2021年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).docx

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1、2021年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)2021年全国高中数学联赛B卷一试一、填空题每个小题8分，满分64分1：已知函数?+-=),3(log3,0)(2xaxxaxfx，其中a为常数，假如)4()2(ff+?+的最小正整数k的值是6：设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集)(2),(22yxyxyxA+=+=和03),(+-=kykxyxB，若BA是单元集，则k的值为7：设P为椭圆13422=+xy上的动点，点)1,0(),1,1(-BA，则PBPA+的最大值为8：正2021边形202121AAA?接于单位圆O，任取它的两个不同顶点jiAA,，1+的概率为二、解答题9：此题满分16

2、分数列na知足,31=a对任意正整数nm,，均有mnaaanmnm2+=+1求na的通项公式；2假如存在实数c使得cakii=+babyax的右焦点为)0,(cF，存在经过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点，使得OBOA，求该椭圆的离心率的取值围加试1：此题满分40分证实：对任意三个不全相等的非负实数cba,都有：21)()()()()()(222222-+-+-+-+-accbbaabcacbbca，并确定等号成立的充要条件2：此题满分40分如图，在等腰ABC?中，ACAB=，设I为其心，设D为ABC?的一个点，知足DCBI,四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E求证：CEBD

3、CD?=23：此题满分50分证实：存在无穷多个正整数组)2021,)(,(cbacba知足：1,1,1+-abcacbbca4：此题满分50分给定正整数)2(,nmnm，设maaa,21?是n,2,1?中任取m个互不一样的数构成的一个排列，假如存在mk,2,1?使得kak+为奇数，或者存在整数)1(,mlklk，则称maaa,21?是一个“好排列，试确定所有好排列的个数。2021年全国高中数学联赛B卷解答一试三、填空题每个小题8分，满分64分1已知函数?+-=),3(log3,0)(2xaxxaxfx，其中a为常数，假如)4()2(ff-2已知3)(xxfy+=为偶函数，且15)10(=f，则

4、)10(-f的值为答案：2021解：由己知得33(10)(10)(10)10ff-+-=+，即(10)(10)2000ff-=+=20213某房间的室温T单位：摄氏度与时间t单位：小时的函数关系为：),0(,cossin+=ttbtaT，其中ba,为正实数，假如该房间的最大温差为10摄氏度，则ba+的最大值是答案：52解：由辅助角公式：22sincossin()Tatbtabt?=+=+，其中?知足条件2222sin,cosabab?=+，则函数T的值域是2222,abab-+，室最大温差为22210ab+，得225ab+故222()52abab+,等号成立当且仅当522ab=4设正四棱柱11

5、11DCBAABCD-的底面ABCD是单位正方形，假如二面角11CBDA-的大小为3，则=1AA答案：62解：取BD的中点O，连接OA,OA1,OC1则A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因而A1OC1=3,又OA1C1是等边三角形故AO=AC=2，所以22221126(2)()22AAAOAO=-=-=5已知数列na为等差数列，首项与公差均为正数，且952,aaa依次成等比数列，则使得121100aaaak+?+的最小正整数k的值是答案：34解：设数列na的公差为d,则215191,4,8aadaadaad=+=+=+由于952,aaa依次成等比数列，所以2295aaa=，即2111

6、()(8)(4)adadad+=+化简上式得到：218add=又0d，所以18ad=由11211(1)(1)210016kkkakdaaakkkaa-+-=+解得min34k=6设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集)(2),(22yxyxyxA+=+=和03),(+-=kykxyxB，若BA是单元集，则k的值为答案：23-解：点集A是圆周22:(1)(1)2xy-+-=，点集B是恒过点P-1,3的直线:3(1)lykx-=+及下方包括边界作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线故圆的圆心M(1,l到直线l的距离等于圆的半径2，故221k=+结合图像，应取较小根23

