2019版高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列（一）学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、12.1.22.1.2 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列( (一一) )学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？答案 (1)x1,2,3,4,5,6，概率均为 .1 6(2)X与P的对应关系为X123456P1 61 61 61 61 61 6梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x

2、2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2,3，n；1.n i1pi1在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数( )2在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积( )3在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( )2类型一 离散型随机变量分布列的性质例 1 设随机变量X的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)(Xk 5)(1)求常数a的值；

3、(2)求P；(X3 5)(3)求P.(1 10X7 10)考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a2a3a4a5a1，得a.1 15(2)Pk(k1,2,3,4,5)，(Xk 5)1 15PPPP(X1) .(X3 5)(X3 5)(X4 5)3 154 155 154 5(3)当X时，只有X ， 时满足，1 107 101 52 53 5故P(1 10X7 10)PPP(X1 5)(X2 5)(X3 5) .1 152 153 152 5反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题(1)X的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意1，而且要

4、注意pi0，i1,2，n.n i1pi跟踪训练 1 (1)设随机变量只能取 5,6,7，16 这 12 个值，且取每一个值概率均相等，若P(x)，则x的取值范围是_1 12(2)设随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3)，则P(X2)_.k 2i考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率3答案 (1)(5,6 (2)3 7解析 (1)由条件知P(k)，k5,6，16，1 12P(x)，故 5x6.1 12(2)由已知得随机变量X的分布列为X123Pk 2k 4k 8 1，k .k 2k 4k 88 7P(X2)P(X2)P(X3) .k 4k 82 71 73 7

5、类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量yf的分布列例 2 已知随机变量的分布列为210123P1 121 41 31 121 61 12分别求出随机变量1，22的分布列1 2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由1知，对于取不同的值2，1,0,1,2,3 时，1的值分别为1 21， ，0，1，1 21 23 2所以1的分布列为111 201 213 2P1 121 41 31 121 61 12由22知，对于的不同取值2,2 及1,1，2分别取相同的值 4 与 1，即2取 44这个值的概率应是取2 与 2 的概率与 的和，2取 1

6、 这个值的概率应是取1 与1 121 61 的概率 与的和，所以2的分布列为1 41 1220149P1 31 31 41 12反思与感悟 (1)若是一个随机变量，a，b是常数，则ab也是一个随机变量，推广到一般情况有：若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若为离散型随机变量，则f()也为离散型随机变量(2)已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量f()的分布列的关键是弄清楚取每一个值时对应的的值，再把取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可跟踪训练 2 已知随机变量的分布列为210123P1 121

7、 41 31 121 61 12分别求出随机变量1 ，222的分布列1 2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由1 ，对于2，1,0,1,2,3，得1 ， ， ， ，相应1 25 23 21 21 23 25 2的概率值为， ，.1 121 41 31 121 61 12故1的分布列为15 23 21 21 23 25 2P1 121 41 31 121 61 12由222，对于2，1,0,1,2,3，得28,3,0，1,0,3.所以P(28)，P(23) ，1 121 41 121 35P(20) ，P(21).1 31 61 21 12故2的分布列为

8、28301P1 121 31 21 12命题角度2 利用排列、组合求分布列例 3 某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 10 人，A 型血的有 12 人，B 型血的有 8 人，AB 型血的有 15 人现从中抽 1 人，其血型为随机变量X，求X的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 将 O，A，B，AB 四种血型分别编号为 1,2,3,4，则X的可能取值为 1,2,3,4.P(X1) ，P(X2)，C 1 10 C 1 452 9C 1 12 C 1 454 15P(X3)，P(X4) .C1 8 C 1 458 45C 1 15 C 1 451 3故X的分布列

9、为X1234P2 94 158 451 3反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列跟踪训练 3 一袋中装有 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 个球，以X表示取出的 3 个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 随机变量X的可能取值为 1,2,3.当X1 时，即取出的 3 个球中最小号码为 1，则其他 2 个球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 个球中取，故有P(X1) ；C2 4 C3 56 103 5当X2 时，即取出

