迎战2021年九年级中考数学考点强化训练——平行四边形.docx

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1、迎战2021中考数学考点强化训练平行四边形1如图，ABC中，MNBD交AC于P，ACB、ACD的平分线分别交MN于E、F（1）求证：PEPF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2）条件中，当ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（不需要证明）2如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示：AP ；DP ；BQ ；CQ （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四

2、边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？3如图，将RtABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E求证：ABDE4如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BEDF（1）请你写出图中所有的全等三角形；（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明5在RtABC中，ABC90，ACB30，将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC，点A、B的对应点分别是D、E（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求ADE的大小；（2）若60时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形6如图：ABC绕点A逆时针方向旋转得到A

3、DE，其中B50，C60（1）若AD平分BAC时，求BAD的度数（2）若ACDE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数7四边形ABCD中，A140，D80（1）如图所示，若ABC的平分线BE交DC于点E，且BEAD，试求出C的度数；（2）如图所示，若ABC和BCD的平分线交于点E，试求出BEC的度数8如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AEBD，CFBD，垂足分别为E，F，连接CE，AF（1）求证：BEDF；（2）若AB4，EF，AFE45，求ABD的面积9如图，在ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O求证：四边形AECF为菱形10如图，在四边形

4、ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，ADBC，PEF20，求PFE的度数11如图，ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）（1）画出ABC关于点O的中心对称图形A1B1C1（2）画出ABC绕原点O逆时针旋转90的A2B2C2；直接写出点B2的坐标为 12如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段

5、A1B2；（3）连接AB2、BB2，求ABB2的面积13如图，ABC中ABAC，E是边AB上一点，过点E作EDAC，EFBC，在FE延长线上取点G使得BEBG，C30，BD2（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离14已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EGAE，连接CF、CG（1）如图1，求证：EGFC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半15如图，D，E分别是ABC的边AB，

6、AC上的点，把ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A，已知B80，C70（1）求A的度数；（2）在图，图，图中，写出1，2的数量关系，并选择一种情况说明理由16如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角（045），得到正方形OA1B1C1设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN（1）求证：OC1MOA1E；（2）试说明：OMN的边MN上的高为定值；（3）MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值17如图，在四边形ABCD中，ABBC

7、D90，ABDC4，ADBC8延长BC到E，使CE3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE5动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（t0）（1）当t3时，BP ；（2）当t 时，点P运动到B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示ABP的面积S；（4）当0t6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值迎战2021中考数学考点强化训练平行四边形参考答案1如图，ABC中，MNBD交AC于P，ACB、ACD的平分线分别交MN于E、F（1）求证：PEPF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2

8、）条件中，当ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（不需要证明）【答案】证明：（1）CE平分ACB，ACEBCEMNBC，PECBCEACEPEC，PEPC同理：PFPCPEPF（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，PAPC，PFPE，四边形AECF是平行四边形PEPC，ACEF，四边形AECF是矩形（3）当ACB90时，四边形AECF是正方形2如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示：AP ；D

9、P ；BQ ；CQ （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？【答案】解：（1）t，12t，152t，2t（2）根据题意有APt，CQ2t，PD12t，BQ152tADBC，当APBQ时，四边形APQB是平行四边形t152t，解得t5t5s时四边形APQB是平行四边形；（3）由APtcm，CQ2tcm，AD12cm，BC15cm，PDADAP12t，如图1，ADBC，当PDQC时，四边形PDCQ是平行四边形即：12t2t，解得t4s，当t4s时，四边形PDCQ是平行四边形3如图，将RtABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，过点D

10、作AB的垂线，交AB延长线于点E求证：ABDE【答案】证明：BC绕点B顺时针旋转90得线段BD，BCBD，DBC90CAB，ABC+ACB90，ABC+DBE90，ACBDBE，DEAB，DEB90，在ABC与EDB中，ABCEDB（AAS），ABDE4如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BEDF（1）请你写出图中所有的全等三角形；（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明【答案】解：（1）ABDCDB；ABECDF；ADECBF（2）（以证明ABDCDB为例，证明其它结论参照给分）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBCABDCDB，又BDBD，ABDCD

11、B（SAS）5在RtABC中，ABC90，ACB30，将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC，点A、B的对应点分别是D、E（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求ADE的大小；（2）若60时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形【答案】（1）解：连接AD，如图1，ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，点E恰好在AC上，CACD，ECDBCA30，DECABC90，CACD，CADCDA（18030）75，ADE907515；（2）证明：如图2，点F是边AC中点，BFAC，ACB30，ABAC，BFAB，ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC，BCEACD60，CBCE，DE

12、AB，DEBF，ABF和BCE为等边三角形，BECB，点F为ACD的边AC的中点，DFAC，易证得CFDABC，DFBC，DFBE，而BFDE，四边形BEDF是平行四边形6如图：ABC绕点A逆时针方向旋转得到ADE，其中B50，C60（1）若AD平分BAC时，求BAD的度数（2）若ACDE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数【答案】解：（1）B50，C60，BAC70，AD平分BAC，BADCAD35；（2）ABC绕点A逆时针方向旋转得到ADE，EC60，旋转角为CAE，ACDE，CAE30，旋转角为307四边形ABCD中，A140，D80（1）如图所示，若ABC的平分线BE交DC于点E，且

13、BEAD，试求出C的度数；（2）如图所示，若ABC和BCD的平分线交于点E，试求出BEC的度数【答案】解：（1）BEAD，BECD80，ABE180A18014040又BE平分ABC，EBCABE40，C180EBCBEC180408060（2）A+ABC+BCD+D360，ABC+BCD360AD36014080140EBCABC，BCEBCD，E180EBCBCE180（ABC+BCD）1801401108如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AEBD，CFBD，垂足分别为E，F，连接CE，AF（1）求证：BEDF；（2）若AB4，EF，AFE45，求ABD的面积【答案】（1）证明

