L和和U U的要求可以得到分解的计的要求可以得到分解的计算公式根据下式算公式根据下式(Doolittle(Doolittle分解分解):L Uanna=n1an3 a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n an2 A 1 l21 1 l31 l32 1 ln1 ln2 lnn-1 1 u11 u12 u13 u1n u22 u23 u2n un-1n-1 u(n-1)n unn 二、矩阵的三角分解第第j j个分量个分量第第i i个分量个分量 二、矩阵的三角分解根据矩阵乘法及相等的定义根据矩阵乘
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