选修4-1 第一节 相似三角形判定及有关性质(精品).ppt

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1、选修4-1几何证明选讲第一第一节节相似相似三角三角形的形的判定判定及有及有关性关性质质高考成功方案第一步高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第三步高考成功方案第四步高考成功方案第四步返回返回考纲点击考纲点击了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1平行线等分线段定理平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段，那么在其他直线上截得的线段也，那么在其他直线上截得的线段也推

2、论推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线相等相等相等相等平分第三边平分第三边平分另一腰平分另一腰返回返回2平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的定理三条平行线截两条直线，所得的成比例成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长或两边的延长线线)所得的所得的成比例成比例3相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定相似三角形的判定定义定义，对应边成比

3、例的两个三角形叫做相似，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似或相似系数系数)对应线段对应线段对应线段对应线段对应角相等对应角相等返回返回判定定理判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的角与另一个三角形的对应相等，那么这两个三角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边

4、对应和另一个三角形的两边对应，并且，并且，那，那么这两个三角形相似简述为：两边对应么这两个三角形相似简述为：两边对应且且，两三角形相似，两三角形相似判定定理判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角，那么这两个三角形相似简述为：三边形相似简述为：三边，两三角形相似，两三角形相似两个角两个角成比例成比例夹角相等夹角相等成比例成比例夹角相等夹角相等成比例成比例对应成比例对应成比例返回返回(2)两个直角三角形相似的判定两个直角三角形相似的判定定理定理如果两个直角三角形的一个如果两个

5、直角三角形的一个对应相等，对应相等，那么它们相似那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应直角三角形的斜边和一条直角边对应，那么，那么这两个直角三角形相似这两个直角三角形相似锐角锐角成比例成比例返回返回(3)相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于线的比都等于；相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于

6、；相似三角形面积的比等于相似三角形面积的比等于；相似三角形外接圆相似三角形外接圆(或内切圆或内切圆)的直径比、周长比等于的直径比、周长比等于，外接圆，外接圆(或内切圆或内切圆)的面积比等于的面积比等于相似比相似比相似比相似比相似比的平方相似比的平方相似比相似比相似比的平方相似比的平方返回返回4直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例比例中项比例中项中项中项返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回悟一法悟一法平行线截割定理

7、一方面可以判定线段成比例，另一方平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比两条线段的比转化为另外两条线段的比返回返回返回返回返回返回返回返回解：解：(1)EF是是AD的垂直平分线，的垂直平分线，EDEA，EDAEAD.EDABBAD，EADCAECAD，BADCAD，BCAE.BEAAEC，BAEACE.返回返回返回返回悟一法悟一法1证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等；若只找到一个角对应相等，再判定这

8、个角的两相等；若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例明三边对应成比例2证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等如角相等，有相等的比例式等)，常，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解返回返回返回返回解：解：(1)证明：证明：ABCD，12.又又BFEC，BFEBFACEDA，BFAADE.ABFEAD.返回返回返回返回做一题做一

9、题例例3如图，在如图，在RtABC中，中，BAC90，ADBC于于D，DFAC于于F，DEAB于于E.试试证明：证明：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.返回返回(2)RtADB中，中，DEAB，由射影定理可得，由射影定理可得BD2BEAB，同理同理CD2CFAC.BD2CD2BEABCFAC.又又RtBAC中，中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又，又ABACBCAD.即即AD3BCCFBE.返回返回悟一法悟一法已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边上的高时，应首

10、先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项的等式，并分清比例中项返回返回保持例题条件不变，求证：保持例题条件不变，求证：AEABAFAC.证明：证明：ADBC，ADB为直角三角形为直角三角形又又DEAB，由射影定理知，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得同理可得AD2AFAC.AEABAFAC.返回返回通一类通一类3如图，在如图，在ABC中，中，D、F分别分别在在AC、BC上，且上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求，求AC的长的长返回返回如图，在如图，在BDC中，过中，过D作

11、作DEBC于于E，返回返回返回返回返回返回热点分析热点分析本考点主要考查平行线分线段成比例定理与相似三角形、本考点主要考查平行线分线段成比例定理与相似三角形、射影定理在解决平面几何问题中的应用，且常与圆的有关知射影定理在解决平面几何问题中的应用，且常与圆的有关知识相结合命题识相结合命题.2011年广东高考以梯形为载体，考查了平行线年广东高考以梯形为载体，考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的应用，是高考命题的一个分线段成比例定理及相似三角形的应用，是高考命题的一个新方向新方向返回返回考题印证考题印证(2011广东高考广东高考)如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ABCD，AB4，CD2

12、，E，F分别为分别为AD，BC上的点，且上的点，且EF3，EFAB，则梯形，则梯形ABFE与与梯形梯形EFCD的面积比为的面积比为_返回返回返回返回返回返回答案：答案：7 5返回返回1如图，如图，AD，BE是是ABC的两条边上的高，的两条边上的高，DFAB，垂足为垂足为F，直线，直线FD交交BE于点于点G，交，交AC的延长线于的延长线于H.求求证：证：DF2GFHF.返回返回返回返回2.如图，已知在等腰梯形如图，已知在等腰梯形ABCD中，中，ADBC，ABDC，过点，过点D作作AC的平行线的平行线DE，交，交BA的延长线的延长线于点于点E.求证：求证：(1)ABC DCB；(2)DEDCAEBD.证明：证明：(1)四边形四边形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ACDB.ABDC，BCCB，ABC DCB.返回返回(2)ABC DCB，ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.EDAC，EDADAC.EDADBC，EADDCB.ADECBD.DE BDAE CD.DEDCAEBD.返回返回点击下图片进入点击下图片进入