《均值-方差分析》PPT课件.ppt

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1、第第8 8章章 均值方差分析均值方差分析现代金融经济学本章制作：陈召洪本章制作：陈召洪本章大纲本章大纲偏好与分布偏好与分布证券组合前沿证券组合前沿证券组合前沿的一些数学性质证券组合前沿的一些数学性质 8.1偏好与分布一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证设之后证明，经济行为主体的预期效用

2、能够仅仅表示为证券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值方差分收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值方差分析的运用是存在限制条件的。析的运用是存在限制条件的。用泰勒展开式对均值方差运用的局限性进行说明用泰勒展开式对均值方差运用的局限性进行说明随机变量是经济行为主体在时期随机变量是经济行为主体在时期1的全部收入或财富，的全部收入或财富，其效用函数在的预期值周围展开可得其效用函数在的预期值周围展开可得其中其

3、中 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由对时期对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。均值方差分析方法的使用条件和范围均值方差分析方法的使用条件和范围考察未来收益分布为任意分布的情况考察未来收益分布为任意分布的情况此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的效用

4、函数或以个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以表达为。表达为。此时此时于是经济行为主体的预期效用可以由时期于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变量的财富变量的两个中心矩来定义的两个中心矩来定义二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻画存在着以下两个主要的缺点画存在着以下两个主要的缺点：第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这点之后，收益增加的边际效用为负。点之后，收益增加的

5、边际效用为负。证明（见书证明（见书P110）第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存在矛盾。在矛盾。讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值方表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值方差分析来考察经济行为主体的效用函数。差分析来考察经济行为主体的效用函数。在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以

6、上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的函数。因此，就可以完全地由均值和方差表示。函数。因此，就可以完全地由均值和方差表示。这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态分布的时这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态分布的时期期1的财富上定义的，并且所有证券未来收益满足多元正的财富上定义的，并且所有证券未来收益满足多元正态分布，经济行为主体的效用函数就都可以由时期态分布，经济行为主体的效用函数就都可以由时期1的收的收益的期望和方差来刻画益的期望和方差来刻画。q这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相当这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相当

7、大的局限性，主要表现在以下几个方面：大的局限性，主要表现在以下几个方面：第一，资产收益率服从正态分布的假定与现实中资产第一，资产收益率服从正态分布的假定与现实中资产未来收益往往偏向正值相矛盾。未来收益往往偏向正值相矛盾。第二，对于密度函数的分布来说，均值方差分析并第二，对于密度函数的分布来说，均值方差分析并没有考虑其偏斜度。没有考虑其偏斜度。最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分布中的峭最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分布中的峭度。度。8.2证券组合前沿假定：假定：在一个无摩擦的经济中有支风险证券，这些证券可以自在一个无摩擦的经济中有支风险证券，这些证券可以自由地卖空，并且，所有证券的未来

8、收益率都具有有限的方差和彼由地卖空，并且，所有证券的未来收益率都具有有限的方差和彼此差异的预期均值。此差异的预期均值。任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收益率的线性组合任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收益率的线性组合来表示，即这些证券的随机收益率是彼此线性独立的。来表示，即这些证券的随机收益率是彼此线性独立的。在这种假设的经济中，向量表示在这种假设的经济中，向量表示J 种风险证券种风险证券的随机收益率。矩阵的随机收益率。矩阵V表示表示J 种风险证券收益率的方差种风险证券收益率的方差和协方差矩阵。和协方差矩阵。V是非奇异的、对称的。是非奇异的、对称的。矩阵矩阵V是正定的。是正定的。

9、前沿证券组合前沿证券组合前沿证券组合前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益率的证券组如果在所有具有相同预期收益率的证券组合中，有一支证券组合具有最小的方差值，则这支证券组合合中，有一支证券组合具有最小的方差值，则这支证券组合就定义为前沿证券组合。就定义为前沿证券组合。证券组合证券组合p是一支前沿证券组合的充分必要条件是它的证券是一支前沿证券组合的充分必要条件是它的证券组合权重组合权重hp 是下面二次规划问题的解是下面二次规划问题的解约束条件为。约束条件为。其中：其中：e表示表示J支风险证券的预期均值组成的向量，支风险证券的预期均值组成的向量，表示证券组合的预期回报率，表示证券组合的预期回报率

10、，1表示分量为表示分量为1的的J维向量。维向量。构造一个拉格朗日函数，是以下函数式的解：构造一个拉格朗日函数，是以下函数式的解：（其中，和是两个正值的常数。）（其中，和是两个正值的常数。）求解可得求解可得其中其中且且B0，C0，并且可以断定，并且可以断定D0。我们可以得出一个预期收益率为的前沿证券组合我们可以得出一个预期收益率为的前沿证券组合的唯一权重集合的唯一权重集合其中其中从以上（从以上（8.8）式人们可以看出，是预期收益率为）式人们可以看出，是预期收益率为0的前沿证券组合的权重向量；是预期收益率为的前沿证券组合的权重向量；是预期收益率为1的前沿证券组合的权重向量。的前沿证券组合的权重向量

11、。证券组合前沿证券组合前沿证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我们称之为证券组合前沿。们称之为证券组合前沿。命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以由两个前命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以由两个前沿证券组合和的线性组合得出。沿证券组合和的线性组合得出。证明见书证明见书P113114更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两支收益率更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两支收益率不同的前沿证券组合得出。（不同的前沿证券组合得出。（证明见书证明见书P114）任意两支前沿证券组合和之间的协方差为任意两支前沿证券组合和之间的协方差为均值方

