高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题.docx

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1、高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题第1课二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设)0()(2+=acbxaxxf，求)(xf在nmx，上的最大值与最小值。分析：将)(xf配方，得顶点为?-abacab4422，、对称轴为abx2-=当0a时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上)(xf的最值：1当nmab，-2时，)(xf的最小值是abacabf4422-=?-，)(xf的最大值是)()(nfmf、中的较大者。2当),(2mab-时，)(xf在nm，上是增函数则)(

2、xf的最小值是)(mf，最大值是)(nf3当),(2+-nab时，)(xf在nm，上是减函数则)(xf的最大值是)(mf，最小值是)(nf当0一、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的互相位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括下面四种情形：1轴定，区间定；2轴定，区间变；3轴变，区间定；4轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值。例1.函数242-+-=xxy在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。练习.已知xx322，求函数1)(2+=xxxf的最值。2、轴定区间变二次函

3、数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值。例2.假如函数fxx()()=-+112定义在区间tt，+1上，求fx()的最小值。典型例题基础过关例3.已知32) (2+-=xxxf，当1,+ttx，()Rt时，求)(xf的最大值观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细考虑就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；

4、而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时?+-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf当0-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min=-+-a，求()223yxu+-=的最小值。二、逆向型是指已知二次函数

5、在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数2()21fxaxax=+在区间3,2-上的最大值为4，务实数a的值。例8.已知函数2()2xfxx=-+在区间,mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题经过简洁、明了。例9.已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1=+-+在区间?-2,23上的最大值为3，务实数a的值。解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点

6、处获得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，进而避开繁难的分类讨论，使解题经过简洁、明了。12+x在1,1-上的最小值和最大值分别是)(A1,3)(B43,3C21-,3D41-,32函数242-+-=xxy在区间4,1上的最小值是)(A7-)(B4-)(C2-)(D23函数5482+-=xxy的最值为)(A最大值为8，最小值为0)(B不存在最小值，最大值为8C最小值为0,不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值4若函数4,0,422+-=xxxy的取值范围是_5已知函数fxaxaxa()()()=+-22130322在区间，上的最大值是1，则实数a的值为6假如实数yx,知足122

7、=+yx，那么)1)(1(xyxy+-有(A)最大值为1,最小值为21(B)无最大值，最小值为43C最大值为1,无最小值(D)最大值为1，最小值为437已知函数322+-=xxy在闭区间,0m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(A),1+(B)2,0(C)2,1(D)2,(-稳固训练8若12,0,0=+yxyx，那么232yx+的最小值为_9设21,xxRm是方程01222=-+-mmxx的两个实根，则2221xx+的最小值_10设),(1,44)(2Rtttxxxxf+-=求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。11已知)(xf22aaxx+-=，在区间1,0上的最大值为)(ag，求)

8、(ag的最小值。12.设a为实数，函数2()2()|fxxxaxa=+-.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求()fx的最小值；(3)设函数()(),(,)hxfxxa=+，直接写出不等式()1hx的解集(不需给出演算步骤).第2课函数的定义域和值域一、定义域：1函数的定义域就是使函数式的集合.2常见的三种题型确定定义域：已知函数的解析式，就是.复合函数)(xgf的有关定义域，就要保证内函数)(xg的域是外函数)(xf的域.实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.基础过关二、值域：1函数)(xfy=中，与自变量x的值的集合.2求函数值域的常用方法：观察法；配方法；反函

9、数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法例如：221xy+=，可采用法；2312+=xxy)32(-x，可采用法或法；cxbfxfay+=)()(2，可采用法；xxy-=1，可采用法；21xxy-=，可采用法；xxycos2sin-=可采用法等.例1.求下列函数的定义域：1xxxy-+=|)1(0;(2)232531xxy-+-=;(3)11-+=xxy.变式训练1：求下列函数的定义域：102)1(12)2lg(-+-+-=xxxxy;(2)02)45()34lg(-+=xxxy;2.设函数)(xfy=的定义域为0，1，求下列函数的定义域.1)3(xfy=;2)1(xfy=

10、;3)31()31(-+=xfxfy;4)()(axfaxfy-+=.典型例题变式训练2：若函数)(xf的定义域是0，1，则)()(axfaxf-?+0a21的定义域是A.?B.1,aa-C.1,aa+-D.0，1例3.求下列函数的值域：1;122+-=xxxxy(2)xxy21-=;(3)1e1e+-=xxy.变式训练3：求下列函数的值域：1521+-=xxy;(2)21xxy-?=.例4若函数axxxf+-=221)(的定义域和值域均为1，bb1，求a、b的值.变式训练4：已知函数624)(2+-=aaxxxf(xR).1求函数的值域为0，+)时的a的值；2若函数的值均为非负值，求函数32

11、)(+-=aaaf的值域.第3课指数、对数和幂函数1指数：(1)规定：a0(a0)；a-p；(0,mnmnaaam=.(2)运算性质：aaaasrsr,0(=?+(a0,r、sR)aaasrsr,0()(=?(a0,r、sR)?=?rbababarrr,0,0()(2指数函数：定义：函数称为指数函数，性质：1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3恒过定点，4)当_时函数为减函数，当_时为增函数.函数图象：3对数：(1)定义：假如Nab=)1,0(aa且，那么，其中a称为对数的底，N称为真数.(2)基本性质：01log=a；1log=aa；NaNa=logmabnlog=换底公式logaN4对数

12、函数：定义：函数称为对数函数，性质1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3恒过定点，4)当_时，函数为减函数，当_时为增函数；5)函数xyalog=与函数)1,0(=aaayx且互为反函数.函数图象：5幂函数：定义：我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；性质：1幂函数的图象都过点；2任何幂函数都不过象限；3当0时，幂函数在0,)+上；当0务实数x的取值范围变式训练4已知).1,0(11log)(-+=aaxxxfa1求f(x)的定义域;2判定f(x)的奇偶性并予以证实;3求使f(x)0的x取值范围.3.幂函数例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：122yxx-=+2112

13、2yxx-=+31124()3()fxxx=+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：143yx-=254yx=312yx-=例2比拟大小：111221.5,1.7233(1.2),(1.25)-31125.25,5.26,5.26-430.530.5,3,log0.5变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：12223332.5,(1.4),(3)-23338420.16,0.5,6.25-3113323255(),(),log333-例3已知幂函数223mmyx-=mZ的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合mZ，便可逐步确定m的值变式训练3：证实幂函数12()fxx-=在(0,)+上是减函数