有限群表示论的演变过程分析,数学史论文.docx

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1、有限群表示论的演变过程分析,数学史论文摘 要： 有限群表示论是有限群论中最为核心和本质的内容, 也是研究有限群构造的最强有力的工具之一。文章探寻有限群表示论诞生的原因, 深切进入分析其思想起源和创立经过, 进而展现有限群表示论的历史脉络和思路历程。同时, 本文为代数学史的研究提供了一个新视角, 通过有限群表示论的历史进程来纵观代数学的发展历史。 本文关键词语： 数学史; 群表示论; 特征标; 群行列式; 模表示; Abstract： The representation theory of finite groups is the core and essence of the finite

2、group theory. It is also one of the most powerful tools for studying the structure of finite groups. This paper explores the reasons behind the establishment of the representation theory of finite groups, and offers an in-depth analysis of the origin and creation of its thought process. It also show

3、s the historical context and the process of thought. At the same time, this paper provides a new perspective on the research of the history of algebra, that is, we can value the whole history of algebra by studying the history of the representation theory of finite groups. Keyword： History of mathem

4、atics; Group representation theory; Group character; Group determinant; Modular representation; 引言 表示理论在数学中拥有极高的地位, 正如数学家盖尔范德 (Izrail Moiseevich Gelfand, 1913-2018) 所讲, 所有的数学都是某种表示理论。120世纪数学的主流是构造数学, 有限群表示论是有限群论的核心内容, 也是研究有限群构造的基本工具, 通过将有限群表示为线性空间上的线性变换来研究有限群的构造就是有限群表示论的主要目的。有限群表示论是在代数和数论的研究中产生的, 后来

5、发展成为数论、代数、几何和分析中的重要工具。所以研究有限群表示论的前史及创立进程不仅能够揭示有限群表示论的历史脉络, 还能够描绘19世纪及20世纪代数学的发展相貌, 进而说明有限群表示论的思想方式方法在近代数学和其他学科中的重要影响。 数学史的研究任务不仅仅是描绘数学事件的历史场景, 还要追寻其发展动因和思想源泉。国内对19世纪代数学历史的研究文献中极少牵涉群表示论的历史, 而国外的相关研究文献也多集中在群表示论的创立经过, 缺乏前史部分和创立动机的深究。2,3,4,5有鉴于此, 本文在深切进入研读原始文献和研究文献的基础上, 以 思想史 为基本宗旨, 结合当时数学发展的特点, 分析相关数学家

6、的思想和方式方法, 揭示他们之间的思想传承关系, 进而呈现出有限群表示论演变经过中的清楚明晰思想脉络和重要历史进程。 一、有限群表示论的思想起源 有限群表示论在19世纪末创立, 其思想来源于代数和数论中的相关问题, 它的产生主要遭到有限群构造理论, 阿贝尔群特征标, 以及与之相联络的群行列式分解等问题的激发。 1. 表示 的思想来源 19世纪代数学正经历着由古典到近代的转变, 各种数学构造的出现与应用是这一时期代数学发展的主要特征。怎样研究代数构造?一种方式方法是直接研究这个代数构造, 以期去了解其内部构造和性质。另一种更有效的方式方法就是让一个复杂的代数构造 作用 在另一个相对简单的构造上,

7、 通过研究这个较为简单的构造去理解这个代数构造本身的性质, 这就是表示论的原始思想。 (1, p.1) 研究抽象群的构造, 能够建立群之间的同态映射, 同态映射能够保持群的构造, 通过了解像的构造就有可能了解群的构造。群论是从伽罗瓦 (E?variste Galois, 1811-1832) 研究高次方程的根的置换开场的, 在研究经过中他给出了同构这个重要概念, 并以为同构是两个群的元素之间的逐一对应关系。若尔当 (Camille Jordan, 1838-1922) 在1870年发表的着作(置换和代数方程专论中提出了置换群之间的同态和同构的概念, 除此之外, 他还探寻求索用线性变换来表示置换

8、, 称之为群的解析表示, 这即是今天的线性表示。 (5, pp.323-326) 凯莱 (Arthur Cayley, 1821-1895) 在19世纪下半叶群论的发展中做出了很多重要奉献, 在推广置换群的概念时, 他开场考虑怎样构造所有的n阶群。他意识到这个问题可转化为构造所有的n阶置换群, 对此他讲道: 尽管上述理论具有一般性, 但是置换群是个特例。然而寻找所有n阶群这个一般的问题等价于一个不太一般的问题:寻找所有的阶数同样为n的群, 并且这些群由n个元素的置换构成。 6 这就是凯莱定理的内容, 该定理表示清楚每一个有限抽象群能够由一个置换群来表示。固然 表示 的思想已经在这些群构造的探寻