12、差平面中的前沿组合均值方差平面中的前沿组合关系式（关系式（8.11a）也可以等价地写成也可以等价地写成最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组合（不单是前沿证最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总是同最小方差证券组合收益率的券组合）的收益率的协方差，总是同最小方差证券组合收益率的方差相等。方差相等。有效证券组合有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，所有那些预期收益：在整个证券组合前沿曲线中，所有那些预期收益率严格大于最小方差证券组合收益率的证券组合称之为有率严格大于最小方差证券组合收益率的证券组合称之为有效证券组合；效证券组合；无效证券组合无效证

13、券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合的证券组合称之为无效证券组合。的证券组合称之为无效证券组合。前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此有效证券组合的集合是一个凸组合。有效证券组合的集合是一个凸组合。8.3证券组合前沿的一些数学性质证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了最小方差证券组合证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了最小方差证券组合之外，对于证券组合前沿上的任意一支证券组合，都必然存之

14、外，对于证券组合前沿上的任意一支证券组合，都必然存在着唯一的一支前沿证券组合（即零协方差证券组合），在着唯一的一支前沿证券组合（即零协方差证券组合），它的收益率同证券组合的协方差为它的收益率同证券组合的协方差为0。最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之间的协方差等于最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之间的协方差等于，这也是严格正定的。从而得到，最小方差证券组合与任意的前，这也是严格正定的。从而得到，最小方差证券组合与任意的前沿证券组合的协方差都不为沿证券组合的协方差都不为0。假定是有效证券组合，就是一支无效证券组合。假定是有效证券组合，就是一支无效证券组合。将同的位置互换，则相反的结果成

15、立将同的位置互换，则相反的结果成立从几何学的角度看，的位置的确定：从几何学的角度看，的位置的确定：在标准差预期收益率的坐标系平上是过证券前在标准差预期收益率的坐标系平上是过证券前沿组合的切线在预期收益率坐标轴上的截距。沿组合的切线在预期收益率坐标轴上的截距。任意证券组合（不要求是前沿组合）的预期收益率同一支前任意证券组合（不要求是前沿组合）的预期收益率同一支前沿证券组合的预期收益率之间的关系特征：沿证券组合的预期收益率之间的关系特征：其中：是之外的任意一支前沿证券组合，其中：是之外的任意一支前沿证券组合，（8.20）式也可以写成）式也可以写成关系式（关系式（8.20）、（）、（8.21）、（）

16、、（8.23）是等价的关系式。）是等价的关系式。我们总可以将证券组合的收益率写成我们总可以将证券组合的收益率写成其中其中在引入无风险证券情况下进行讨论在引入无风险证券情况下进行讨论在引入无风险证券情况下进行讨论在引入无风险证券情况下进行讨论现假定是一支由所有现假定是一支由所有J1种证券组合而成的前沿证券种证券组合而成的前沿证券组合，表示这支前沿证券组合中的风险证券权重的组合，表示这支前沿证券组合中的风险证券权重的J 维向量。这样，维向量。这样，是以下规划问题的一个解是以下规划问题的一个解其中仍然表示风险证券的预期收益率的其中仍然表示风险证券的预期收益率的J 维向量，表示维向量，表示无风险证券的

17、收益率。无风险证券的收益率。l构造一个拉格朗日函数，可求得构造一个拉格朗日函数，可求得也即是，在坐标平面上，包括无风险也即是，在坐标平面上，包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿是以为证券在内的所有证券的证券组合前沿是以为顶点，斜率分别为和的两条射线。顶点，斜率分别为和的两条射线。情形情形情形情形1 1：这是图这是图84表示的图形。表示的图形。（图见下页）（图见下页）在图中点是射线与风险证券的组在图中点是射线与风险证券的组合前沿相切的切点。合前沿相切的切点。线段上任意一支证券组合都是风险证券组合线段上任意一支证券组合都是风险证券组合和无风险证券的凸组合。和无风险证券的凸组合。在线段之外的射

18、线上证券组合都涉及在线段之外的射线上证券组合都涉及卖空无风险证券并运用收益买入风险证券组合的投资卖空无风险证券并运用收益买入风险证券组合的投资行为。行为。在射线上的证券组合涉及卖空风险证券组在射线上的证券组合涉及卖空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于射线。位于射线。情形情形情形情形2 2：这是图这是图85表示的图形。表示的图形。（图见下页）（图见下页）射线上证券组合是通过卖空风险证射线上证券组合是通过卖空风险证券并运用收益买入无风险

19、证券组合而得。券并运用收益买入无风险证券组合而得。在射线上的证券组合涉及正值地在射线上的证券组合涉及正值地购买风险证券组合。购买风险证券组合。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于射线的有效集位于射线。情形情形情形情形3 3：这是图这是图86表示的图形。表示的图形。（图见下页）（图见下页）包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿的预包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿的预期收益率方程为期收益率方程为前沿证券组合的有效集应当是位于射线前沿证券组合的有效集应当是位于射线上的前沿组合。上的前沿组合。在此情形下，连接无风险证券和风险证券

20、组合的切线在此情形下，连接无风险证券和风险证券组合的切线的的“切点切点”不存在不存在。引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组合之间的关系（假设）：合之间的关系（假设）：合之间的关系（假设）：合之间的关系（假设）：当存在一支无风险证券时，当存在一支无风险证券时，其中其中这个关系对于除了无风险证券之外的任意证券组合和任这个关系对于除了无风险证券之外的任意证券组合和任意前沿证券组合意前沿证券组合p均成立。均成立。现代金融经济学现代金融经济学谢谢 谢谢 ！