第三章 矩阵.ppt

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1、矩矩阵阵行列式与线性方程组行列式与线性方程组目的：求解线性代数方程组目的：求解线性代数方程组新概念：新概念：n阶行列式，通项，逆序数；阶行列式，通项，逆序数；行列式性质；行列式的展开行列式性质；行列式的展开 代数余子式；克拉默法则、代数余子式；克拉默法则、矩阵，矩阵的初等变换；矩阵，矩阵的初等变换；约化梯形矩阵；矩阵的秩；约化梯形矩阵；矩阵的秩；矩矩阵阵第三章第三章 矩阵矩阵矩阵的运算矩阵的运算可逆矩阵可逆矩阵矩阵的分块矩阵的分块矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的等价和等价标准形矩阵的等价和等价标准形矩矩阵阵矩阵的运算：定义矩阵的运算：定义 记为：记为：m=n时，称为时，称

2、为n阶方阵。阶方阵。对应的行列式为对应的行列式为 。矩矩阵阵矩阵的运算：加法、数量乘积矩阵的运算：加法、数量乘积 对矩阵对矩阵注注零矩阵：矩阵中所有元素都为零零矩阵：矩阵中所有元素都为零记为记为数量乘积：数量乘积：矩矩阵阵矩阵的运算：加法、数量乘积矩阵的运算：加法、数量乘积 为为矩阵，则有矩阵，则有矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法 的乘积的乘积注注 的列数与的列数与 的行数相等。的行数相等。矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法 矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法(例例)矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法 说明：说明：1.矩阵乘法交换律不成立矩阵乘法交换律不成立 2.可以

3、非零。可以非零。3.矩阵乘法消去律不成立矩阵乘法消去律不成立 不一定有不一定有矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法 若矩阵若矩阵 的行列使下列各式成立的行列使下列各式成立则有则有矩矩阵阵矩阵的运算：乘法矩阵的运算：乘法-单位矩阵单位矩阵 单位矩阵：主对角元素都是单位矩阵：主对角元素都是1，其余元素均为零的其余元素均为零的n阶阶方阵方阵记为：记为：矩矩阵阵矩阵的运算：数量、对角矩阵矩阵的运算：数量、对角矩阵(方阵方阵)矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:矩阵与相应的行列式矩阵与相应的行列式 对于方阵而言对于方阵而言矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:转置矩阵转置矩阵 矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:转置矩

4、阵的性质转置矩阵的性质 若矩阵若矩阵 的行列数使下式成立，则的行列数使下式成立，则矩矩阵阵转置矩阵转置矩阵对称与反对称矩阵对称与反对称矩阵(方阵方阵)同阶对称阵的和、数乘、方幂仍为对称阵同阶对称阵的和、数乘、方幂仍为对称阵但是两对称阵的乘积不一定但是两对称阵的乘积不一定同阶反对称阵的和、数乘仍为反对称阵同阶反对称阵的和、数乘仍为反对称阵A为反对称阵，为反对称阵，矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:除法除法可逆矩阵可逆矩阵(方阵方阵)对对n n阶方阵阶方阵 ，有，有则称则称为可逆矩阵，为可逆矩阵，为为 的逆矩阵。的逆矩阵。为满秩方阵。为满秩方阵。方阵方阵 可逆的条件可逆的条件记为：记为：矩矩阵阵矩阵的

5、运算矩阵的运算:可逆矩阵可逆矩阵(方阵方阵)-)-证明证明 方阵方阵 可逆的条件可逆的条件必要性：必要性：充分性：充分性：利用行列式的展开定理，人为构造一个矩阵，利用行列式的展开定理，人为构造一个矩阵，利用行列式的展开定理，人为构造一个矩阵，利用行列式的展开定理，人为构造一个矩阵，使它作为行列式与矩阵之间的桥梁使它作为行列式与矩阵之间的桥梁使它作为行列式与矩阵之间的桥梁使它作为行列式与矩阵之间的桥梁伴随矩阵：伴随矩阵：注注相应元素的相应元素的代数余子式代数余子式矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:可逆矩阵可逆矩阵(方阵方阵)-)-证明证明 矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:可逆矩阵可逆矩阵(方阵方阵)-

6、)-证明证明 同时也给出：同时也给出：n=1时直接求逆！时直接求逆！矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:逆矩阵的应用逆矩阵的应用(CarmerCarmer)矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:逆矩阵的应用逆矩阵的应用(CarmerCarmer)矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 均为均为n阶方阵，若阶方阵，若则则 均可逆，且均可逆，且性质：若性质：若 为可逆矩阵，为可逆矩阵，矩矩阵阵矩阵的运算矩阵的运算:可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 若若 均为均为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则可逆，则可逆，则对角矩阵对角矩阵 可逆，可逆，矩矩阵阵矩阵的分块（子矩阵）矩阵的分块（子矩阵）矩矩阵阵矩阵

