2019版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用练习 新人教A版必修5.doc

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1、1第第 2 2 课时课时 等差数列前等差数列前 n n 项和的性质与应用项和的性质与应用课后篇巩固探究巩固探究A A 组1 1.在等差数列an中,Sn是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=( )101088A.-11B.11C.10D.-10解析an为等差数列,为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则11=2d=2,d=1,=-11+10d=-1,S11=-11.1010881111答案 A2 2.若Sn是等差数列an的前n项和,且S8-S3=20,则S11的值为( )A.44B.22C.D.88200 3 解析由S8-S3=20,得a4+a5+a6+a7+a8=20,所以 5a

2、6=20,所以a6=4,故S11=11a6=44.11(1+ 11)2答案 A3 3.若Sn表示等差数列an的前n项和,则=( )510=1 31020A.B.C.D.3 10 解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.,S10=3S5,S15=6S5,S20=10S5,.510=1 31020=3 10答案 C4 4.已知数列an为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为( )A.B.C.1D.0解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d=-1,所以a1=1.又a2=0,所以数列an的前n- 2 - 0 4 - 2项和Sn的最大值为 1. 答

3、案 C5 5.在各项均不为零的等差数列an中,若an+1-+an-1=0(n2),则S2n-1-4n=( )2A.-2B.0C.1D.2解析由an+1-+an-1=0,得=an-1+an+1=2an.因为an的各项均不为零,所以an=2,所以S2n-2221=(2n-1)an=4n-2,故S2n-1-4n=-2. 答案 A6 6.设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= . 95解析=9.95=9 2(1+ 9)5 2(1+ 5)=9 2 255 2 23答案 97 7.已知等差数列an,|a5|=|a9|,公差d0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值 是 . 解析由|a

4、5|=|a9|,且d0,得a50,且a5+a9=0,即 2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值. 答案 6 或 78 8.若一个等差数列的前 3 项之和为 34,最后 3 项之和等于 146,所有项的和为 390,则这个数 列一共有 项. 解析设该数列为an,Sn是其前n项和,则a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146,两式相加,得(a1+a2+a3)+(an+an-1+an-2)=180,即 3(a1+an)=180,于是a1+an=60.而Sn=390,即=390,解得n=13.(1+ )2 60 2答案 139 9.已知等差数列an的前

5、 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列an的前n项和Sn;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题意,得31+3 2 2 = 6,81+8 7 2 = - 4,?即31+ 3 = 6, 81+ 28 = - 4,?解得1= 3, = - 1.?所以Sn=3n+(-1)=- n2+n.( - 1) 2(2)由(1),得=-n+,所以=- (n+1)+=-, + 1 + 1n7 2(-1 2 +7 2)3即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,11故Tn=3n+=-n2+n.( - 1) 2(-1 2)13 41010.导学号 04994037 在等差数列an中,a

6、1=-60,a17=-12,求数列|an|的前 n项和.解等差数列an的公差d=3,17- 1 17 - 1=- 12 - ( - 60) 16故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63. 由an0,a21=0,a220,数列前 30 项的绝对值之和为S30-2S21=30(-60)+3-230 29 2=765.21 ( - 60) +21 20 2 3答案 B2 2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整=7 + 45 + 3数的正整数n有( ) A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个 解析4=22=1+ 2 - 11+ 2 - 1=2 -

7、 1 2(1+ 2 - 1)2 - 1 2(1+ 2 - 1)=2 - 12 - 1=7(2 - 1) + 45 (2 - 1) + 3=7 + 19 + 1=7+.12 + 1当n=1,2,3,5,11 时,为整数,即当n=1,2,3,5,11 时,为整数.12 + 1答案 D3 3.在等差数列an中,其前n项和为Sn,nSn+1(n+1)Sn(nN N* *),且(n+1)Sn,得,即0.而,所以d0.因为 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1= 20,因此数列an是递增数列,所以877+ 87a70,所以a70,所以在Sn中最小值是S7. 答案 A4 4.已知等差数列an,Sn

8、为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= . 解析S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,S9-S6=5. 答案 55 5.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为 . 解析因为等差数列an的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得,解得k=2 016.2 011 + 2 014 2=2 009 + 2 答案 2 0166 6.已知数列an是以 3 为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是

9、数列Sn中的唯一最小 项,则数列an的首项a1的取值范围是 . 解析依题意,得解得-30 0,?即1+ 9 3 0,?答案(-30,-27)7 7.设数列an的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意nN N* *,Sn是和an的等差中项.2(1)证明:数列an为等差数列,并求an; (2)若bn=-n+5,求anbn的最大值,并求出取最大值时n的值.5(1)证明由已知,得 2Sn=+an,且an0.2当n=1 时,2a1=+a1,解得a1=1.21当n2 时,2Sn-1=+an-1.2 - 1所以 2Sn-2Sn-1=+an-an-1,即 2an=+an-an-1,2 2 - 12 2 -

10、 1即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因为an+an-10,所以an-an-1=1(n2). 故数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列,且an=n. (2)解由(1)可知an=n.设cn=anbn,则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-.( -5 2)2+25 4nN N* *,当n=2 或n=3 时,cn的最大项为 6. 故anbn的最大值为 6,此时n=2 或n=3. 8 8.导学号 04994038 在等差数列an中,a10=23,a25=-22. (1)数列an的前多少项和最大? (2)求数列|an|的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d,由a10=2

11、3,a25=-22,得解得1+ 9 = 23, 1+ 24 = - 22,?1= 50, = - 3,?所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.令an0,得n0;当n18,nN N* *时,an0, 故数列an的前 17 项和最大.(2)当n17,nN N* *时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+n;103 2当n18,nN N* *时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a17-a18-a19-an=2(a1+a2+a17)-(a2+a2+an)= n2-n+884.103 2故Sn=-3 22+103 2, 17,3 22-103 2 + 884, 18.?