9、求索中开场萌芽, 但是还缺少一般的方式方法来阐述华而不实所隐含的理论。 2. 阿贝尔群特征标概念的提出 19世纪的数论获得了重大进展, 研究手段得到创新, 理论体系也愈加系统化。特征标起初只是数论中的一个概念, 并且与这个数学分支的一些深入结果相联络, 后来的发展中, 这个概念能够在有限抽象阿贝尔群中清楚地表示出。 有限群表示论的重要创始人弗罗贝尼乌斯 (Ferdinand Georg Frobenius, 1849-1917) 在提及群特征标概念时讲道: 高斯在(算术研究的 230中提到二次型的特征标是指由一个型表示的数与能整除这个型的判别式的奇素数之间的关系, 并且他用两个记号来指明这个关

10、系。狄利克雷利用勒让德符号来替代这些记号, 这些将会是交换群特征标的应用的最古老的例子。高斯的特征标只是在描绘叙述关系, 而狄利克雷的特征标只是数, 并在这里之下特征标能够进行计算。 7 为了更好地理解阿贝尔群特征标概念的产生经过, 我们对其进行进一步的阐述。 特征标 这个术语最早出如今(算术研究中, 在书中高斯 (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 用算术的观点来讨论二元二次型, 他主要研究的是二次型构成的等价类。由于同一等价类中的二次型表示一样的整数, 所以通过研究能够发现, 高斯所以为的特征标实际上是等价类所具有的性质。利用勒让德符号, 狄利克

11、雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 将高斯的特征标进行了更简洁地表示出, 他以为特征标能够看作是定义在型的等价类构成的群上的数值函数。狄利克雷的工作增加了特征标理论的计算实用性, 同时也是特征标概念一般化的文章, 建立了有限群特征标理论的基础。 文章(可交换矩阵是弗罗贝尼乌斯定义一般群特征标概念之前的基础性工作。在文章(群的特征标中, 他开场尝试定义新的特征标, 弗罗贝尼乌斯以为群的特征标能够看作是这个群上的复值函数, 并且在同一共轭类的元素上的函数值相等, (7, pp.14-15) 换句话讲就是这个群上的类函数。在定义这些特征标之后,

12、 弗罗贝尼乌斯给出了 (不可约) 特征标之间的文章有趣的地方在于弗罗贝尼乌斯提出直接从群论出发改善这个新的群特征标理论, 而不再使用群行列式, 由于直接从群的构造出发去考虑特征标能够使戴德金特征标的一般化更为直接。正如他在给戴德金的回信中讲道: 我在考虑改善我到当前为止得到的所有结果, 我做的文章(群行列式的素因子中, 弗罗贝尼乌斯主要解决戴德金提出的群行列式的分解问题, 他文章的开场部分便指明了群行列式的不同的不可约因子的个数等于群轭类的数目, 不可约因子的次数等于它的幂次, 并将后者称为 群行列式理论的基本定理 。 (7, p.39) 弗罗贝尼乌斯的证明方式方法虽复杂难懂, 但却为其后面群

13、表示论的工作奠定了基础。 2. 有限群表示理论的建立 弗罗贝尼乌斯意识到1896年的三篇文章创始了新的数学领域, 而群行列式分解的结果则给他提供了强有力的工具。在1897-1907年间, 弗罗贝尼乌斯发表了二十多篇论文, 从各个方面拓展了群特征标理论和群表示论, 并且将这些结果应用到有限群论上。 在19世纪下半叶, 弗罗贝尼乌斯在矩阵领域做出了重要奉献, 所以此时矩阵成为他的有力工具。考虑借助详细的矩阵来研究抽象的群, 弗罗贝尼乌斯将这一想法付诸施行, 在(论有限群线性变换中他引入了 矩阵表示 的概念, 定义表示是从抽象群到可逆矩阵群的同态。除此之外, 他还引进了完全可约表示和不可约表示的概念