10、的 3 个球中最小号码为 2，则其他 2 个球只能在编号为 3,4,5 的 3 个球6中取，故有P(X2)；C2 3 C3 53 10当X3 时，即取出的 3 个球中最小号码为 3，则其他 2 个球只能是编号为 4,5 的 2 个球，故有P(X3).C2 2 C3 51 10因此，X的分布列为X123P3 53 101 10类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例 4 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人1 7从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表

11、示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中原有的白球的个数；(2)求随机变量的分布列；(3)求甲取到白球的概率考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)设袋中原有n个白球，由题意知，1 7C2n C2 7nn12 7 6 2nn17 6 可得n3 或n2(舍去)，即袋中原有 3 个白球(2)由题意，的可能取值为 1,2,3,4,5.P(1) ；3 7P(2) ；4 3 7 62 7P(3)；4 3 3 7 6 56 35P(4)；4 3 2 3 7 6 5 43 35P(5).4 3 2 1 3 7 6 5 4 31 357所以的分布列为12345P3 7

12、2 76 353 351 35(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)P(1)P(3)P(5).22 35反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一个值时的概率跟踪训练 4 北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量12311从中随机地选取 5 只(1)求选取的 5

13、只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P.C1 2C1 3 C5 86 563 28(2)X的取值为 100,80,60,40.P(X100)，C1 2C1 3 C5 83 28P(X80)，C2 3C2 2C1 3C1 2C2 3C3 3C2 2C2 3C5 831 56P(X60)，C1 3C2 2C2 3C1

14、2C3 3C2 3C3 3C5 818 569 288P(X40).C2 2C3 3 C5 81 56所以X的分布列为X100806040P3 2831 569 281 561已知随机变量X的分布列如下：X12345678910P2 32 322 332 342 352 362 372 382 39m则P(X10)等于( )A. B.2 392 310C. D.1 391 310考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 C解析 P(X10)1 .2 32 391 392已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)等于( )X101P

15、abcA. B.1 31 4C. D.1 22 3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用9题点 根据分布列的性质求概率答案 D解析 a，b，c成等差数列，2bac.由分布列的性质得abc3b1，b .1 3P(|X|1)P(X1)P(X1)1P(X0)1 .1 32 33已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是( )Aa0.1BP(X2)0.7CP(X3)0.4DP(X1)0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 C解析 易得a0.1，P(X3)0.3，故 C 错误4设是一个离散型随机变量，

16、其分布列为101P1 212qq2则P(0)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 21 2解析 由分布列的性质，得 12q0，q20，(12q)q21，1 2所以q1，q1(舍去)222210P(0)P(1)P(0) 12 .1 2(122)21 25将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 由题意知i(i1,2,3,4,5,6)，则P(1)；1 C1 6C1 61 36P(2)；3 C1 6C1 63 361 12P(3)；5 C1 6C1 65 36P(4)；7 C1 6C1 67 36

17、P(5) ；9 C1 6C1 69 361 4P(6).11 C1 6C1 611 36所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为123456P1 361 125 367 361 411 361离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和一、选择题1设随机变量X等可能取值 1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么( )An3 Bn4Cn10 Dn9考点 离散型随机变量分布列的性质及应用11题点 由分布列的性质求参

18、数答案 C解析 由题意知P(X4)3P(X1)0.3，P(X1)0.1，又nP(X1)1，n10.2若随机变量的分布列如下：210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(x)0.8 时，实数x的取值范围是( )Ax1 B1x2C1x2 D1x2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 由分布列的性质求参数答案 C解析 由分布列知，P(2)P(1)P(0)P(1)0.10.20.20.30.8，P(2)0.8，故 1x2.3若随机变量X的概率分布列为P(Xn)(n1,2，3,4)，其中a是常数，则Pann1的值为( )(1 2X5 2)A. B. C. D.2 33 44 55 6