14、：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABECDF，又AEBD，CFBD，AEBCFD90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS），BEDF；（2）解：AEBD，AFE45，AEF是等腰直角三角形，AEEF，BE，由（1）得：DFBE，BDBE+EF+DF2+，ABD的面积BDAE（2+）+9如图，在ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O求证：四边形AECF为菱形【答案】解：EF垂直平分AC，AOOC，AECE，AFCF，12，34，又四边形ABCD是平行四边形，ADBC，143，AFAE，AEECCFFA，四边形AECF是菱形10如图，在

15、四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，ADBC，PEF20，求PFE的度数【答案】解：P是BD的中点，E是AB的中点，PE是ABD的中位线，PEAD，同理，PFBC，ADBC，PEPF，PFEPEF2011如图，ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）（1）画出ABC关于点O的中心对称图形A1B1C1（2）画出ABC绕原点O逆时针旋转90的A2B2C2；直接写出点B2的坐标为 【答案】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）画如图，A2B2C2为所作；点B2的坐标为（3，3）故答案为（3，3）12如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单

16、位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求ABB2的面积【答案】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S44222424613如图，ABC中ABAC，E是边AB上一点，过点E作EDAC，EFBC，在FE延长线上取点G使得BEBG，C30，BD2（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离【答案】（1

17、）证明：ABAC，ABCC，EFBC，EDAC，G+GBD180，BEGABC，EDBC，BEGEDBABC，又BEBG，GBEG，GEDB，EDB+GBD180，BGDE，又EFBC，四边形BDEG为平行四边形；（2）解：过E作EMBC于M，过G作GHBC于H，连接DG，如图所示：由（1）得：EDBABCC30，BEDE，EMBC，BMDMBD1，EMBM，BE2EM，BGBE，BG，BGDE，GBHEDB30，GHBC，GHBG，BHGH1，DHBD+BH3，DG，即D，G两点间的距离为14已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并

18、延长至点G，使EGAE，连接CF、CG（1）如图1，求证：EGFC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS），AEFC，EGAE，EGFC；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，ABCD，S四边形ABCD4SABO，EGAE，点E为OB的中点，AG、OB互相平分，四边形AB

19、GO是平行四边形，SABOSBGO，S四边形ABGO2SABOS四边形ABCD，OAOC，EGAE，OE是ACG的中位线，OECG，四边形ABGO是平行四边形，BGAC，四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO2SBGO2SABOS四边形ABCD，四边形ABGO是平行四边形，GOAB，GOAB，ABCD，GOCD，GOCD，四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG2SCDO2SABOS四边形ABCD，点E，F分别为OB，OD的中点，EFBDOD，四边形CDOG是平行四边形，CGEF，CGOD，EFCG，四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCGS四边形CDOGS四边形ABCD，图中的

20、平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半15如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，把ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A，已知B80，C70（1）求A的度数；（2）在图，图，图中，写出1，2的数量关系，并选择一种情况说明理由【答案】解：（1）B80，C70，A180（B+C）180（80+70）30；（2）如图，把ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A，AA30，3180A21502，1+3+B+C360，1+

21、1502+80+70360，1260；如图，把ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A，AA30，AEA+ADA360AA300，1+2360AEAADA60；如图，方法同，216016如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角（045），得到正方形OA1B1C1设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN（1）求证：OC1MOA1E；（2）试说明：OMN的边MN上的高为定值；（3）MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值【答案】（1）

22、证明：正方形OABC，A1OE+A1OMC1OM+A1OM90，A1OEC1OM，在OC1M和OA1E中，OC1MOA1E（ASA）；（2）解：OC1MOA1E（已证），OEOM，在EON和MON中，EONMON（SAS），ENMN，OMN的边MN上的高等于OEN边EN上的高，即OA1的长a，为定值；（3）p不会发生变化，是定值2a理由如下：根据（1）（2），OC1MOA1E，EONMON，MNEN，A1EC1M，MNB1的周长pMN+NB1+MB1，EN+NB1+MB1，EB1+MB1，A1E+A1B1+MB1，C1M+A1B1+MB1，A1B1+B1C1，正方形OABC的边长为a，A1B1

23、B1C1a，p2a，是定值17如图，在四边形ABCD中，ABBCD90，ABDC4，ADBC8延长BC到E，使CE3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE5动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（t0）（1）当t3时，BP ；（2）当t 时，点P运动到B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示ABP的面积S；（4）当0t6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值【答案】解：（1）BP2t236，故答案为：6；（2）作B的角平分线交AD于F，ABFFBC，AABCBCD90，四边形ABCD是矩形，ADBC，AFBFBC，ABFAF

24、B，AFAB4，DFADAF844，BC+CD+DF8+4+416，2t16，解得t8当t8时，点P运动到ABC的角平分线上；故答案为：8；（3）根据题意分3种情况讨论：当点P在BC上运动时，SABPBPAB2t44t；（0t4）；当点P在CD上运动时，SABPABBC4816；（4t6）；当点P在AD上运动时，SABPABAP4（202t）4t+40；（6t10）；（4）当0t6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，即BP4，2t4，解得t2s；当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，PEDE5，PCPECE2，82t2，解得t3s；当点P在CD上，如图，过点P作PHDE于点H，点P到DE、BE边的距离相等，即PCPH，PC2t8，PDDCPC122t，解得t综上所述：t2s或t3s或ts时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等