正方形的性质2课时(精品).ppt

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1、标题/标题标题平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形一组邻边一组邻边相等相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形一组邻边一组邻边相等相等平

2、行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形一组邻边一组邻边相等相等平行四边形平行四边形正方形菱形菱形正方形正方形有一个角是有一个角是有一个角是有一个角是直角直角直角直角 创设情景创设情景一一正方形是特殊的菱形正方形是特殊的菱形问题问题:情景二情景二图中图中图中图中CDCD在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当当当当CDCD移动到移动到移动到移动到C C D D 位置，此时位置，此时位置，此时位置，此时ADAD ABAB，四，四，四，四边形边形边形边形ABCD

3、ABCD还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？A AB BC CD DA AB BC C D D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCDABCDABCDABCD有一个直角有一个直角一组邻边一组邻边相等相等矩形矩形菱形菱形一组邻边一组邻边相等相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？正方形的概念：正方形的概念：_ 的平行四边形是正方形。的平行四边形是正方形。_的菱形是正方形的菱形是正方形_的矩形是正方形的

4、矩形是正方形 定义定义有一组邻边相等且有一个角是直角的有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等1 正方形的定义正方形的定义由正方形的定义可知，由正方形的定义可知，正方形既是有正方形既是有一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形，又是，又是有有一个角为直角的菱形一个角为直角的菱形。如图。如图(1)。有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方形。叫做正方形。平行四边形，矩形，平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系菱形，正方形的关系!菱菱形形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方 正方形是特殊的平行四正方形

5、是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。是特殊的菱形。正方形的性质正方形的性质=对对称称性性特特征征正方形是正方形是正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形,对称中心为点对称中心为点对称中心为点对称中心为点OO它也是它也是它也是它也是轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形,有有有有4 4条对称轴条对称轴条对称轴条对称轴(1)(1)它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平

6、分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2)具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3)具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)

7、(C)(D)正方形性质正方形性质:边边:对边平行；对边平行；四边相等；四边相等；角角：四个角都是直角；四个角都是直角；对角线：对角线：OABCD对称性：对称性：对角线相等；对角线相等；对角线互相垂直；对角线互相垂直；每条对角线平分一组对角；每条对角线平分一组对角；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分；对角线互相平分；例例1 1：1 1、要使一个菱形成为正方形需、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是增加的条件是（填上一个条件即可）（填上一个条件即可）1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线

8、相等 D.对角线平分一组对角C2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的图形可能是 （）A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形、正方形C.矩形、正方形 D.菱形、正方形D3.3.已知正方形的一条边长为已知正方形的一条边长为2cm,2cm,则这个正方形的则这个正方形的周长为周长为 ,对角线长为对角线长为 ,面积为面积为 .8cm 4.4.正方形的对角线和它的边所成的角是正方形的对角线和它的边所成的角是 度度.455.5.已知正方形的一条对角线长为已知正方形的一条对角线长为4cm,4cm,则它的边长则它的边长为为 ，面积为面积为 。6.6.已知正方形已知正方形ABCDABCD中中,对角线

9、对角线AC=10cm,PAC=10cm,P为为ABAB上任意一上任意一点点,PEAC,PFBD,E,PEAC,PFBD,E、F F为垂足为垂足,则则PE+PF=PE+PF=。5cm1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等、四个角相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.D、对角线相等、对角线相等.B

10、D例例：下列正确的是：下列正确的是.四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形形是正方形练练:正方形正方形ABCD中，中，M为为AD中点，中点，MEBD于于E，MFAC于于F,若若ME+MF=8cm，则，则AC=_.课堂练习课堂练习例例3.已知正方形已知正方形ABCD中中,AC=10,P是是AB上一点上一点,PEAC于于E，PFBD于于F,则则PE+PF=_.53016cm2.以正方形以正方形ABCD的一边的一边