7、k=-7设P为椭圆13422=+xy上的动点，点)1,0(),1,1(-BA，则PBPA+的最大值为答案：5解：取F(0,l)，则F,B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l=5当P在AF延长线与椭圆的交点3(,1)2-时，|PA|+|PB|最大值为58正2021边形202121AAA?接于单位圆O，任取它的两个不同顶点jiAA,，则1+jiOAOA的概率为答案6711007解：由于|1ijOAOA=，所以222|22(1cos,)ijijijijOAOAOAOAOAOAOAOA+=+?=+故1+jiOA

8、OA的充分必要条件是1cos,2ijOAOA-，即向量,ijOAOA的夹角不超过32对任意给定的向量iOA，知足条件1+jiOAOA的向量可的取法共有：222134232021?=?种，故1+jiOAOA的概率是：20211342671202120211007p?=?四、解答题9此题满分16分数列na知足,31=a对任意正整数nm,，均有mnaaanmnm2+=+3求na的通项公式；4假如存在实数c使得cakii=+babyax的右焦点为)0,(cF，存在经过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点，使得OBOA，求该椭圆的离心率的取值围解：设椭圆的右焦点F的坐标为c,0)显然l不是水平直线，设直线

9、l的方程为xkyc=+，点A、B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得22222222()24()0bkaykbcybca+-=由韦达定理21222222241222222224,().kbcyybkabcabyybkabka?+=-?+?-?=-?+?12121212()()OAOBxxyykyckycyy?=+=+221212(1)()kyykcyyc=+422222222224(1)()()bkbckkccbkabka=+-+-+22224222kbacbbka-+-=+5分由于OBOA等价于0OAOB?=，故由上式可知，存在知足条件的直线l，等

10、价于存在实数k，使得222242220kbacbbka-+-=+,224222(1)acbkbc-=+显然存在k知足等价于2240acb-15分又222bac=-，所以等价于22222()0acac-，两边除以4a得到22222(1)0ccaa-,即222(1)0ee-由于1ecbacba知足：1,1,1+-abcacbbca证实：考虑1cab=+的特殊情况，此时|1cab+成立10分由|1abc-知，|(1)1abab+-，故|1ab-由|1bac+知，|(1)1baab+-，故|1ba+为知足、，取*,1()akbkkN=+,此时211cabkk=+=+40分当正整数k2021时，2(,)

11、(,1,1)abckkkk=+均符合条件，因而知足条件的正整数组(,)abc有无穷多个50分4此题满分50分给定正整数)2(,nmnm，设maaa,21?是n,2,1?中任取m个互不一样的数构成的一个排列，假如存在mk,2,1?使得kak+为奇数，或者存在整数)1(,mlklk，则称maaa,21?是一个“好排列，试确定所有好排列的个数解：首先注意，“存在,2,1mk?，使得kak+为奇数是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同；“存在整数)1(,mlklk意味着排列中存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性将不是好排列的排列称为“坏排列，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数注

12、意坏排列同时知足：1奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；2单调递增10分下面来求坏排列的个数设P是坏排列全体，Q是在2,2,1mn+?中任取m项组成的单调递增数列的全体对于P中的任意一个排列maaa,21?，定义)2,22,21(),(2121maaaaaafmm+=?由于mknak,，故由条件1可知，所有的2kak+均属于集合2,2,1mn+再由条件2可知，2kak+mk,2,1?=单调递增故如上定义的f给出了QP的一个映射显然f是一个单射30分下面证实f是一个满射事实上，对于Q中任一个数列mbbb,21?，令12+=kkbamk,2,1?=由于整数kkbb+1，故11+kkbb，进而)11(11)(211-=-+mkbbaakkkk故maaa,21?单调递增又11a，而nmmnam-+22，及kkbka2=+为偶数，故maaa,21?为P中的一个排列显然),(),(2121mmbbbaaaf?=?，故f是一个满射综上可见，f是QP的一个一映射，故|QP=40分又Q中的所有数列与集合2,2,1mn+的所有m元子集一对应，故2|mnmQC+=，进而2|mnmPC+=最后，我们用总的排列数!()!mnnPnm=-扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为2!()!mnmnCnm+-50分