2.1.1 等式的性质与方程的解集 教案 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.docx

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1、2.1.1 等式的性质与方程的解集 教案教学课时：1课时教学目标：1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养.教学重点：从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.教学难点：熟练使用“十字相乘法”分解因式.教学过程：一、复习回顾：【学生活动1】1.自己阅读书P42 本章导语；2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.【设计意图】使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识

2、的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：（1） 勾股定理：c2=a2+b2；（2） 费马大定理：xn+yn=zn(n2，且n为整数）没有正整数解；（3） 三角形两边之和大于第三边：a+cb，a+bc，b+ca；（4） 任何实数的平方非负：x20.【学生活动2】3.回忆初中学习过哪些等式的性质；4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；5.与同伴进行交流.【设计意图】回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.二、讲授新课：（一）等式的性质：文学语言符号语言对称性等式的左右两边

3、交换位置，所得结果仍然是一个等式如果a=b，那么b=a传递性和同一个等式相等的两个等式也相等(等量代换)如果a=b，b=c那么a=c四则运算性质等式两边同时加上(或减去）同一个数或代数式，等式仍成立如果a=b，那么c，ac=bc等式两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立如果a=b，那么c0，a*c=b*c等式两边同时除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立如果a=b，那么c0 ，ac=bc【学生活动3】6.回答书中P43 “尝试与发现”中的问题；7.与同伴交流分类的标准.【设计意图】分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.（二）恒等式含有

4、字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.1、 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2、 两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2【学生活动4】8.计算：(a-b)2和(a+b+c)2；9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与(a+b)2=a2+2ab+b2的关系是什么？10.用发现的结论继续完成下面的计算：（1）(a-b+c)2；（2）(a-b-c)2；（3）(a+b-c)2【设计意图】借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2

5、中，用-b替换b，有：(a-b)2=a2-2ab+b2用b+c替换b：(a-b+c)2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即(2x +1)2-(x-1)2= 4x2+4x+1-(x2-2x +1)=3x2+6x .(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即(2x +1)2-(x-1)2=(2x+1)+(x-1)(2x+1)-(x-1)= 3x(x + 2) = 3x2 +6x .【设计意图】引导学生对比两

6、种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养.例2 （1）计算：(x-6)(x+1)（2）分解因式：x2+5x+6【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.【练习1】（1）计算：(x-2)(x-3)（2） 分解因式：x2+5x-6答案:例2(1)x2-5x-6; (2）(x+2)(x+3)练习1(1)x2-5x+6;(2）(x6)(x-1)（三）方程的解集使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.例3 求方程x2+5x+6=0的解集.解：因为x2+5x+6=(x+2)(x+3)所以原方程可以化为(x

7、2)x3)=0，从而可知x+2=0或x3=0，即x= -2或x =-3，因此方程的解集为-2,-3【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.【练习2】求下列方程的解集：(1)x2-5x+6=0; (2) x2 -x-12=0; (3）x2-2x+1=0答案:（1）2,3 (2)4,-3 （3）1【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习.例4 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.解：当a0时,在等式ax = 2两边同时乘以1a，得x =2a，此时解集为2a。当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为.综上，当a0时，解集为2a，;当a=0时，解集为.【设计意图】此题可根据学生情况选做；熟悉分类讨论的方法；学会无解的表达为空集.三、归纳总结：1.等式的性质2.恒等式3.十字相乘法分解因式4.方程的解集