11、DC向外作等边向外作等边DCE,则则AEB=AEB=_._._._.PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析：分析：PE=AE，PF=OEPEPFOA例题解析学一学学一学例例1.如图，在正方如图，在正方ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)求求ABD、DAC、DOC的度数。的度数。OABCD答案：1、八个 ABCBCD CDA DAB AOB AOD BOC COD 2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD3答案见课本答案见课本

12、107页页练习练习1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且ABacm，如图如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。练习练习2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AC6 cm，如图如图求：正方形的面积求：正方形的面积S。试一试试一试1.1.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，两对角线交中，两对角线交于于O,EO,E是是ACAC上一点，上一点，CE=ABCE=AB，则则ACB=_ACB=_DOC=_,BEC=_,EBO=_A DA DB CB CE E O O2.2.如

13、图，正方形如图，正方形OPQROPQR的一个顶点的一个顶点O O是边长为是边长为2 2的正方形的正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC与与BDBD的交点，则两的交点，则两正方形重合部分的正方形重合部分的面积是面积是A DA DB CB CO O O OP PQ QR R 大悟县三里中学例题解析学一学学一学OABCD例4.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。分分析析分分 析析：这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明图中共有多少个图中共有多少个图中共有多少个图中共有多少个等腰直角三角形？

14、等腰直角三角形？等腰直角三角形？等腰直角三角形？例例1.求证求证:正方形的两条对角线把正方正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形形分成四个全等的等腰直角三角形.OABCD已知已知:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的是全等的等腰直角三角形等腰直角三角形.证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形并且并且ABOBCOCDODAO ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直都是等腰直角三角形角三角形,AC=BD,ACBD,AO=CO=BO=DO.随堂练习议一议议一议 用用10米长的篱笆围成一个

15、四边形菜地，如米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边形的形状，面积为何确定面积最大的四边形的形状，面积为多少？多少？在长度给定的情况下，围成的四边形中，在长度给定的情况下，围成的四边形中，正方形的面积最大。正方形的面积最大。问题问题:3.3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，点中，点E E是是CDCD边边上一点，连接上一点，连接AEAE交对角线交对角线BDBD于点于点F F，则图中全等三角形共有（则图中全等三角形共有（）A BC DE FCA.1A.1对对B.2B.2对对C.3C.3对对D.4D.4对对正方形正方形ABCD中中DAF=25,AF交对角线交对角线BD于于E

16、,交交CD于于F,求求 BEC的度数的度数.ABCDEF思考思考思考思考70D1111、如图、如图,点点E E是正方形是正方形ABCDABCD边边BCBC上延长线上上延长线上一点，且一点，且CE=ACCE=AC，若，若AEAE交交CDCD于点于点F F，求，求E E和和AFCAFC的度数。的度数。ABCDEF1212、已知：如图矩形、已知：如图矩形ABCD,ABCD,对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AEAE平分平分BADBAD交交BCBC于点于点E E，连接，连接OEOE，若，若EAO=15EAO=150 0，求求BOEBOE的度数。的度数。OABCDE6.如图，已知正方

17、形如图，已知正方形ABCD内有一个内有一个BEF，AB=6，AFFD=12，E为为DC的中点，的中点，求求BEF的面积。的面积。ABCDFE8.在正方形在正方形ABCD中，点中，点P是对角线是对角线AC上一点，上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是垂足分别是点点E、F.求证：求证：DP=EFFEPDCBA例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，分析：分析：要证明要证明BMCN，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。AB=BC，1=2=45 AM=BNABMBCN正方形正方形ABCDOM=ONOMNONM45例例3已知：如图

18、已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等大家只须证得哪两个三角形全等?CMDADF正方形正方形ABCD中中DAF=25,AF交对角线交对角线BD于于E,交交CD于于F,求求 BEC的度数的度数.ABCDEF若若FEC=30则则DAF=9.如图，四边形如图，四边形ABCD为正方形，为正方形，EBAC，EC=AC

