《向量基本定理》PPT课件.ppt

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1、平面向量基本定理 2.2 向量的分解及向量坐标表示火箭在升空的某一时刻，速度可以分解火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度成竖直向上和水平向前的两个分速度情景情景情景情景1 1 1 1在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体，可分解为使物体沿斜面下滑的力沿斜面下滑的力F1，和使物体垂直与斜面压，和使物体垂直与斜面压紧斜面的力紧斜面的力F2，情景情景情景情景2 2 2 2GF F1 1F F2 2如图，一盏电灯，可以由电线如图，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板吊在天花板

2、上，也可以由电线上，也可以由电线AO和绳和绳BO拉住，拉住，CO所受所受的拉力的拉力F应于电灯重力平衡，拉力应于电灯重力平衡，拉力F可以分解可以分解为为AO与与BO所受的拉力所受的拉力F1和和F2 情景情景情景情景3 3 3 3ae1e2ae1e2OCMNAB问题问题问题问题2 2 2 2平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？在同一平面内有两个不共线的向量在同一平面内有两个不共线的向量在同一平面内有两个不共线的向量在同一平面内有两个不

3、共线的向量e e1 1，e e2 2 ，给定向量，给定向量，给定向量，给定向量a a，那么向量那么向量那么向量那么向量a a，存在一对实数，存在一对实数，存在一对实数，存在一对实数 1 1，2 2，使，使，使，使结论结论结论结论问题问题问题问题1 1 给定一个向量给定一个向量给定一个向量给定一个向量a a是否可以分解成两个不共线方向上的是否可以分解成两个不共线方向上的是否可以分解成两个不共线方向上的是否可以分解成两个不共线方向上的 向量向量向量向量之和之和之和之和,即即即即a=a=1 1e e1 1+2 2e e2 2平面向量基本定理平面向量基本定理 如如如如果果果果e e1 1，e e2 2

4、是是是是同同同同一一一一平平平平面面面面内内内内两两两两个个个个不不不不共共共共线线线线的的的的向向向向量量量量,那那那那么么么么对对对对于于于于这这这这一一一一平平平平面面面面内内内内的的的的任任任任一一一一向向向向量量量量a a，有有有有且且且且只只只只有有有有一一一一对对对对实实实实数数数数 1 1，2 2，使，使，使，使 a a=1e e1+2e e2基底基底基底基底线性组合线性组合线性组合线性组合（1 1）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向叫做

5、表示这一平面内所有向量的一组基底（量的一组基底（量的一组基底（量的一组基底（basebase）（2 2）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底e e1 1，e e2 2表示成表示成表示成表示成a a=1 1e e1 1+2 2e e2 2的形的形的形的形式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解（3 3）当）当）当）当e e1 1，e e2 2互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；平面向量

6、基本定理的平面向量基本定理的拓展拓展 探究：探究：一组平面向量的基底有多少对？一组平面向量的基底有多少对？无数对无数对 探究：探究：若基底选择不同，则表示同一向量的若基底选择不同，则表示同一向量的实数实数是否相同？是否相同？可以不同可以不同,也可不也可不同同O OF FC CE EA AE EB BN NDCBAM例例1 1数学应用数学应用数学应用数学应用练习练习练习练习）已知向量）已知向量求作向量求作向量则下面的四组向量中不能作为一组基底的是则下面的四组向量中不能作为一组基底的是是平面内所有向量的一组基底，是平面内所有向量的一组基底，）若）若（B）数学应用数学应用2如图，已知梯形如图，已知梯

7、形ABCDABCD，AB/CDAB/CD，且，且AB=2DC,M,NAB=2DC,M,N分别是分别是DC,ABDC,AB的中点的中点.请大家动手请大家动手,在在图中确定一组基底，图中确定一组基底，将其他向量将其他向量用这组基底表示出来。用这组基底表示出来。ANMCDB练习练习数学应用数学应用2如图，已知梯形如图，已知梯形ABCDABCD，AB/CDAB/CD，且，且AB=2DC,M,NAB=2DC,M,N分别是分别是DC,ABDC,AB的中点的中点.ANMCDB解：设解：设则有则有练习练习数学应用数学应用3平行四边形平行四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是DCDC和和ABA

