中考数学专题复习 第1讲-特殊三角形存在性问题 .docx

《中考数学专题复习 第1讲-特殊三角形存在性问题 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题复习 第1讲-特殊三角形存在性问题 .docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、特殊三角形存在性问题第1讲Section 1 等腰三角形存在性问题知识总结【引例】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），求x轴上一点C使得ABC是等腰三角形【几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB注意：若有重合的情况，则需排除以点为例，具体求点坐标：过点A作AHx轴交x轴于点H，则AH=1，又，故点坐标为类似可求点、关于点考虑另一种方法【代数法】点-线-方程表示点：设点

2、坐标为，又A（1,1）、B（4,3），表示线段： 联立方程：，解得：，故点坐标为经典例题【例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由 【例2】如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点（1）求这个二次函数的表达式；（2）若是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标【例3】如图，直线与轴交于点，与轴交于

3、点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动（点不与点和点重合），设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接交于点，当是等腰三角形时，直接写出的值 Section 2 直角三角形存在性问题知识总结【引例】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得ABC是直角三角形，求点C坐标【几何法】“两线一圆” （1）若A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若C为直角，以AB为直径作圆，与x

4、轴的交点即为所求点C（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以为例：构造三垂直求法相同，如下：【代数法】点-线-方程不妨来求下：（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：，；（3）分类讨论：当为直角时，；（4）代入得方程：，解得：经典例题【例4】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【例5】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛

5、物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标【思】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【例1】（1）；（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，ADE面积

6、最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点AE=，又AH=3，故、当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，故、当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点设，解得：m=1故综上所述，P点坐标为、【例2】（1）；（2）当PM=PC时，（特殊角分析）考虑PMC=45，PCM=45，即PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）；当MP=MC时，（表示线段列方程）设P点坐标为，则M点坐标为，故线段故点M作y轴的

7、垂线，垂足记为N，则MN=m，考虑MCN是等腰直角三角形，故，解得或0（舍），故P点坐标为综上所述，P点坐标为（2，-3）或【例3】（1）；（2）考虑到DPM=45，当DP=DM时，即DMP=45，直线AM：y=x+1，联立方程：，解得：，（舍）此时t=1当PD=PM时，PMD=PDM=67.5，MAB=22.5，考虑tan22.5=，直线AM：，联立方程：解得：，（舍）此时t=综上所述，t的值为1或【例4】（1）；（2）连接AC，将四边形面积拆为APC和ADC面积，考虑ADC面积为定值，故只需APC面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N作NEx轴交x轴于E点，如图1，过点M向NE作垂线交EN

8、延长线于F点，易证OENNFM，可得：NE=FM设N点坐标为，则，解得：（图1），（图4）对应N点坐标分别为、；，解得：（图2）、（图3）对应N点坐标分别为、当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况【例5】（1）直线BC：抛物线：；（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点 P：以为例，构造PNBBMC，考虑到BM

9、=MC=3，BN=PN=2，故点坐标为（-1，-2）易求坐标为（1,4）、求法类似，下求：已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由图可知：b-a=3，故可解：，（舍），对应坐标为类似可求坐标为【思】（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，有如下两种情况，先求过A点所作垂线得到的点P：设P点坐标为，则PM=m+1，AM=，易证PMAANC，且AN=3，CN=1，解得：，（舍），故第1个P点坐标为；再求过点C所作垂线得到的点P：，CN=m，解得：，（舍），故第2个P点坐标为综上所述，P点坐标为或