九年级中考数学第三轮压轴题：四边形的综合 专题复习（含答案）.docx

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1、2021年中考数学第三轮压轴题：四边形的综合 专题复习1、如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tanDCB=3，求菱形AEBD的面积2、如图，在RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN(1)求证：RtABMRtAND；(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=14AD，求tanABM的值3、如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQDB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ（1）求证：APDBQC；（2）若ABP+BQC=1

2、80，求证：四边形ABQP为菱形4、如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形ABCD，使点B的对应点B落在AC上，BC交AD于点E，在BC上取点F，使BF=AB（1）求证：AE=CE（2）求FBB的度数（3）已知AB=2，求BF的长5、如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积6、已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且ACBD，作BFCD，垂足为点F，BF与AC交于点C，BGE=

3、ADE（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于ADE面积的2倍7、如图，在ABC中，ACB=90，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CEAB交DO的延长线于点E，连接AE（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tanBAC=，求BC的长8、如图，ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当BCD=90时，求证：BD=BF9、如图（1），已知点G在正方形AB

4、CD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H若AG=6，GH=2，则BC=10、已知，如图1，在ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F（1）求证：ADEBFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接

5、HC，过点A作AKHC，交DF于点K求证：HC=2AK；当点G是边BC中点时，恰有HD=nHK（n为正整数），求n的值11、问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tanCPN的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MNEC，则DNM=CPN，连接DM，那么CPN就变换到RtDMN中问题解决（1）直接写出图1中tanCPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cosCP

6、N的值；思维拓展（3）如图3，ABBC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求CPN的度数12、在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F（1）如图1，将PDF沿对角线BD翻折得到QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB如图3，若点P是CD的中点，DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时ta

7、nDBF的值，如果不能，请说明理由13、已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长14、综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质

8、和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，BC和AD相交于点E，连接BD解决向题（1）在图1中，BD和AC的位置关系为；将AEC剪下后展开，得到的图形是；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（ABBC），如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴

9、对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用（4）在图2中，若B=30，AB=4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为15、在矩形中，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.(1)如图1，若点是的中点，求证:；(2) 如图2，求证: ；当，且时，求的值；当时，求的值.参考答案1、如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tanDCB=3，求菱形AEBD的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平

10、行四边形，ADCE，DAF=EBF，AFD=EFB，AF=FB，AFDBFE，AD=EB，ADEB，四边形AEBD是平行四边形，BD=AD，四边形AEBD是菱形（2）解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=，ABCD，ABE=DCB，tanABE=tanDCB=3，四边形AEBD是菱形，ABDE，AF=FB，EF=DF，tanABE=3，BF=，EF=，DE=3，S菱形AEBD=ABDE=3=152、如图，在RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN(1)求证：RtABMRtAND；(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=14AD，求tanABM的值【答案】解

11、：(1)AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND(HL)(2)由RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDND/AMDNTAMTAMDN=DTATAT=14AD，AMDN=13RtABMtanABM=AMBM=AMDN=133、如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQDB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ（1）求证：APDBQC；（2）若ABP+BQC=180，求证：四边形ABQP为菱形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC，ADB=DBC，CQD

12、B，BCQ=DBC，DP=CQ，ADPBCQ（2）证明：CQDB，且CQ=DP，四边形CQPD是平行四边形，CD=PQ，CDPQ，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，AB=PQ，ABPQ，四边形ABQP是平行四边形，ADPBCQ，APD=BQC，APD+APB=180，ABP=APB，AB=AP，四边形ABQP是菱形4、如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形ABCD，使点B的对应点B落在AC上，BC交AD于点E，在BC上取点F，使BF=AB（1）求证：AE=CE（2）求FBB的度数（3）已知AB=2，求BF的长【解答】（1）证明：在RtABC中，AC

13、=2AB，ACB=ACB=30，BAC=60，由旋转可得：AB=AB，BAC=BAC=60，EAC=ACB=30，AE=CE；（2）解：由（1）得到ABB为等边三角形，ABB=60，FBB=150；（3）解：由AB=2，得到BB=BF=2，BBF=15，过B作BHBF，在RtBBH中，cos15=，即BH=2=，则BF=2BH=+5、如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积【解答】（1）证明：在ABC中，ACB=90，CA

