高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测.pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学模块综合检测(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 aR,且 a2+a-a3-aB.-aa2-a3C.-a3a2-aD.a2-a-a3解析:a2+a 0,-1a 0,0-a(-a)2(-a)3,即-aa2-a3.答案:B 2.不等式 2x2-x-1 0 的解集是()A.-B.(1,+)C.(-,1)(2,+)D.-(1,+)解析:2x2-x-1=(x-1)(2x+1)0,x1或 x0,a 1)的图像上,则 a3+a7与 2

2、a5的大小关系是()A.a3+a7 2a5B.a3+a70,a7=a7 0,a5=a5 0,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学a3+a7 2=2a5.又 a0,a 1,等号不成立.故 a3+a72a5.答案:A 4.在ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则 ABC 的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理、余弦定理得2-a=c,整理得 a=b,故 ABC 为等腰三角形.答案:B 5.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),若 ab,则 4x+8y的最小值为()A.B.4C.2D.2 解析:ab,3(y-

3、1)-(-2)x=0,2x+3y=3.故 4x+8y=22x+23y2=2=4,当且仅当2x=3y,即 x=,y=时,等号成立.答案:B 6.在ABC 中,若 a=80,b=100,A=45,则此三角形的解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解解析:在 ABC 中,ab,A=45bsin 45=50,知此三角形有两解.答案:B 7.设 xR,记不超过x 的最大整数为x,令 x=x-x,则()A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:可分别求得=1,

4、-,则由等比数列性质易得三者构成等比数列.答案:B 8.在ABC 中,AB=,AC=1,B=30,则 ABC 的面积等于()A.B.C.或D.或解析:由余弦定理,得 12=()2+BC2-2 BC cos 30,解得 BC=1 或 2.故 SABC=BA BCsin 30=1或 SABC=2.答案:D 9.已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10等于()A.1 B.9 C.10 D.55 解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,故 a10=S10-S9=S1=a1=1.答案:A 10.已知 x,y 满足约束条件-若 z=ax+y

5、的最大值为4,则 a 等于()A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即 y=-ax+z.设直线 l0:ax+y=0.当-a1,即 a-1 时,l0过 O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当 0-a1,即-1a0 时,l0过 B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去);当-1-a 0 时,即 0a 1时,l0过 B(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,a=(舍去);当-a-1,即 a1 时,l0过 A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.综上

6、,a=2符合题意.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案:B 11.数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n1),则 a6等于()A.3 44B.3 44+1 C.45D.45+1 解析:an+1=3Sn,an=3Sn-1(n2).两式相减,得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,即 an+1=4an(n2).故 n2 时,an是以 a2为首项,以 4 为公比的等比数列.a2=3S1=3a1=3,=3 4.a1不在上述等比数列里面.数列 an的通项公式为an=-故 a6=3 44.答案:A 12.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,

7、b,ab 成等比数列,且 0logm(ab)1,则 m 的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(0,8)D.(8,+)解析:a,b,a+b 成等差数列,2b=2a+b,b=2a.a,b,ab成等比数列,a 0,b 0,b2=a2b,b=a2.a2=2a,a=2,b=4,ab=8.0logm(ab)8.答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13.在ABC 中,a=3,b=,A=,则 B=.解析:由正弦定理,得,即,所以 sin B=.所以 B=.答案:14.设 Sn为等比数列 an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,

8、S3成等差数列,则 an=.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:设等比数列 an的公比为q,则 an=a1qn-1=qn-1.因为 3S1,2S2,S3成等差数列,所以 2(2S2)=3S1+S3,即 4S2=3+S3,即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得 q2-3q=0,解得 q=3 或 q=0(舍去).所以等比数列an 的首项为 a1=1,公比为 q=3,故 an=3n-1.答案:3n-115.若 x,y 满足约束条件-则的最大值为.解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A 为(1,3),要使最大

9、,则-最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,-=3.答案:3 16.数列 an的前 n 项和 Sn=n2+2n(nN+),则+;数列 an满足 a1=2,an+1=2an-1(nN+),则 a11=1 023;数列 an满足 an+1=1-,bn=-(nN+),则数列 bn是从第二项开始的等比数列;已知 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=2n+1(nN+),则 an=2n-1.以上命题正确的有(只填序号).解析:Sn=n2+2n,an=2n+1,+,当且仅当n=1 时等号成立,故正确;an+1=2an-1,an+1-1=2(an-1),-=2.

10、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学an-1是等比数列,an-1=2n-1.an=2n-1+1,a11=210+1=1 025,故错误;bn+1=-+2=bn+2,bn是公差为2 的等差数列,故错误;中当 n=1 时,a1=22=4,不满足 an=2n-1,错误.答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)ABC 中,BC=7,AB=3,且.(1)求 AC 的长度;(2)求角 A 的大小.解:(1)由正弦定理,得,即.故 AC=5.(2)由余弦定理,得 cos A=-=-.因为 0A 0,故 q=.由 2a1

11、+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,即 a1=.故数列 an的通项公式为an=.(2)因为 bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以=-=-2-.所以+=-2-=-.故数列的前 n项和为-.19.(12 分)如图所示,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B 处,且与岛屿 A相距 12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用 2 h追上,此时到达C 处.(1)求渔船甲的速度;(2)求 sin 的值.解:(1)

12、依题意知,BAC=120,AB=12 n mile,AC=10 2=20(n mile).在 ABC 中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB AC cosBAC=122+202-2 12 20 cos 120=784.解得 BC=28 n mile.故渔船甲的速度为=14(n mile/h).(2)由(1)知 BC=28 n mile,在 ABC 中,BCA=,由正弦定理,得.即 sin =.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学20.(12 分)设数列 an(n=1,2,3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列.(1)

13、求数列 an的通项公式;(2)设数列的前 n项和为 Tn,求 Tn.解:(1)由 Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即 an=2an-1(n2).从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为 a1,a2+1,a3成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1).所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2.所以,数列 an是首项为 2,公比为 2 的等比数列.故 an=2n.(2)由(1)得.所以 Tn=+-=1-.21.(12 分)已知函数 f(x)=(a,b 为常数),且方程 f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(1)求函数 f

14、(x)的解析式;(2)设 k1,解关于 x 的不等式f(x)-.解:(1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程-x+12=0,得-解得-故 f(x)=-(x 2).(2)不等式即为-,可化为-0.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 1k 2 时,解得 1x2;当 k=2 时,不等式为(x-2)2(x-1)0,解得 x 1,且 x 2;当 k2 时,解得 1xk.综上所述,当 1k2 时,解集为(1,2)(k,+).22.(12 分)甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f(x),g(x)及任意的 x0:当甲公司投入x万元改造设备时,若乙公

15、司投入改造设备费用小于f(x)万元,则乙公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x 万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g(x)万元,则甲公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险.(1)请解释 f(0),g(0)的实际意义;(2)设 f(x)=x+5,g(x)=x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?解:(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f(0)万元的资金,g(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时,甲公司要避免倒闭,至少要投入g(0)万元的

16、资金.(2)设甲公司投入的资金为x万元,乙公司投入的资金为y万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需改造设备资金为z=x+y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线 l0:x+y=0,平移直线l0,在可行域中的点P 处 z=x+y 取得最小值.由-得 P(25,30).故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25 万元,乙公司至少要投入30 万元,此时改造设备资金最少为55 万元.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学