九年级中考数学第三轮压轴题：圆的综合 专题复习（含答案）.docx

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1、2021年中考数学第三轮压轴题：圆的综合 专题复习1、如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长2、如图，C是O上一点，点P在直径AB的延长线上，O的半径为3，PB=2，PC=4（1）求证：PC是O的切线（2）求tanCAB的值3、如图所示，O的半径为4，点A是O上一点，直线l过点A；P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl于点B，交O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点（1）求证：直线l是O的切线；（2）若PA=6，求PB的长4、已知BC是O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是O的弦

2、，AEC=30（1）求证：直线AD是O的切线；（2）若AEBC，垂足为M，O的半径为4，求AE的长5、如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与O的交点，点D是MB与O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=（1）求证：PD是O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值6、如图，PA与O相切于点A，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点B连接PB，AO，并延长AO交O于点D，与PB的延长线交于点E（1）求证：PB是O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值7、如图，AB为O的直径，C为O上一点，ABC的平分线交O于点D，DEBC于点E（1）试判断DE与O的位置关系

3、，并说明理由；（2）过点D作DFAB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积8、如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CEAB，与过点A的切线相交于点E，连接AD（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长9、如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FGAC于点F，交AB的延长线于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若tanC=2，求的值10、如图，以AB为直径的O外接于ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AEB

4、D）的长是一元二次方程x25x+6=0的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由11、如图，P是O外的一点，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC（1）求证：ACPO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若O的半径为3，CQ=2，求的值12、如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tanAOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线lOB交数轴于点Q，设Q在数轴上

5、对应的数为x，连接OP（1）若优弧上一段的长为13，求AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值13、已知：O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分EDF（1）如图1，求证：CBE=DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HKBN交DE于点K，过点E作EPBN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交

6、O于点R，连接BR，若BER的面积与DHK的面积的差为，求线段BR的长14、如图1，直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和tanBAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值参考答案2021年中考数学第三轮压轴题：圆的综合 专题复习1、如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3

7、，求CD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切线，OD是O的半径，ODB+BDC=90AB是O的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=22、如图，C是O上一点，点P在直径AB的延长线上，O的半径为3，PB=2，PC=4（1）求证：PC是O的切线（2）求tanCAB的值【解答】解：（1）如图，连接OC、BCO的半径为3，PB=2OC=OB=3，OP=OB+PB=5PC=4OC2+PC2=OP2OCP是直角三角形，OCPCPC是O的切线（2）AB是直径

8、ACB=90ACO+OCB=90OCPCBCP+OCB=90BCP=ACOOA=OCA=ACOA=BCP在PBC和PCA中：BCP=A，P=PPBCPCA，tanCAB=3、如图所示，O的半径为4，点A是O上一点，直线l过点A；P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl于点B，交O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点（1）求证：直线l是O的切线；（2）若PA=6，求PB的长【解答】（1）证明：连接DE，OAPD是直径，DEP=90，PBFB，DEP=FBP，DEBF，=，OADE，OABF，直线l是O的切线（2）解：作OHPA于HOA=OP，OHPA，AH=PH=3，OA

9、PB，OAH=APB，AHO=ABP=90，AOHPAB，=，=，PB=4、已知BC是O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是O的弦，AEC=30（1）求证：直线AD是O的切线；（2）若AEBC，垂足为M，O的半径为4，求AE的长【解答】解：（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点A在O上，直线AD是O的切线；（2）连接OA，AEC=30，AOC=60，BCAE于M，AE=2AM，OMA=90，在RtAOM中，AM=OAsinA

10、OM=4sin60=2，AE=2AM=45、如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与O的交点，点D是MB与O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=（1）求证：PD是O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD=，A=A，ADMAPO，ADM=APO，MDPO，1=4，2=3，OD=OM，3=4，1=2，OP=OP，OD=OC，ODPOCP，ODP=OCP，BCAC，OCP=90，ODAP，PD是O的切线（2）连接CD由（1）可知：PC=PD，AM=MC，AM=2MO=2R，在RtAOD中，OD2+AD2=OA2，R2+122=9

