椭圆 测试卷-高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、2.1椭圆 测试卷一、单选题1设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（）ABCD2已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（）A2B2CD43已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（）ABCD4已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）ABCD5若m，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6若椭圆和椭圆的焦点相同且给出如下四个结论：椭圆与椭圆一定没有公共点；其中所有正确结论的序号是（）ABCD7在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”

2、节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角为某一范围内变动，则该双曲线的离心率取值范围是（）ABCD8已知椭圆）的焦点为，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（）ABCD二、多选题9已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（）ABCD10设P是椭圆上的动点，则（）A点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C点P到左焦点距离的最大值为D点P到左焦点距离的最大值为11如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑（轮廓为椭圆），若光线与水平地面

3、所成的角为，则下列是说法正确的是（）A椭圆的离心率B椭圆的离心率C椭圆的离心率随的增大而减小D椭圆的离心率随的增大而增大12椭圆离心率为称为“黄金椭圆”.如图，分别为左右顶点，为上下顶点，分别为左右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）ABC四边形的内切圆过焦点D轴，且三、填空题13我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.写出一个焦点在轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”的标准方程_.14椭圆的长轴长为_15已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则_.16如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，若点，分别为椭圆：（）的上下顶

4、点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为_.四、解答题17求以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（，）的椭圆的标准方程.18若直线与椭圆总有公共点，求实数m的取值范围19设椭圆的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若，求k的值20已知，分别是椭圆（，）的左右两个焦点，为椭圆上任意一点，(1)若，的最大值为12，求的值；(2)若，直线与椭圆相交于两个不同的点，且（为坐标原点），求椭圆的方程.21已知椭圆经过点和.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线

5、的距离为，求证：以为直径的圆经过点.22设椭圆：的左、右焦点分别为直线l若与椭圆只有一个公共点P，则称直线l为椭圆的切线，P为切点(1)若直线l：yx+2与椭圆相切，求椭圆的焦距；(2)求证：椭圆上切点为的切线方程为；(3)记到直线l的距离为，到直线l的距离为，判断“”是“直线l与椭圆相切”的什么条件？请给出你的结论和理由参考答案1A【分析】利用椭圆的定义求出，然后在中利用余弦定理即可求解.【详解】由椭圆的定义可知：，因为，所以，在中，由余弦定理可得：，化简整理可得：，所以，故选：.2C【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.【详解】将椭圆化为标准

6、形式为 ，因为椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以，解得，故选：C3A【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解【详解】由题意知设，则，为椭圆上一点，即，即故选：A4C【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.【详解】令，可得；令，可得.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.因为，所以椭圆的焦点在轴上.设椭圆的方程为，则，所以椭圆的方程为.故选：C.5B【分析】由可得：，由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得：，然后根据充分、必要条件的概念即可判断.【详解】由可得：，又因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“方

7、程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：.6B【分析】对， 联立两椭圆方程求解即可判断；对，由可得，即可变形判断；对，即可变形判断；对，由，即可变形判断.【详解】对，联立两椭圆方程得，则，由两椭圆焦点相同得，又，即，方程无实数根，故椭圆与椭圆一定没有公共点，对；对，由得，则，错；对，由，对；对，由得，则，对.故选：B7C【分析】由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是，进而得到的范围，再根据离心率公式和的关系可求得范围.【详解】双曲线的渐近线为，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是，即，故选：C8B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定

8、理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，又，则，由余弦定理知：，所以，而，因为的内切圆的半径，故，所以，则，由，即，所以，整理得且，所以，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B9BD【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，又，所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦在y轴上时，椭圆的标准方程为，故选：BD10AC【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项【详解】由题意得，由椭

9、圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；又，所以，即，到左焦点距离的最大值为， 故选：AC11BC【分析】可由题意做出平面图，利用投影关系，分别对应出椭圆的长轴和短轴，利用椭圆结合夹角即可做出判断.【详解】可根据题意做出平面图，如图所示，窗孔的圆心为，圆心在水平面的投影即椭圆的中心为，光线与水平面的交点为，光线与水平地面所成的角为，连接，过作的垂线交于交于，由题意可知，窗孔在平面内的投影椭圆，故为椭圆的长轴长，即，为椭圆的短轴长，即，所以，故，而，故椭圆的离心率，所以选项A错误，选项B正确；，因为在是单调递减的，所以椭圆的离心率随的增大而减小，故选项C正确，选项D错误