19、E在在FB上，上，求求ECB的度数。的度数。BCDEAOG活动与探索活动与探索ABCDEF如图正方形如图正方形ABCD的边长为的边长为1，E、F分别为分别为BC、CD上的点，若上的点，若BE+DF=EF，求证：求证：EAF=450G变式：如图，正方形变式：如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，点，点E、F分别在分别在BC、CD上，上，EAF=450，CEF的的面积为面积为 ，求，求AEF的面积。的面积。10.在正方形在正方形ABCD中，中，P为为BC边上一点，边上一点，Q为为CD边上一点，边上一点，如果如果PQ=BP+DQ，求求PAQ的度数的度数.QPDCBAE大大大大显显显显身身身身手手手

20、手如图，四边形如图，四边形ABCD.DEFGABCD.DEFG都是正方都是正方形，连接形，连接AE.CGAE.CG。（1 1）求证：）求证：AE=CGAE=CG（2 2）观察图形，）观察图形，猜想猜想AEAE与与CGCG的位置的位置关系，并证明你的关系，并证明你的猜想。猜想。A A A AB D EB D EB D EB D EC C C CG FG FG FG F练习练习如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正为正方形的一边在同一侧作正方形方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1)ACFDCB (2

21、)BHAF 证明：证明：例例2.如图四边形如图四边形ABCD和和DEFG都是正方形，都是正方形，试说明试说明AE=CG解：解：解：解：因为四边形因为四边形因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得 AD=CDAD=CD又知四边形又知四边形又知四边形又知四边形DEFGDEFG也是正方形也是正方形也是正方形也是正方形所以所以所以所以 DE=DGDE=DG又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为9090所以所以所以所以ADE

22、ADEEDCEDCCDGCDGEDCEDC所以所以所以所以ADEADECDGCDG所以三角形所以三角形所以三角形所以三角形ADEADE可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形CDGCDG绕着点绕着点绕着点绕着点D D顺时针顺时针顺时针顺时针旋转旋转旋转旋转 9090 得到。得到。得到。得到。AED CGD所以所以所以所以AE=CGAE=CGA AB BC CD DE EF FGG例例3如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点，PEBC于于E，PFDC于于F。试说明：。试说明：AP=EFABCDPEF解解:连接连接PCPEPEBC，

23、PFDC而四边形而四边形ABCD是正方形是正方形FCE=90FCE=90四边形四边形PECF是矩形是矩形PC=EF又又四边形四边形BAPCBAPC是以是以BDBD为轴的轴对称图形为轴的轴对称图形AP=PCAP=EF练习：练习：在在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助

24、线添加辅助线,无需证明无需证明)条件：A=90AD=BD1515、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND16、如图、如图B、C、E是同一直线上的三个是同一直线上的三个点，四边形点，四边形ABCD与与CEFG是正方形，连是正方形，连接接

25、BG、DE（1）观察、猜想）观察、猜想BG与与DE之间的大小关之间的大小关系，并说明理由。系，并说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间的关系是否仍然成立。之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC17、如图，、如图，M为正方形为正方形ABCD边边AB的中的中点，点，E是是AB延长线上一点，延长线上一点，MNDM，且，且交交CBE的平分线于点的平分线于点N。（1）求证：）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M为为AB上任意一点上任意一点”，其它条件不，其它条件不变，问结论变，问

26、结论MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP思考题：思考题：如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中.探究二探究二:若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边两边分别相交于分别相交于M NM N，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间之间的关系的关系.探究一探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？

27、并说明理由。发生变化？并说明理由。探究四：探究四：如图，有两个大小不等的两个正如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正，则小正方形的边长为多少？方形的边长为多少？探究三探究三:若正方形若正方形OEFGOEFG继续旋转时，继续旋转时，AM AM 与与 BNBN之间的关系是否还之间的关系是否还成立？成立？数一数图中正方形的个数，你发现了什么数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多多多多 （）个（）个（）个（）个第第n个图中正方形有个图中正方形有 个个3n-1长见识长见识八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形对边对边平行且相等平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结