14、B=30，ABC=60在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60E为AB的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=ABCE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC四边形BCFD是平行四边形（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AB=3，AC=BC=3，S平行四边形BCFD=3=96、已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且ACBD，作BFCD，垂足为点F，BF与A

15、C交于点C，BGE=ADE（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于ADE面积的2倍【解答】解：（1）BGE=ADE，BGE=CGF，ADE=CGF，ACBD、BFCD，ADE+DAE=CGF+GCF，DAE=GCF，AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，SADE=AEDE=2aa=a2，BH是ABE的中线，AH=HE=a，AD=CD、ACBD，CE=AE=2a，则SADC=ACDE=（2a+2a）a=2a2=2SADE；在AD

16、E和BGE中，ADEBGE（ASA），BE=AE=2a，SABE=AEBE=（2a）2a=2a2，SACE=CEBE=（2a）2a=2a2，SBHG=HGBE=（a+a）2a=2a2，综上，面积等于ADE面积的2倍的三角形有ACD、ABE、BCE、BHG7、如图，在ABC中，ACB=90，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CEAB交DO的延长线于点E，连接AE（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tanBAC=，求BC的长【解答】（1）证明：点O是AC中点，OA=OC，CEAB，DAO=ECO，在AOD和COE中，AODCOE（ASA），AD=CE，CEA

17、B，四边形AECD是平行四边形，又CD是RtABC斜边AB上的中线，CD=AD，四边形AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，ACED，在RtAOD中，tanDAO=，设OD=3x，OA=4x，则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：，解得：x=1，OD=3，O，D分别是AC，AB的中点，OD是ABC的中位线，BC=2OD=68、如图，ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当BCD=90时，求证：BD=BF【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDF，BAE=CFEAE=EF，AEB

18、=CEF，AEBFEC，AB=CF（2）连接AC四边形ABCD是平行四边形，BCD=90，四边形ABCD是矩形，BD=AC，AB=CF，ABCF，四边形ACFB是平行四边形，BF=AC，BD=BF9、如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点

19、H若AG=6，GH=2，则BC=3【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD，CEG=CFG=ECF=90，四边形CEGF是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC，四边形CEGF是正方形；由知四边形CEGF是正方形，CEG=B=90，ECG=45，=，GEAB，=，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知BCE=ACG=，在RtCEG和RtCBA中，=cos45=、=cos45=，=，ACGBCE，=，线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）CEF=45，点B、E、F三点共线，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=C

20、AH=45，CHA=AHG，AHGCHA，=，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由=得=，AH=a，则DH=ADAH=a，CH=a，=得=，解得：a=3，即BC=3，故答案为：310、已知，如图1，在ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F（1）求证：ADEBFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AKHC，交DF于点K求证：HC=2AK；当点G是边BC中点时，恰有HD=nHK（n为正整数），求n的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADE=BFE，A=FBE，在ADE和BF

21、E中，ADEBFE；（2）如图2，作BNHC交EF于N，ADEBFE，BF=AD=BC，BN=HC，由（1）的方法可知，AEKBFN，AK=BN，HC=2AK；（3）如图3，作GMDF交HC于M，点G是边BC中点，CG=CF，GMDF，CMGCHF，=，ADFC，AHDGHF，=，=，AKHC，GMDF，AHKHGM，=，=，即HD=4HK，n=411、问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tanCPN的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等

22、方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MNEC，则DNM=CPN，连接DM，那么CPN就变换到RtDMN中问题解决（1）直接写出图1中tanCPN的值为2；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cosCPN的值；思维拓展（3）如图3，ABBC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求CPN的度数【解答】解：（1）如图1中，ECMN，CPN=DNM，tanCPN=tanDNM，DMN=90，tanCPN=tanDNM=2，故答案为2（2）如图2中，取格点D，连接CD，DMCDAN，CP