11、R2，R=3，OD=3，MC=6，=，DP=6，O是MC的中点，=，点P是BC的中点，BP=CP=DP=6，MC是O的直径，BDC=CDM=90，在RtBCM中，BC=2DP=12，MC=6，BM=6，BCMCDM，=，即=，MD=2，=6、如图，PA与O相切于点A，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点B连接PB，AO，并延长AO交O于点D，与PB的延长线交于点E（1）求证：PB是O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值【解答】（1）证明：连接OBPOAB，AC=BC，PA=PB在PAO和PBO中PAO和PBOOBP=OAP=90PB是O的切线（2）连接BD，则BDPO，且BD=2

12、OC=6在RtACO中，OC=3，AC=4AO=5在RtACO与RtPAO中，APO=APO，PAO=ACO=90ACOPAO=PO=，PA=PB=PA=在EPO与EBD中，BDPOEPOEBD=，解得EB=，PE=，sinE=7、如图，AB为O的直径，C为O上一点，ABC的平分线交O于点D，DEBC于点E（1）试判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DFAB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积【解答】解：（1）DE与O相切，理由：连接DO，DO=BO，ODB=OBD，ABC的平分线交O于点D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB=EDO=90，

13、DE与O相切；（2）ABC的平分线交O于点D，DEBE，DFAB，DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF=，DBA=30，DOF=60，sin60=，DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：3=28、如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CEAB，与过点A的切线相交于点E，连接AD（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长【解答】（1）证明：AE与O相切，AB是O的直径，BAE=90，ADB=90，CEAB，E=90，E=ADB，在ABC中，AB=BC，BAC=BCA，BAC+EAC=90，ACE+EAC=90，BA

14、C=ACE，BCA=ACE，又AC=AC，ADCAEC（AAS），AD=AE；（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，则BD=（6y），AEC和ADB为直角三角形，AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6y）代入，解得：x=，y=，即AE的长为9、如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FGAC于点F，交AB的延长线于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若tanC=2，求的值【解答】（1）证明：连接AD、ODAB是直径，ADB=90，即ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB

15、，ODAC，DFAC，ODDF，FG是O的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，设BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：410、如图，以AB为直径的O外接于ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程x25x+6=0的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说

16、明理由【解答】解：（1）DP平分APB，APE=BPD，AP与O相切，BAP=BAC+EAP=90，AB是O的直径，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）过点D作DFPB于点F，作DGAC于点G，DP平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于AE，BD（AEBD）的长是x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四边形ADFE是平行四边形，AD=AE，四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，cosBAC=c

17、osAPC=，sinBAC=，DG=，在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DGAE=2=11、如图，P是O外的一点，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC（1）求证：ACPO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若O的半径为3，CQ=2，求的值（1）证明：PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，PA=PB，且PO平分BPA，POABBC是直径，CAB=90，ACAB，ACPO；（2）解：连结OA、DF，如图， PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，OAQ=PBQ=90在RtOAQ中，OA=O

18、C=3，OQ=5由QA2+OA2=OQ2，得QA=4在RtPBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，PA=PB=6OPAB，BF=AF=AB又D为PB的中点，DFAP，DF=PA=3，DFEQEA， =，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t， =12、如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tanAOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线lOB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP（1）若优弧上一段

19、的长为13，求AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值【解答】解：（1）如图1中，由=13，解得n=90，POQ=90，PQOB，PQO=BOQ，tanPQO=tanQOB=，OQ=，x=（2）如图当直线PQ与O相切时时，x的值最小在RtOPQ中，OQ=OP=32.5，此时x的值为32.5（3）分三种情况：如图2中，作OHPQ于H，设OH=4k，QH=3k在RtOPH中，OP2=OH2+PH2，262=（4k）2+（12.53k）2，整理得：k23k20.79=0，解得k=6.3或3.3（舍弃），OQ=5k

