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1、数学史 (1)阐述公理化思想的内涵，发展历史及其在当代数学体系中的作用，并谈谈学习数学史的感受3000字以上一.研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的穿插学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因而它与通常历史科学研究的对象又不一样。详细地讲，它所研究的内容是：二.数学史研究方法论问题；总的学科发展史数学史通史；数学各分支的分科史包括细小分支的历史;不同国家、民族、地区的数学史及其比拟;不同时期的断代数学史;数学家传

2、记;数学思想、数学概念、数学方法发展的历史；数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；数学教育史；数学史文献学；等等。按其研究的范围又可分为内史和外史。三.内史从数学内在的原因包括和其他自然科学之间的关系来研究数学发展的历史；四.外史从外在的社会原因包括政治、经济、哲学思潮等原因来研究数学发展与其他社会因素间的关系。五.数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联络，这表明数学史具有多学科穿插与综合性强的性质。六.人们研究数学史的历史，来历甚早。古希腊时就曾有人写过一部（几何学史），可惜未能流传下来,但在5世纪普罗克洛斯对欧几里得（几何本来）第一卷的注文中还保留有一部分资

3、料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，曾讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，大量的古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是当时的数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。七.近代西欧各国的数学史研究，是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开场，而以蒙蒂克拉1758年出版的（数学史）17991802年又经J.de拉朗德增补为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐步增加,断代史和分科史的研究也逐步展开,1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究能够分为下述几个方面。八.通史研究代表作能够举出M.B.康托尔

4、的（数学史讲义）(4卷,18801908)以及C.B.博耶(1894、1919)、D.E.史密斯(2卷，19231925)、洛里亚3卷，19291933等人的著作。法国的布尔巴基学派也写了一部数学史收入（数学原理）丛书之中。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著（古今数学思想）一书，被以为是70年代以来的一部佳作。九.古希腊数学史很多古希腊数学家的著作被译成当代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范?德?瓦尔

5、登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发阐述了欧几里得公理体系的起源。十.古埃及和巴比伦数学史把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成当代文字是困难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的（楔形文字数学史料研究）1935、1937、（楔形文字数学书）与萨克斯合著，1945都是这方面的权威性著作。他所著（古代精细科学）(1951)一书，聚集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范?德?瓦尔登的（科学的觉悟）(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界

6、数学史的权威性著作之一。十一.断代史和分科史研究德国数学家C.F.克莱因著的（19世纪数学发展史讲义）(19261927)一书，是断代体近当代数学史研究的开场，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J.迪厄多内所写的（17001900数学史概论）出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有C.H.H.外尔写的（半个世纪的数学）之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。很多著名数学家参预数学史的研究,可能是基于J.-H.庞加莱的如下信念,即:“假如我们想要预见数

7、学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状，或是如H.外尔所讲的：“假如不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目的，也不可能理解它的成就。十二.历代数学家的传记以及他们的（全集）、（选集）的整理和出版这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种（数学经典论著选读）出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。十三.专业性学术杂志最早出现于19世纪末，M.B.康托尔18771913，30卷和洛里亚18981922，21卷都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的（数学宝藏）18841915，30卷。当代则有国际科学史协会数学史分会主编的（国

8、际数学史杂志）。十四.中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的（律历志）“备数条内经常阐述到数学的作用和数学的历史。例如较早的（汉书?律历志）讲数学是“推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉。（隋书?律历志）记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光芒成就。历代正史（列传）中，有时也给出了数学家的传记。正史的（经籍志）则记载有数学书目。十五.在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注（九章算术）序(263)中曾谈到（九章算术）构成的历史；王孝通“上缉古算经表中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为（四元玉鉴）所写的序文中讲述了由

