《同济版高数》PPT课件.ppt

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1、 第五章第五章 定积分定积分 第一节第一节 定积分的概念定积分的概念 一、问题的提出一、问题的提出 二、定积分的定义二、定积分的定义 三、存在定理三、存在定理 四、几何意义四、几何意义 五、小结五、小结 思考题思考题abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形

2、面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3

3、）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想

4、和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第二节第二节 定积分的性质、中值定理定积分的性质、中值定理 一、基本内容一、基本内容 二、小结二、小结 思考题思考题对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容

5、证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5解解令令于是于是性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）证证说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函

6、数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大

7、小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5解解令令于是于是性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）证证说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解证证由闭

8、区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式 一、问题的提出一、问题的提出 二、积分上限函数

9、及其导数二、积分上限函数及其导数 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式发莱布尼茨公式发 四、小结四、小结 思考题思考题变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得补充补充证证例例1 1 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.证证证证令令定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定

10、理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿莱布尼茨公式令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 原式原式例例5 5 设设 ,求求 .解解解解例例6 6 求求 解解由图形可知由图形可知例例7 7 求求 解解解解 面积面积3.微积分基本公式微积分基本公式

11、1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第四节第四节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 一、换元公式一、换元公式 二、小结二、小结 思考题思考题定理定理一、换元公式证证应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）例例1 1 计算计算解解令令例例2 2 计算计算解解例例3 3 计算计算解解原式原式例例4 4 计算计算解解令令原式原式证证奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶

12、函数单位圆的面积单位圆的面积证证（1）设）设（2）设）设几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法二、小结思考题思考题解解 令令思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第五节第五节 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 一、分部积分公式一、分部积分公式 二、小结二、小结 思考题思考题定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导一、分部积分公式例例1 1 计算计算解解令令则则例例2 2 计算计算解解例例3 3 计算计算解解例例4 4 设设 求求解解例例5 5 证明

13、定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止于是于是定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第七节第七节 广义积分广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分三、小结三、小结 思考题思考题一、无穷限的广义积分例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解证证证证二、无界函数的广义积分定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解证证例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解故原广义积分发散故原广义积分发散.例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解瑕点瑕点无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）三、小结思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是练练 习习 题题练习题答案练习题答案