20、=31.5此时x的值为31.5如图3中，作OHPQ交PQ的延长线于H设OH=4k，QH=3k在Rt在RtOPH中，OP2=OH2+PH2，262=（4k）2+（12.5+3k）2，整理得：k2+3k20.79=0，解得k=6.3（舍弃）或3.3，OQ=5k=16.5，此时x的值为16.5如图4中，作OHPQ于H，设OH=4k，AH=3k在RtOPH中，OP2=OH2+PH2，262=（4k）2+（12.53k）2，整理得：k23k20.79=0，解得k=6.3或3.3（舍弃），OQ=5k=31.5不合题意舍弃此时x的值为31.5综上所述，满足条件的x的值为16.5或31.5或31.513、已知

21、：O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分EDF（1）如图1，求证：CBE=DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HKBN交DE于点K，过点E作EPBN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交O于点R，连接BR，若BER的面积与DHK的面积的差为，求线段BR的长【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD是正方形，A=ABC=90，F=A=90，F=ABC，DA平分EDF，ADE=A

22、DF，ABE=ADE，ABE=ADF，CBE=ABC+ABE，DHG=F+ADF，CBE=DHG；（2）如图2，过H作HMKD，垂足为点M，F=90，HFFD，DA平分EDF，HM=FH，FH=BP，HN=BP，KHBN，DKH=DLN，ELP=DLN，DKH=ELP，BED=A=90，BEP+LEP=90，EPBN，BPE=EPL=90，LEP+ELP=90，BEP=ELP=DKH，HMKD，KMH=BPE=90，BEPHKM，BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，3HF=2DF，BP=FH，设HF=2a，DF=3a，BP=FH=2a，由（2）得：HM=BP，HMD=90，F=A=90，t

23、anHDM=tanFDH，=，DM=3a，四边形ABCD为正方形，AB=AD，ABD=ADB=45，ABF=ADF=ADE，DBF=45ABF，BDE=45ADE，DBF=BDE，BED=F，BD=BD，BEDDFB，BE=FD=3a，过H作HSBD，垂足为S，tanABH=tanADE=，设AB=3m，AH=2m，BD=AB=6m，DH=ADAH=m，sinADB=，HS=m，DS=m，BS=BDDS=5m，tanBDE=tanDBF=，BDE=BRE，tanBRE=，BP=FH=2a，RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：BEP=HKD，BETHKD，BTE=KDH，

24、tanBTE=tanKDH，=，即PT=3a，TR=RPPT=7a，SBERSDHK=，BPERHMDK=，BP（ERDK）=BP（ERET）=，2a7a=，解得：a=（负值舍去），BP=1，PR=5，则BR=14、如图1，直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和tanBAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值【解答】解：直线l：y=

25、x+b与x轴交于点A（4，0），4+b=0，b=3，直线l的函数表达式y=x+3，B（0，3），OA=4，OB=3，在RtAOB中，tanBAO=；（2）如图2，连接DF，CE=EF，CDE=FDE，CDF=2CDE，OAE=2CDE，OAE=ODF，四边形CEFD是O的圆内接四边形，OEC=ODF，OEC=OAE，COE=EOA，COEEOA，过点EOA于M，由知，tanOAB=，设EM=3m，则AM=4m，OM=44m，AE=5m，E（44m，3m），AC=5m，OC=45m，由知，COEEOA，OE2=OAOC=4（45m）=1620m，E（44m，3m），（44m）2+9m2=25m232m+16，25m232m+16=1620m，m=0（舍）或m=，44m=，3m=，（，），（3）如图，设O的半径为r，过点O作OGAB于G，A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，ABOG=OAOB，OG=，AG=，EG=AGAE=r，连接FH，EH是O直径，EH=2r，EFH=90=EGO，OEG=HEF，OEGHEF，OEEF=HEEG=2r（r）=2（r）2+，r=时，OEEF最大值为