7、的分块（子矩阵）矩阵的分块（子矩阵）按列按列分块分块矩矩阵阵按行按行分块分块矩阵的分块（子矩阵）矩阵的分块（子矩阵）矩矩阵阵矩阵的分块（子矩阵）矩阵的分块（子矩阵）矩阵分块原则矩阵分块原则(分后分后)1.可把子矩阵当作数可把子矩阵当作数;2.使运算简便。使运算简便。矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算加法与数乘）加法与数乘）加法与数乘加法与数乘 矩阵，按同样方法适当分块，矩阵，按同样方法适当分块，其中其中 都是都是 的矩阵，的矩阵，矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算加法与数乘）加法与数乘）矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算乘法）乘法）注意：注意：矩阵矩阵 的列与矩阵的列与矩阵

8、的行的行采用同样的划分方法。采用同样的划分方法。矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算乘法）乘法）矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算乘法）乘法）矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算转置）转置）注意：注意：不仅要行列互换，而且各子矩阵不仅要行列互换，而且各子矩阵 也要转置。也要转置。矩矩阵阵矩阵的分块（运算矩阵的分块（运算求逆）求逆）因为可把子矩阵当作数来计算，所因为可把子矩阵当作数来计算，所以为求逆带来了方便。以为求逆带来了方便。根据定义且参照例根据定义且参照例3.3.43.3.4（P89P89），），求出求出P103P103中（中（3 3）的四个分块矩阵）的四个分块矩阵的逆。的逆

9、。P90 5(3)P90 5(3)矩矩阵阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵 矩矩阵阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵 矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定义：定义：定义：定义：单位矩阵施行一次初等变换后所得到的矩阵。单位矩阵施行一次初等变换后所得到的矩阵。单位矩阵施行一次初等变换后所得到的矩阵。单位矩阵施行一次初等变换后所得到的矩阵。矩矩阵阵初等矩阵（初等矩阵（1 1）(求逆求逆)矩矩阵阵初等矩阵（初等矩阵（2 2）矩矩阵阵初等矩阵（初等矩阵（3.13.1）矩矩阵阵初等矩阵（初等矩阵（3.23.2）矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理定理 对矩阵对矩阵 施行一次初等行变换施行

10、一次初等行变换相当于在矩阵左边乘一个相应的相当于在矩阵左边乘一个相应的m阶阶初等矩阵；对矩阵施行一次列变换，初等矩阵；对矩阵施行一次列变换，相当于在矩阵右边乘一个相应的相当于在矩阵右边乘一个相应的n阶阶初等矩阵。初等矩阵。矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理证明定理证明 矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理证明定理证明 矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理证明定理证明 矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理的推论定理的推论 设矩阵设矩阵 的秩为的秩为r，则存在，则存在m阶阶初等矩阵初等矩阵 n阶初等矩阵阶初等矩阵 使得使得 矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理的推论定理的推论 设矩阵设矩阵 为可逆矩阵，则它可为可逆矩阵，则它

11、可表为初等矩阵的乘积。表为初等矩阵的乘积。为可为可 可表为初等可表为初等逆矩阵逆矩阵 矩阵的乘积矩阵的乘积 (满秩矩阵满秩矩阵)矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理的推论定理的推论 若若 均为可逆矩阵，则均为可逆矩阵，则对可逆矩阵对可逆矩阵 仅施行初等行变换，仅施行初等行变换，即可化为单位矩阵。即可化为单位矩阵。矩矩阵阵初等矩阵初等矩阵 定理的推论定理的推论 作业：作业：P98 3P98 3（1 1）矩矩阵阵矩阵的等价和等价标准形矩阵的等价和等价标准形若若 经过若干次初等变换可化为经过若干次初等变换可化为 等价等价 等价标准形等价标准形 等价等价矩矩阵阵矩阵的等价和等价标准形矩阵的等价和等价标准形矩矩阵阵小结小结1.矩阵的运算矩阵的运算:加、减、乘、除、加、减、乘、除、转置转置除的方法：除的方法：1.传统的传统的(逆矩阵逆矩阵)2.分块分块 3.利用初等变换利用初等变换 4.定义定义2.求解线性代数方程组的方法穿插其中求解线性代数方程组的方法穿插其中3.秩是这一章的灵魂所在。它弥漫在秩是这一章的灵魂所在。它弥漫在 4.所有知识中，一定要掌握。所有知识中，一定要掌握。