9、天元术发展成四元术的历史。宋刊本（数术记遗）之后附录有“算学源流,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位（算法统宗）(1592)书末附有“算经源流,记录了宋明间的数学书目。十六.以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：对古算书的整理和研究，（算经十书）(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(17241777)、李潢(?1811)、阮元17641849、沈钦裴(1829年校算（四元玉鉴）)、罗士琳(17891853)等人。编辑出版了（畴人传）数学家和天文学家的传记，它

10、“肇自黄帝，迄于昭清代，凡为此学者，人为之传，它是由阮元、李锐等编辑的(17951799)。其后，罗士琳作“补遗(1840)，诸可宝作（畴人传三编）1886，黄钟骏又作（畴人传四编）(1898)。（畴人传），实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全能够和蒙蒂克拉的数学史相媲美。十七.利用当代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，进而使中国数学史研究建立在当代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开场搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的。经过半个多世纪,李俨的论文自编为（中算史论丛）(15集，19541955),钱宝琮则有（钱

11、宝琮科学史论文集）(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有（中国算学史）(1937)、（中国数学大纲）1958；钱宝琮有（中国算学史）上，1932并主编了（中国数学史）(1964)。钱宝琮校点的（算经十书）(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。十八.从19世纪末，即有人伟烈亚力、赫师慎等用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的（数学在中国和日本的发展）以及50年代李约瑟在其巨著（中国科学技术史）(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都

12、有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比拟研究(2)学习一门学科首先要弄清楚这是一门如何的学科，（标准）明确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的经过，体会数学对人类文明发展的作用，而现阶段高中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上枯燥、难学。数学的本质特征是什么？当今数学究竟发展到了哪个阶段？在科学中的地位怎样？与其它学科有什么联络？这些问题大都不被学生全面了解，而从数学史中能够找到这些问题的答案。日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出，人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学时期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维

13、的第一个重大胜利；第二个是牛顿莱布尼兹的微积分时期，它为了知足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得宏大成功；第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为标志的新数学时期，我们如今就处在这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论，它同前三个高峰有着惊人的密切联络，这种联络绝不是偶尔，它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生能够从这种联络中发现数学追求的是明晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，不允许有任何含糊，这时候学生就很容易认识到数学的三大基本特征抽象性、严谨性和广泛应用性了。同时，

14、介绍必要的数学史知识能够使学生在平常的学习中对所学问题的背景产生愈加深化的理解，认识到数学绝不是孤立的，它与其他很多学科都关系密切，甚至是很多学科的基础和生长点，对人类文明的发展起着宏大的作用。从数学史上看，数学和天文学一直都关系密切，海王星的发现经过就是一个很好的例子；它与物理学也密不可分，牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期，数学不仅仅是自然科学逐步进入社会科学领域，发挥着意想不到的作用，能够讲一切高技术的背后都有某种数学技术支持，数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于一个学习数学十余年的高中生来讲是很有必要，也是必不可少的。二、学习

15、数学史有利于培养学生正确的数学思维方式现行的数学教材一般都是经过了反复琢磨的，语言特别精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证实、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造经过介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的经过中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的把握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜测、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的构成

16、。数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生经过，有一个比拟明晰的认识，进而培养学生正确的数学思维方式。这样的例子很多，比方讲微积分的产生：传统的欧式几何的演绎体系是产生不了微积分的，它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法、“求抛物线弓形面积等思想的启发下为了知足第一次工业革命的需要创造得到的，产生的初期对“无穷小的定义比拟含糊，也不像我们如今看到的这样严密，在数学家们的不断补充、完善下，经过几十年才逐步成熟起来的。数学史的学习能够引导学生构成一种探索与研究的习惯，去发现和认识在一个问题从产生到解决的经过中，真正创造了些什么，哪

