证实三角形的五心性质.docx

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1、证实三角形的五心性质向量和三角形的五心一、前言：在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到下面的性质：在ABC?中，若点G为ABC?的重心，则()13OGOAOBOC=+，其中点O为任一点。下课后，有位许同学便到办公室提出下面的问题：1在ABC?中，点G为ABC?的重心，可得到()13OGOAOBOC=+的结果；那么反过来，若有一点G，知足()13OGOAOBOC=+，能否保证点G为ABC?的重心呢？2在ABC?中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，能否也有类似充要条件的性质呢？当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质能否为充要，还

2、须再证实看看；而垂心、外心的向量充要性质教师还没看过，容教师再考虑一些时间。接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉教师一起讨论，经过仔细讨论之后，我们得到下面的结果：1.重心向量性质的充要条件与证实。2.内心向量性质的充要条件与证实。3.傍心向量性质的充要条件与证实。4.外心向量性质的充要条件与证实。5.垂心向量性质的充要条件与证实。二、重心的向量性质：ABC?中，则点G为ABC?的重心的充要条件为111333OGOAOBOC=+其中点O为任一点证实：设点G为ABC?的重心，延长AG交BC于点D，则:2:1AGGD=，:1:1BDDC=。因而，2211332233AGADABAC?=+=?设点O为

3、任一点，OGOAAG=+1133OAABAC=+()()1133OAOBOAOCOA=+-+-111333OAOBOC=+。另一方面，已知111333OGOAOBOC=+，其中点O为任一点，令OA=代入得C1133AGABAC=+。延长AG交BC于点D，设113333ttADtAGtABACABAC?=+=+?，,BDC共线，133tt+=，得32t=。因而，3111123322ADABACABAC?=+=+?，故AD为BC边上的中线。同理可证：延长BG交AC于点E，则BE为AC边上的中线，故点G为ABC?的重心。三、内心的向量性质：我们先证实三角形的内分比性质的充要条件，再进一步证实三如图二

4、，在ABC?中，点D为BC上的一点，则AD为A的角平分线的充要条件为:ABACBDCD=证实： ()?证实省略。()?如图三，设ABC?中，ACb=，ABc=，因:ABACBDCD=，设BDkc=，CDkb=，k为正数。作/BEAC交AD的延长线于点E，则ADCEDB?CDBDACBE?=kbkcbBE?=BEc?=。可知ABBEBADBED=?=，又BEDCAD=，得BADCAD=AD?为A的角平分线。如图四，在ABC?中，点O为任一点，则点I为ABC?的内心的充要条件为abcOIOAOBOCabcabcabc=+证实：()?已知点I为ABC?的内心，延长AI交BC于点D，则:BDDCcb=

5、，:AIIDACBD=():ccabcabc=?=+。因而，bcAIADabc+=+bcbcABACabcbcbc+?=+?+?bcABACabcabc=+。设点O为任一点，OIOAAI=+bcOAABACabcabc=+ ()()bcOAOBOAOCOAabcabc=+-+-+abcOAOBOCabcabcabc=+。aCD图四C图三E()?已知abcOIOAOBOCabcabcabc=+，其中点O为任一点，可取点O等于点A代入，得bcAIABACabcabc=+。延长AI交BC于点D，设ADtAI=bctABACabcabc?=+?+?，因,BDC共线1bcabcttabcbc+?=?=?

6、+?。:bcADABACBDCDcbABACbcbc=+?=+，由AD为A的角平分线。同理，可证BI为B的角平分线，因而点I为ABC?的内心。四、傍心的向量性质：我们先证实三角形的外分比性质的充要条件，再进一步证实三角形傍心与向量性质的充如图五，在ABC?中，则BK为B的外角平分线点K在AC的延长线上的充要条件为:BABCAKCK=。证实：()?已知BK为B的外角平分线，作CQ平行BK交AB于点Q12?=；又CQ平行BK13?=，24=，即得34BQBC=?=。由CQ平行BK可得:ABBCABQBAKCK=。()?已知:BABCAKCK=，作/CQBK交AB于点Q，:ABBQAKCKBABC=