19、考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 D解析 P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)a1，a .(11 5)5 4PP(X1)P(X2)a .(1 2X5 2)a 1 2a 2 3(11 3)5 42 35 64随机变量的分布列如下：012Pabc12其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个零点的概率为( )A. B. C. D.1 61 31 25 6考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 B解析 由题意知Error!解得b .1 3f(x)x22x有且只有一个零点，440，解得1，P(1) .1 35设

20、离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量YX2，则P(Y2)等于( )A0.3 B0.4 C0.6 D0.7考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 A解析 由 0.20.10.10.3m1，得m0.3.又P(Y2)P(X4)0.3.6抛掷 2 枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)等于( )A. B. C. D.1 61 31 22 3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 A解析 根据题意，有P(X4)P(X2)P(X3)P(X4)抛掷两枚骰子，按所得的点数共 36 个基本事件，而

21、X2 对应(1,1)，X3 对应(1,2)，(2,1)，X4 对应(1,3)，(3,1)，(2,2)故P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以P(X4) .1 362 361 183 361 121 361 181 121 67已知随机变量只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公13差的取值范围是( )A. B.0，1 31 3，1 3C3,3 D0,1考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求参数答案 B解析 设随机变量取x1，x2，x3的概率分别为ad，a，ad，则由分布列的性质，得(ad)a(ad)1，故a .由Error!解得 d .1

22、31 31 3二、填空题8一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则P_.(1 35 3)考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 4 7解析 设二级品有k个，则一级品有 2k个，三级品有 个，总数为k个的分布列为k 27 2123P4 72 71 7PP(1) .(1 35 3)4 79由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20根据该表可知X取奇数值时的概率是_考点 离散型随机变量分布列的性质及

23、应用题点 根据分布列的性质求概率答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X3)0.25，P(X5)0.15，故X14取奇数值时的概率为P(X1)P(X3)P(X5)0.200.250.150.6.10把 3 枚骰子全部掷出，设出现 6 点的骰子个数是X，则有P(X2)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 25 27解析 P(X2)P(X0)P(X1).53 63C1 3 52 6325 2711将 3 个小球任意地放入 4 个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是_考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分

24、布列答案 X123P3 89 161 16解析 由题意知X1,2,3.P(X1) ；A3 4 433 8P(X2)；C2 3A2 4 439 16P(X3).A1 4 431 16X的分布列为X123P3 89 161 16三、解答题12设S是不等式x2x60 的解集，整数m，nS.(1)设“使得mn0 成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；(2)设m2，求的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)由x2x60，15得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ Z，m，nS且mn0，所以事件A包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)

25、，(1，1)，(0,0)(2)由于m的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以m2的所有不同取值为 0,1,4,9，且有P(0) ，1 6P(1) ，2 61 3P(4) ，2 61 3P(9) .1 6故的分布列为0149P1 61 31 31 613将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5，则P(X5)，1 36P(X4)，2 361 18，P(X5).1 36故X的分布列为X54321012345

26、P1 361 181 121 95 361 65 361 91 121 181 3616四、探究与拓展14袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中任取 4 个球，取到 1 个红球得 1 分，取到 1 个黑球得 3 分，记得分为随机变量，则P(6)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用答案 13 35解析 取出的 4 个球中红球的个数可能为 4,3,2,1，相应的黑球个数为 0,1,2,3，其得分4,6,8,10，则P(6)P(4)P(6).C4 4 C0 3 C4 7C3 4 C1 3 C4 713 3515在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一

27、等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5X25)的值考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)该顾客中奖的概率P11 .C2 6 C 2 101 32 3(2)X的可能取值为 0,10,20,50,60.P(X0) ，C2 6 C 2 101 3P(X10) ，C1 3C1 6 C 2 102 5P(X20)，C2 3 C 2 101 15P(X50)，C1 1C1 6 C 2 102 15P(X60).C1 1C1 3 C 2 101 15故随机变量X的分布列为X010205060P1 32 51 152 151 1517所以 P(5X25)P(X10)P(X20) .25115715