17、些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的本质性进步。对这种创造经过的了解，能够使学生体会到一种活的、真正的数学思维经过，有利于学生对一些数学问题构成更深入的认识，了解数学知识的现实;和应用，而不是单纯地接受老师教授的知识，进而能够在这种不断学习，不断探索，不断研究的经过中逐步构成正确的数学思维方式。三、学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的动机动机是鼓励人、推动人去行动的一种气力，从心理学的观点讲，动机可分为两个部分；人的好奇心、求知欲、兴趣、喜好构成了有利于创造的内部动机；社会责任感构成了有利于创造的外部动机。兴趣是最好的动机。在日本中学生夺取国际IEA调查总分第一名的同时，却

18、发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一，这讲明他们的好成绩是在社会、家长、学校的压力下获得的。中国的情况怎样呢？尚无全面的报道，但河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现：“我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学的学生占被调查者的比例高达62.21%，而对数学“很感兴趣的只要23.12%。可见目前中学生的学习动机不明确，对数学的兴趣也很不够，这些都极大地影响了学习数学的效果。但这并不是由于数学本身无趣，而是它被我们的教学所忽视了。在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克制动机因素的消极倾向。数学史中有很多能够培养学生学习兴趣的内容，主要有这几个方面：一是与数学有关的小

19、游戏，例如巧拿火柴棒、幻方、商人过河问题等，它们有很强的可操作性，作为课堂活动或是课后研究都能够到达很好的效果。二是一些历史上的数学名题，例如七桥问题、哥德巴赫猜测等，它们往往有生动的文化背景，也容易引起学生的兴趣。还有一些著名数学家的生平、轶事，比方讲一些年轻的数学家成材的故事，（标准）中提到的“从阿贝尔到伽罗瓦，阿贝尔22岁证实一般五次以上代数方程不存在求根公式，伽罗瓦创立群论的时候只要18岁。还有法国数学家帕斯卡，16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器；德国数学家高斯19岁解决正多边形作图的断定问题，20岁证实代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要

20、的（算术研究）；还有的是很多出生贫穷卑微的数学家通过本人的艰辛努力，最终在的数学研究上有骄人成绩的例子，如19世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农，直到14岁还没有学过写字，18岁才正式开场读书，后来靠做私人老师谋生，经过艰辛努力，终于在30岁时在数学上做出重要工作，一举成名。假如在教学中参加这些学生感兴趣又有知识性的内容，消除学生对数学的恐惧感，增加数学的吸引力，数学学习也许就不再是被迫无奈的了。四、学习数学史为德育教育提供了舞台在（标准）的要求下，德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了，数学史内容的参加使数学教育有更强大的德育教育功能，我们从下几个方面来讨论一下。

21、首先，学习数学史能够对学生进行爱国-教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的奉献提得很少,其实中国数学有着光芒的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。（标准）中“数学史选讲专题3就是“中国古代数学瑰宝，提到（九章算术）、“孙子定理这些有代表意义的中国古代数学成就。然而，现阶段爱国-教育又不能只停留在感慨我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐步落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。（标准）中“数学史选

22、讲专题11“中国当代数学的发展也提到要介绍“当代中国数学家发奋拼搏，赶超世界数学先进水平的光芒历程。在现代的要求下，除了加强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识，让学生认识到爱国-不是体如今“以己之长，讲人之短上，在科学发现上全人类应该互相学习、相互借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用。其次，学习数学史能够引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例子都讲明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出毕生的努力。阿基米德在敌人破城而入危及

23、生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理。欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，他的论文多而且长，以致在他逝世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平常学习中碰到略微繁琐的计算和略微复杂的证实就打退堂鼓的学生来讲，介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是怎样执著追求的故事，对于他们正确看待学习经过中碰到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。最后，学习数学史能够提高学生的美学修养。数学是美的，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习能够引导学生领悟数学美。很多著名

24、的数学定理、原理都闪现着美学的光芒。例如毕达哥拉斯定理勾股定理是初等数学中大家都特别熟悉的一个非常简洁而深入的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证实。1940年，美国数学家卢米斯在所著（毕达哥拉斯命题艺术）的第二版中采集了它的370种证实，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样特别优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着特别密切的内在联络。同时，在感慨和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，能够构成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。