8、B的的中点，试判断中点，试判断AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FADCEB分析：找分析：找是否共线？是否共线？练习练习设e1，e2是平面内的一组基底 =3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2,证明A，D，B，三点共线练习练习思考思考,是两个不共线的向量，已知 ，若A，B，D三点共线，求实数 的值。回顾小结：回顾小结：）平面向量基本定理内容）平面向量基本定理内容定理的拓展性定理的拓展性）对定理的理解与拓展）对定理的理解与拓展实数对实数对的存在性和唯一性的存在性和唯一性基底的不唯一性基底的不唯一性）平面向量基本定理的应用）平面向量基本定理的应用思考：思考：既然向量是既有大小又有方

9、向的量，既然向量是既有大小又有方向的量，那如何刻画向量那如何刻画向量a的相对位置呢？的相对位置呢？思考：向量的正交分解与向量的直角坐标运算探索探索1:以坐标原点以坐标原点O为起点，为起点，P为终点为终点的向量能否用坐标表示？如何的向量能否用坐标表示？如何表示？表示？oPxya向量的坐标表示向量向量 P（x，y）一一 一一 对对 应应在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:oxya在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探

10、索2:Aoxyaa可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点O处处,其终其终点的坐标（点的坐标（x，y）称）称为为a的（直角）坐标，的（直角）坐标，记记a=（x，y）。）。解决方案:在平面直角坐标系内，若分别取与在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、轴、Y轴正方向轴正方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 i ,j作为基底，任作一向量作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x,y,使使得得 a=x i+y j.归纳总结归纳总结2、单位向量、单位向量 i1、a=x i+y j=(x,y)称

11、其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.=(0,0)=（1，0），），j=（0，1）平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探索探索3：（1）已知）已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，求求a+b,a b .（2）已知）已知a=(x1,y1)和实数和实数 ，求求 a的坐标的坐标.如何计算？如何计算？向量的坐标运算说明说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。坐标的积。例

12、例1.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，向量中，向量a，b，c的方的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。向和长度如图所示，分别求它们的坐标。例例2.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量求向量 的坐的坐标标.解：解：=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标向量终点的坐标减去始点的坐标减去始点的坐标。例例3.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段求线段AB中点的坐标。中点的坐标。解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，则的中点，则 例例3得到的

13、公式，得到的公式，叫做线段中点的叫做线段中点的坐标公式，简称坐标公式，简称中点公式。中点公式。例例4.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(3,2),B(2，4)，求向量，求向量 的方向和长度的方向和长度.解：解：=(3,2)+(2，4)=(1,6).=arctan 6 例例5.已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。解：解：=(2,1)+(3,4)(1,3)=(2,2)所以所以D点的坐标是点的坐标是(2,2).例例6.已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中点点M和三等分点坐标和三等分点坐

14、标P，Q的坐标的坐标.解：解：(1)求中点求中点M的坐标，利用例的坐标，利用例3得到的公得到的公式可知式可知M(，2)(2)因为因为 =(1，3)(2，1)=(3，2)练习练习1.设向量设向量a=(1,3)，b=(2,4)，c=(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为为 .解：解：4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以所以d=6a4b+4c=(2,6).2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量 ,设起始设起始P(10,10),则则5秒钟后点秒钟后点P

15、的坐标为的坐标为().解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10,10)+5(4,3)=(10,5).3.设设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足满足(1)为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限,求求的范围的范围.解解:(1)设设P(x,y)，则，则 (x2,y3)=(3,1)+(5,7),所以所以x=5+5，y=7+4.解得解得=(2)由已知由已知5+50,7+40,所以所以1.课时小结课时小结:2 加、减法法则加、减法法则.a +b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则：a=(xi+yj)=xi+yj=(x,y)4 向量坐标向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义向量坐标定义.则=(x2-x1,y2 y1)a -b=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)归纳小结归纳小结 1.1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式（也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理；22.向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门1(1)两向量和的坐标等于；（2）两向量差的坐标；（3）实数与向量积的坐标；23.向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；