10、.故选：BC12BC【分析】根据各选项条件列出含有，的齐次方程，再根据离心率及得到含离心率的方程，解出各选项的离心率即可判断是否为“黄金椭圆”.【详解】对于A，根据题意得，因为，所以，即，又因为，所以，解得或(舍)，所以选项A不能使椭圆为“黄金椭圆”；对于B，根据题意得，因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得或(舍)，所以选项B能使椭圆为“黄金椭圆”；对于C，因为四边形的内切圆过焦点，所以利用对称的性质可得四边形的内切圆的圆心为半径为，记四边形的面积为，故四边形可分成四个全等的三角形根据面积相等法可得，因为，所以原式化简得，又因为，所以，解得或(舍)，又因为，所以，所以选项C能使椭圆为“黄金

11、椭圆”；对于D，轴，且，可得，因为轴，所以，代入中，解得(负值舍去)，所以，根据，得，解得，又因为，所以，所以选项D不能使椭圆为“黄金椭圆”.故选：BC.13（答案不唯一）【分析】由题可设，根据离心率结合条件即得.【详解】由题可设，令，由题可知，所以，所以“黄金椭圆”的标准方程可为.故答案为：.144【分析】根据椭圆方程转化为标准方程确定，即可得长轴长.【详解】解：椭圆，化为标准方程为，则，即所以椭圆的长轴长为.故答案为：4.15#【分析】由已知，根据题意画出示意图，分别设出点P、A，B坐标，并表示出直线、直线的斜率，根据已知的离心率得到，再根据，结合已知得到，然后利用正切和差公式可直接求解.

12、【详解】由已知，椭圆的左，右顶点分别为A，B，如图所示，椭圆C的离心率为，所以，设点在轴上方，点， 因为点在椭圆上，所以，所以为直线的倾斜角，为直线的倾斜角，则，而，所以，所以.故答案为：.164【分析】先由，判断出，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距.【详解】由题意得，设，.连接，由，可知，在以为直径的圆上，且，又原点为圆的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，所以，因为，所以，所以，当时，则0，若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，所以，所以，故圆的圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，所以，故椭圆

13、的焦距为.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，”的化简转化，由此得到，在以为直径的圆上以及该圆的方程.17.【分析】设椭圆方程，根据点在椭圆上列方程组求出椭圆参数，进而得到椭圆标准方程.【详解】令椭圆方程为，所以，可得，故椭圆的标准方程为.18【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围【详解】解：直线恒过点，由直线与椭圆恒有公共点，所以在椭圆上或椭圆内，又椭圆，且实数的取值范围是19(1)；(2).【分析】（1）由题意结合几何关系可求得，.则椭圆的方程为；（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程

14、为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，解出，或.经检验的值为.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得又，所以，所以，椭圆的方程为（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，点的坐标为因为，所以有，所以，即易知直线的方程为，由方程组消去y，可得由方程组消去，可得由，可得，两边平方，整理得，解得，或当时，由可得，不合题意，舍去；当时，由可得，.所以，.20(1)或(2)【分析】(1)由可得椭圆方程为：，结合焦点三角形面积的最大值得出，然后解方程组即可求解；(2)当，联立方程组，根据得到，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）由，则椭圆方程为：，由的最大值为12，则，即解得或所以

15、或.（2）若，联立方程组消去得设，则，解得：或由可知，所以，解得所以椭圆的方程为.21(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得所以，解得，进而可得椭圆的方程（2）联立直线与椭圆的方程可得关于的一元二次方程，设，由韦达定理得，由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离，解得，计算为0，即可得出结论【详解】（1）解：因为椭圆经过点，所以，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）证明：设,，,，由，可得，由题意，即，所以，因为原点到直线的距离为，所以，即，因为，所以因此以为直径的圆过原点22(1)；(2)证明见解析；(3)答案见解析.【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根

16、据题意可得，求得a2即可得解.（2）分和两种情况讨论，当时，判断方程组有两个相同实数解作答.（3）根据（2）分别求出，计算即可，再分和结合充分条件和必要条件的定义推理作答【详解】（1）由消去y并整理得，因为直线l：yx+2与椭圆相切，于是得，解得，令椭圆半焦距为c，有，所以椭圆的焦距.（2）当时，显然直线与椭圆相切，当时，由消去y并整理得：，又，则，即，因此，即直线l与椭圆只有一个公共点，直线l与椭圆相切，所以椭圆上切点为的切线方程为.（3）由（2）知，当直线l与椭圆相切时，令切点为，则l的切线方程为，而，则，反之，当时，直线l过原点时，令直线l方程为，若，则，因此当时，存在过原点的直线l，使得，显然此时直线l与椭圆不相切，当时，因，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，有，于是得或，显然不成立，因此，由消去x并整理得：，即，于是得，即方程组有两个相同的解，直线l与椭圆只有一个公共点，直线l与椭圆相切.所以当时，“”是“直线l与椭圆相切”的充要条件；当时，“”是“直线l与椭圆相切”的必要不充分条件.