23、N=DCM，DCM是等腰直角三角形，DCM=D=45，cosCPN=cosDCM=（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MNPCMN，CPN=ANM，AM=MN，AMN=90，ANM=MAN=45，CPN=4512、在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F（1）如图1，将PDF沿对角线BD翻折得到QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB如图3，若点P是CD的中点，DFB能

24、否为直角三角形？如果能，试求出此时tanDBF的值，如果不能，请说明理由【解答】解：（1）由翻折可知：DFP=DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形，（2）若0BDC，即DF在BDC的内部时，PDF=PDF，PDFFDC=PDFFDC，PDC=FDB，由旋转的性质可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCB，DPCDFB当FDB=90时，如图所示，DF=DF=BD，=，tanDBF=，当DBF=90，此时DF是斜边，即DFDB，不符合题意，当DFB=90时，如图所示，DF=DF=BD，DBF=30，tanDBF=13、已知正方形ABCD与正方形CEFG

25、，M是AF的中点，连接DM，EM（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长【解答】解：（1）结论：DMEM，DM=EM理由：如图1中，延长EM交AD于H四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，ADE=DEF=90，AD=CD，ADEF，MAH=MFE，AM=MF，AMH=FME，AMHFME，MH=ME，AH=

26、EF=EC，DH=DE，EDH=90，DMEM，DM=ME（2）如图2中，结论不变DMEM，DM=EM理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，ADE=DEF=90，AD=CD，ADEF，MAH=MFE，AM=MF，AMH=FME，AMHFME，MH=ME，AH=EF=EC，DH=DE，EDH=90，DMEM，DM=ME（3）如图3中，作MRDE于R在RtCDE中，DE=12，DM=NE，DMME，MR=DE，MR=DE=6，DR=RE=6，在RtFMR中，FM=如图4中，作MRDE于R在RtMRF中，FM=，故满足条件的MF的值为或、14、综合

27、与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，BC和AD相交于点E，连接BD解决向题（1）在图1中，BD和AC的位置关系为平行；将AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；（2）若图1中的矩形变为

28、平行四边形时（ABBC），如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；拓展应用（4）在图2中，若B=30，AB=4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12【解答】解：（1）BDAC将AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为BDAC，菱形；（2）选择证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAC=ACB，将ABC沿AC翻折至ABC，ACB=ACB，DAC=ACB，AE=C

29、E，AEC是等腰三角形；将AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，将AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形选择证明如下，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，将ABC沿AC翻折至ABC，BC=BC，BC=AD，BE=DE，CBD=ADB，AEC=BED，ACB=CADADB=DAC，BDAC（3）当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；ABD+ADB=90，y30+y=90，当矩形的长宽之比为：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；（4）AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形

30、ACBD是等腰梯形，B=30，ABC=CDA=30，ABD是直角三角形，当BAD=90，ABBC时，如图3中，设ADB=CBD=y，ABD=y30，解得y=60，ABD=y30=30，AB=AB=4，AD=4=4，BC=4，当ADB=90，ABBC时，如图4，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形ACBD是等腰梯形，ADB=90，四边形ACBD是矩形，ACB=90，ACB=90，B=30，AB=4，BC=AB=4=6；当BAD=90，ABBC时，如图5，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，BAD=90，B=30，AB=4，ABC=30，AE=4，BE=2AE=8，AE=

31、EC=4，CB=12，当ABD=90时，如图6，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形ACDB是等腰梯形，ABD=90，四边形ACDB是矩形，BAC=90，B=30，AB=4，BC=AB=8；已知当BC的长为4或6或8或12时，ABD是直角三角形故答案为：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；15、在矩形中，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.(1)如图1，若点是的中点，求证:；(2) 如图2，求证: ；当，且时，求的值；当时，求的值.(1)证明：在矩形中，,如图1，又，图1,(2)如图2，图2在矩形中，,沿折叠得到,当时，,又,设，则，解得，,由折叠得，,设， 则在中，,若,解法一：连接，（如图3）,四边形是平行四边形,平行四边形是菱形,解法二：如图2，,又,由得,解法三：（如图4）过点作，垂足为图434