14、, 利用不可约表示, 弗罗贝尼乌斯定义特征标是不可约表示的迹函数, 11其重大意义在于发展了特征标的计算性质。 在相继的文章(群与其子群特征标之间的关系和(群特征标的合成中, 弗罗贝尼乌斯实现了特征标的基本计算和应用。正如他在文章开始讲道: 在我的工作(群的特征标中, 我已经对有限群的特征标给出了一般的计算方式方法, 并且通过一系列例子说明了它的实际应用。但是由于它对复杂的群的应用还是存在大量的困难, 所以我通过线性代换去寻求群特征标和本原表示, 并且我已经找到了两个完全不同的方式方法, 这在特殊情况下能够实现这些目的且比一般方式方法更简单。 (7, p.104) 这两个计算方式方法具有重要的

15、历史意义, 重要的文章, 介绍了模表示, 模特征标和p-块理论等内容。 (13, pp.235-243) 在引入p-块理论之后, 块的理论及其在有限群构造上的应用成为布饶尔的研究中心。布饶尔系统地研究了有限群的块理论, 在1944至1946年间得到了着名的 布饶尔注记中, 在注记中他讲道: 我们不能了解到群特征标的所有重要性质, 十分地, 我们对群特征标和抽象群性质之间的联络的进一步结果更感兴趣, 这方面的任何结果归根到底还是与一般有限阶群的构造有关。 14 布饶尔对模表示论这一工作的热爱一直持续到他晚年, 在发展模表示论的同时还寻求其在有限群构造理论上的应用。 (13, p.270) 除此之

16、外, 值得一提的是, 诺特 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935) 也对有限群表示论做出了一些工作。诺特固然对有限群的构造理论奉献不多, 但是她建立了群表示论和结合代数之间的联络, 这一工作奠定了结合代数及其表示理论的基础, 同时也将有限群表示论上升到一般数学理论的高度。 (4, p.293) 在这些追随者们的工作之后, 有限群表示论继续向前发展, 为当代数学的一些重要研究领域提供了新的思想和工具。 四、结束语 有限群表示论起源于19世纪对有限群构造的研究, 群特征标这个核心概念产生于数论的工作中, 戴德金对群行列式分解问题的研究激发弗罗贝尼乌斯创始群特征标理论和群表

17、示论, 伯恩塞得和舒尔的工作进一步完善了这一理论, 布饶尔模表示论的建立使其成为较为完好的理论体系。至此, 有限群表示论占据有限群论的核心地位, 在研究有限群的构造中产生了宏大的威力, 深入影响了20世纪数学的发展相貌。自有限群表示论创立以来, 表示论作为研究代数的主要工具也随着代数学的发展而不断完善, 随之而产生的各种群表示、代数表示也建立起来, 并且表示论也成为其他数学分支的有力工具。能够讲, 20世纪代数学的发展是以表示论的发展为基本内容的, 而代数学在其他数学领域中的很多应用也是以表示论为基本工具的。 以下为参考文献 1冯克勤、章璞、李尚志.群与代数表示引论M.合肥:中国科学技术大学出

18、版社, 2003. 2Conrad, K. The Origin of representation Theory J.Enseignement Mathematique, 1998, 44:361-392. 3Charles, W.C. Representation Theory of Finite Groups:From Frobenius to Brauer J.The Mathematical Intelligencer, 1992, 14 (4) :48-57. 4胡作玄、邓明立.20世纪数学思想M.济南:山东教育出版社, 1999. 5莫里斯?克莱因.古今数学思想M.邓东皋、张恭庆

19、等译, 上海:上海科学技术出版社, 2020. 6Wussing, H.The Genesis of the Abstract Group ConceptM.Mineola, N.Y.:Dover Publications, 2007, 233. 7Frobenius, F.G.Gesammelte Abhandlungen IIIM.Berlin:Springer-Verlag, 1968, 1-2. 8Hawkins, T.Mathematics of Frobenius in ContextM.New York:Springer, 2020, 442-445. 9冯克勤.代数数论简史M.

20、哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2021, 31-32. 10Dedekind, R.Gesammelte Mathematische WerkeM.Braunschweig:Vieweg Sohn, 1931, 420-421. 11吴文俊.世界着名数学家传记 (下) M.北京:科学出版社, 1995, 1152-1153. 12Burnside, W. On the Representation of a Group of Finite Order as an Irreducible Group of Linear Substitutions and the Direct Establis

21、hment of the Relations Between the Group-characteristics J.Proceedings of the London Mathematical Society, 1904, 2 (1) :117-123. 13Curtis, C.W.Pioneers of Representation Theory:Frobenius, Burnside, Schur, and BrauerM.Providence, Rhode Island:American Mathematical Society, 1999, 114-115. 14Brauer, R. On the Arithmetic in a Group Ring J.Proceedings of the National Academy of Sciences, 1944, 30 (5) :109-114.