7、34BQBC?=?=。/CQBK13?=，24=。因而12=BK?为B的外角平分线。ABC?中，点O为任一点，则1点aI为A所对之傍心的充要条件为aabcOIOAOBOCbcabcabca-=+-+-+-。图五2点bI为A所对之傍心的充要条件为babcOIOAOBOCacbacbacb-=+-+-+-3点cI为A所对之傍心的充要条件为cabcOIOAOBOCabcabcabc-=+-+-+-证实：()?只证实1，而2与3同理，故省略。如图六，点aI为ABC?，A所对之傍心。过点aI作BC平行BC分别交AB、AC的延长线于B、C。可设aBIct=，aCIbt=，又aBIBB=且aCICC=，由(

8、)11ACBCbaaatbbtbtcttbctbcaACBC=?=?=?=+-。所以abtctAIABACbtctbtct=+bcABACbcbc=+bcctcbbtABACbccbcb+?=+?+? ()()()()11bctABtACbcbc=+bbccbcABACbcbcabcbca+?=+?+-+-?bcABACbcabca=+-+-。设O为任一点，aabcOIOAAIOAABACbcabca?=+=+?+-+-?()()bcOAOBOAOCOAbcabca=+-+-+-+-abcOAOBOCbcabcabca-=+-+-+-。()?已知aabcOIOAOBOCbcabcabca-=+

9、-+-+-，令点O为点A代入，得abcAIABACbcabca=+-+-。设aAI交BC于点D，可设abcADtAItABACbcabca?=+?+-+-?，因,BDC共线1bctbcabca?+=?+-+-?bcatbc+-?=+。bcADABACbcbc=+:BDCDcb?=:ABAC=aAI为A的内角平分线。另一方面，令点O为点B代入，得aacBIBABCbcabca-=+-+-，:BDCDcb=，aacbcBIBABDbcabcac-+?=+?+-+-?abcBABDbcabca-+=+-+-?图六aBaabcaabcaBDBABIBDBABIbcabcabcbc+-=+?=+-+-+

10、()():aaaADDIbcaaAIDIbca?=+-?=+。又aAI为A的内角平分线cBDBCbc?=+；因而，():cABBDcabcabc=?=+。:aaAIDIABBD=可知：aBI为B的外角平分线。同理可证：aCI为C的外角平分线。故aI为ABC?中A所对之傍心。五、外心的向量性质：ABC?中，点P为任一点，则点O为ABC?的外心的充要条件为()()()222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPC+-+-+-=+?coscoscos2sinsin2sinsin2sinsinABCPAPBPCBCACAB=+，其中?表ABC?的面积证实：()?如图

11、七，已知点O为ABC?的外心，ABc=，BCa=，ACb=。设ODAB于点D，OEAC于点E，则()2211cos22ABAOABAOOABABADABc?=。同理，221122ACAOACb?=。设AOxAByAC=+22AOABxAByACABAOACxABACyAC?=+?=?+?22221cos21cos2ccxbcAybbcAxby?=+?=+?222222cos2cos2cxbcAycbcAxbyb?+=?+=?()()222222222222cxbcaycbcaxbyb?+-=?+-+=?-，由方程组可得()22222221cos22cos441coscos12cos2AcbcA

12、bcbcAAbcAb=-222222412bcabcbc?+-?=-?图七()()222222bcbca=-+-()()()()abcabcabcbca=+-+-+-。由海龙公式?()12sabc=+，可知 ()()()()abcabcabcbca=+-+-+-216=?。由方程组可得()()222222222222222222xcbcabcbbcabcabbb+-=-+-=+-，()22222222222ycccabcbcab=+-+-。所以AOxAByAC=+ ()()22222222221616bcabcbacABAC+-+-=+?。设平面上任一点P，POPAAOPAxAByAC=+=+

13、 ()()PAxPBPAyPCPA=+-+-()1xyPAxPByPC=-+()()()()22222222222222222222116161616bcabcbacbcabcbacPAPBPC?+-+-+-+-?=-+? ()()()222222222222222161616abcabcabcbacPAPBPC+-+-+-=+?。已得到()()()222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPC+-+-+-=+?，利用面积公式111sinsinsin222abCbcAcaB?=，及余弦定理2222cosbcabcA+-=、2222cosabcabC+-=、2

14、222cosacbacB+-=代入上式，即可得coscoscos2sinsin2sinsin2sinsinABCPOPAPBPCBCACAB=+。 ()?已知()()()222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPC+-+-+-=+?，C图八点P为平面上任一点，令点P为点A代入，得()()22222222221616bcabcabcAOABAC+-+-=+?。如图八，设点D为BC中点，1122ADABAC=+，()()222222222211216216bcabcabcODADAOABAC?+-+-?=-=-+-?。因而()()222222222211216

