《多自由度自由振动》PPT课件.ppt

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1、1 1工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房单层工业厂房水塔水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析行分析多层房屋、高层建筑多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础不等高厂房排架和块式基础10-5 10-5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动2 2 按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位通过

2、建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定度体系自由振动的问题，主要是确定体体系的全部系的全部自振频率及其相应的主振型。自振频率及其相应的主振型。3 31 1、刚度法：、刚度法：（建立力的平衡方程）（建立力的平衡方程）两个自由度的体系两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程点动平衡方程:即:设:.结构位移形状保持不变的振结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型动形式称为主振型

3、或振型.5 5振 型 计 算 公 式频 率 计 算 公 式频率方程.振型方程与与2相应的第二振型：相应的第二振型：因为因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值只能求出其比值 求与求与1相应的第一振型：相应的第一振型：7 7与与2相应的第二振型：相应的第二振型：f求与求与1相应的第一振型：相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：几点注意：12必具有相反的符号。必具有相

4、反的符号。多自由度体系自振频率的个数多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振其自由度数，自振频率由特征方程求出。频率由特征方程求出。每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。自振频率和主振型是体系本身的固有特性。自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：一般解：在这种特定的初始条件下出现的在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。9 9例例m2m1k2k

5、1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=k2 ,k22k121k22=k2,k12=k21)当当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=-ww 代入频率方程：代入频率方程：+10101)当m1=m2=m,k11=2k，k12=mkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：求振型：12k12111mkw-2111YY=1第一主振型：第一主振型：Y21=1.618Y11=

6、1第一主振型第一主振型12k12211mkw-2212YY=2第二主振型：第二主振型：Y22=0.618Y12=1第二主振型第二主振型1111 2)当当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k2求频率：求频率：求振型求振型：如如n=90时时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第一振型：第二振型：第二振型：特征方程：特征方程：+17172 2、柔度法、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：建立振动微分方程：（建立位移协调方程）（建立位移协调方程）m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力应等于体系在当时惯性力作用下所产生的

7、静力位移。.柔度法建立的振动柔度法建立的振动微分方程微分方程1121P1=11222P2=11818频率方程频率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y Y1 1，Y Y2 2不能全为零。不能全为零。求得频率：求得频率：频率方程和自振频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y Y1 1，Y Y2 2是质点位移幅值是质点位移幅值.振动微分方程体系频率的数目总体系频率的数目总等于其自由度数目等于其自由度数目1919主振型主振型(normal mode shape)频率方程频率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y Y1 1，Y

8、 Y2 2不能全为零。不能全为零。不能有振型方程求出不能有振型方程求出Y Y1 1，Y Y2 2的解的解，只能求出它们的比值。只能求出它们的比值。第一主振型第一主振型 第二第二 主振型主振型 频率的数目总等频率的数目总等于其自由度数目于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y222020例例 求简支梁的自振求简支梁的自振 频率和主振型。频率和主振型。l/3l/3l/3解：解：1）求柔度系数）求柔度系数 P=1 P=1求得频率：求得频率：求得主振型：求得主振型：mm2424例：求图示体系对称振动情况下的频

9、率。例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m 1210.5110.8750.25 113325252111 Y Yijij为正时为正时表示质量表示质量m mi i的的运动方向与计运动方向与计算柔度系数时算柔度系数时置于其上的单置于其上的单位力方向相同，位力方向相同，为负时，表示为负时，表示与单位力方向与单位力方向相反。相反。3232y1yiynri动平衡方程：动平衡方程：riy1yiynri 应满足刚度方程应满足刚度方程kij是结构的刚度系数，使点是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）产生单位位移（其它点位移为零）时在点时在点i所需施加的力

10、。所需施加的力。.多自由度体系3333.或：设解为：设解为：y=Ysin(t+)得振幅方程：得振幅方程：(K2 M)Y=0得频率方程：得频率方程：K2 M0可求出个频率可求出个频率与与相应的主振型向量由相应的主振型向量由 (K2 M)Y（）=0不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素，或最大元素=1等。等。.3737利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：由刚度法振幅方程：(K2 M)Y=0前乘前乘K1=后得：后得：(I 2 M

11、)Y=0令令=1/2 (M I )Y=0得频率方程：得频率方程：M I =0其展开式其展开式:是关于是关于的的n次代次代数方程数方程,先求出先求出i再求出频率再求出频率i将将i代入代入 (M i I )Y(i)=0可求出可求出n个主振型个主振型.可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。4343几点说明：几点说明：1)1

12、)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。且与位移比值相同。2)2)发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的.44444)4)N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 ,从小到大排列从小到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率,其它为高阶频率其它为高阶频率.将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的.3)3)振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关与外界因素无关.4545多自由度体系自由振动的计算步骤：多自由度体系自由振动的计算步骤：建立体系自身的质量矩阵建立体系自身的质量矩阵M M：根据频率方程计算结构的各阶自振频率根据频率方程计算结构的各阶自振频率 i i 计算体系自身的刚度矩阵计算体系自身的刚度矩阵K K或柔度矩阵或柔度矩阵：计算结构的主振型向量计算结构的主振型向量Y Yi i