高一数学必修第二册 解答题专项训练（解析版）.docx

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1、2020-2021学年度第二学期高一数学必修第二册 解答题专项训练题组A1.已知复数（是虚数单位）（1）复数是实数，求实数的值；（2）复数是虚数，求实数的取值范围；（3）复数是纯虚数，求实数的值.【答案】（1）；（2）且；（3）或.【解析】（1）复数是实数，则，解得；（2）复数是虚数，则，解得且；（3）复数是纯虚数，则，解得或2. 设是两个单位向量夹角为，若，（1）求；（2）求；（3）求与夹角；（4）求在的投影向量.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】由已知得，.（1）展开可得答案； （2）再展开可得答案；.（3）展开可得答案；（4）由（3）得，在的投影为可得答案.【解析】由已知得，

2、.（1）. （2）.（3），由（1）（2）得，因为两个向量的夹角的范围在，所以与夹角为.（4）由（3）得，在的投影向量为3.在中，角所对的边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】（1）解：在中，由余弦定理及，有.又因为，所以.（2）解：在中，由正弦定理及，可得.（3）解：由及，可得，进而.所以，.4. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kWh至350kWh之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示（I）求a的值；（）求被调查用户中，用电量大于250kWh的户数

3、；（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kWh）的建议，并简要说明理由【答案】（I）；（）；（III） kWh.【解析】（1）因为，所以；（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kWh”的频率为，所以用电量大于250kWh的户数为：，故用电量大于250kWh有户；（3）因为前三组的频率和为：，前四组的频率之和为，所以频率为时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：kWh.故第一档用电标准为 kWh.5. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人

4、就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.【解析】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：， ， 所以总基本事件个

5、数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以 .6.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.【答案】（）见解析（2）见解析（3）存在，且为中点【解析】（）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以

6、且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.题组B1.已知复数(i为虚数单位).（1）求复数z的模；（2）求复数z的共轭复数；（3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出，由此能求出实数m的值.【解析】（1）因为复数；故；（2）；（3）z是关于x的方程一个虚根，故；因为m为实数，所以.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题2. 已知是同一平面内的三个向量,其中.(1)若,且,求的坐标;（2）若,且与垂

7、直，求与的夹角.【答案】（1）或.（2）.【解析】（1）设.由和，可得，解得或,故或.（2）,，即,整理得,.又.3. 已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足,.（1）求；（2）若的周长为，求的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）因为,所以.（2）因为，所以.由余弦定理得，则.因为的周长为，所以，解得所以的面积为.4. 某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？（

8、4）在第（3）问抽取的样本中，从这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？【答案】(1) x=0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）.【解析】(1)根据频率和为1，得2(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，解得x=0.075；由图可知,最高矩形的数据组为6,8)，所以众数为；(2) 2,6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11)2=0.45；设中位数为y，则0.45+(y6)0.125=0.5，解得y=6.4，中位数为6.4；平均数为(3)月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为，月

9、平均用电量在的用户中应抽取11=2(户).（4）月平均用电量在的用户中应抽取11=1(户)，月平均用电量在的用户设为A、B, 月平均用电量在的用户设为C，从，这两组中随机抽取2户共有 ，3种情况，其中，抽取的两户不是来自同一个组的有，2种情况，所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为.5. 若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D).【答案】(1) P(A).(2) P(B).(3) P(C).(4)P(D).【解析】将5张奖券编号为1，2，3，4，5，其

10、中4，5为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽到号码x，乙抽到号码y，则可能的结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20种.(1)甲中奖包含8个样本点，P(A).(2)甲、乙都中奖包含2个样本点，P(B).(3)只有乙中奖包含6个样本点，P(C).(4)乙中奖包含8个样本点，P(D).6.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD,，.（1）设G,H分别为PB,A

11、C的中点，求证：平面PAD；（2）求证：平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）（2）见解析（3）.【解析】（1）如图，连接BD，易知，.又，故.又平面PAD,平面PAD，所以平面PAD.（2）如图，取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得.又平面平面PCD，平面平面，所以平面PAC.又平面PAC，故.又，所以平面PCD.（3）如图，连接AN.由（2）中平面PAC，可知为直线AD与平面PAC所成的角.因为为等边三角形，且N为PC的中点，所以.又，在中，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.题组C1.实数m分别取什么数值时？复数(1)与复数相等；(2)与复数互为共

12、轭；(3)对应的点在x轴上方【答案】(1) .(2) .(3) 或.【解析】 (1)根据复数相等的充要条件得.解之，得.(2)根据共轭复数的定义得.解之，得.(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得，解之，得或.2. 已知是同一平面的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角的余弦值为，且，求【答案】（1）或；（2）3. 中，内角的对边分别为，.（1）求角的值；（2）若，求【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理得： （2）得 又由得，即即 4.为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率

13、分布直方图，根据直方图所提供的信息：（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由【答案】（1）9；（2）8.75；（3）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.【分析】（1）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（2）首先估算学习时间在分位数所在的区间，再根据公式计算结果；（3）根据样本的代表性作出判断.【解析】（1）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为 则名学生中周末的学习时间

14、不少于20小时的人数为 （2）学习时间在小时以下的频率为，学习时间在小时以下的频率为，所以分位数在，则这名同学周末学习时间的分位数为（3）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性5.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：“星队”至少猜对3个成语的概率【答案】【解析】记事件A，“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”，由题意，由事件的独立性与互斥性，得，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为6.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，点，分别是，的中点，求证：（1）直线平面；（2）平面平面 【解析】证明：（1）取中点，连接，在中，分别为，中点，则，且，又四边形为矩形，为中点，且，且，故四边形为平行四边形，从而，又面，面，直线面（2）矩形，又平面面，面面，面，面，又面，则，又，面，又面，平面平面 16 / 16