15、216bcabcabcBCODABBCACBC?+-+-?=-?+-?()()22222222222222222288162162bacbcabcbacabc?-+-?-+-?-+-=+?()()()2222222222222211632bcbacbcabc=?-+-+-?0=。所以，直线OD为BC的中垂线。同理可证OE为AC的中垂线。故点O为ABC?的外心。六、垂心的向量性质：ABC?中，点P为任一点，则点H为ABC?的垂心的充要条件为 ()()()()()()222222222222222222222161616abcacbbcabacbcacabPHPAPBPC+-+-+-+-+-+-=

16、+?cotcotcotcotcotcotBCPAACPBABPC=+其中?表ABC?的面积证实：()?如图九，ABC?中，ABc=，ACb=，BCa=。CDAB于点D，BEAC于点E，点H为ABC?的垂心。则cosABACABACA?=ABAD=ACAE=，cosABAHABAHHABABAD?=，cosACAHACAHHACABAE?=；因而，ABACABAHACAH?=?=? ()22212bca=+-。图九a设AHxAByAC=+22AHABxAByACABAHACxABACyAC?=+?=?+?22coscoscoscoscxbcAybcAbcAxbybcA?+=?+=?-。由方程组可

17、得()22222221coscos1coscos1cosAcbcAbcbcAAbcAb=-22222212bcabcbc?+-?=-?()()2222224bcbca-+-=()()()()2216444abcabcabcbca+-+-+-?=?。()222coscos1coscoscoscoscos1xbcAbcAcAbcAbcAbcAbcAbb=-222222222bcabcabcbcbcbc?+-+-=?-?()()2222224bcabca+-+=，()()222222221coscoscos14coscosybcacbaccbcAbcAbAbcAbcA+-+=。设平面上任一点P，PH

18、PAAHPAxAByAC=+=+ ()()PAxPBPAyPCPA=+-+-()1xyPAxPByPC=-+()()()()()()2222222222222222222221161616bcaabcbcacabbcaabcPAPB?+-+-+-+-+-+-?=-+?()()222222216bcacabPC+-+-+? ()()()()()()222222222222222222222161616abcacbbcaabcbcacabPAPBPC+-+-+-+-+-+-=+?接者，将面积公式111sinsinsin222abCbcAcaB?=，及余弦定理2222cosbcabcA+-=、222

19、2cosabcabC+-=、2222cosacbacB+-=代入()()()()()()222222222222222222222161616abcacbbcabacbcacabPHPAPBPC+-+-+-+-+-+-=+?，即可得cotcotcotcotcotcotPHBCPAACPBABPC=+。()?如图九，已知()()()()()()222222222222222222222161616abcacbbcabacbcacabPHPAPBPC+-+-+-+-+-+-=+?，点P为任一点。令点P为点A代入，得()()()()222222222222221616bcabacbcacabAHAB

20、AC+-+-+-+-=+?。()()()()222222222222221616bcabacbcacabBCAHBCABBCAC+-+-+-+-?=?+? ()()()()()()22222222222222222222162162bcabacbacbcacababcBCAH+-+-+-+-+-?=+?()()()()()()22222222222222222222113232bcabacacbbcacabacb-=+-+-+-+-+-+-?0=。因而，直线AH垂直BC。同理可证，直线BH垂直AC，故点H为ABC?的垂心。七、结论：我们在本文的讨论研究中，发现学生有时会提出看似平凡而却容易被遗

21、漏的问题，而这些问题在被提出后，往往是令人觉得深思的问题。平常在教学经过中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性质()13OGOAOBOC=+的口诀，甚至很少十分提出这是三角形重心的充要条件；内心、傍心亦复如是。匆匆岁月，经过学生提问，才鼓励我们将三角形五心与向量性质的充要条件，作进一步的整理，并完成五心与向量性质充要条件的证实，实在是感恩学生的提问与智慧。从讨论中我们深深感到教学相长的真实，学生的提问有时会激发教师另层的深化考虑，难怪古人讲：有天才学生，没有天才教师。因而，在此提出，千万不可忽视学生的任何一个问题，好好去考虑，一方面可为学生解决问题；另方面，能够深化本人的考虑视野。固然内心、傍心、外心、垂心的向量性质的充要条件很烦杂；但能够不必背，而能够纯欣赏即可。可见数学是千变万化，实在美不可言喻。