第2章等式与不等式学习导引与学法指导（2021年）— 高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册 .doc

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1、 【必修一】第2章 等式与不等式章节第2章等式与不等式（4+5+3+2=14）2.1 等式与不等式的性质2.1.1 等式的性质与方程的解集2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系2.1.3 不等式的性质2.2 不等式的求解2.2. 1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解2.2. 2 一元二次不等式的求解2.2. 3 分式不等式的求解2.2. 4 含绝对值不等式的求解2.3 基本不等式及其应用2.3. 1 平均值不等式及其应用2.3. 2 三角不等式数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具；等式与不等式的知识，在日

2、常生活中也有着广泛的应用；我们将通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件；我自己的小课堂1、等式的定义用等号“”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式；2、等式的性质用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式；（1）传递性 设a、b、c均为实数，如果ab，bc，那么ac；、（2）加法性质 设a、b、c均为实数，如果ab，那么a+cb+c；（3）乘法性质 设a、b、c均为实数，如果ab，那么acbc；还可以“验证”与“推广”得性质与推论：

3、（4）如果ab，那么ba；（5）如果ab，那么acbc；（6）如果ab，c0，那么；【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“不为零”；3、恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等；【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”；4、方程的解集（1）含有未知数的等式称为：方程；（2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根；（3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集；【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程

4、所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。5、一元二次方程的解集一般地，b24ac称为一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式；（1）当0时，方程的解集为，；（2）当0时，方程的解集为；（3）当b；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么a0ab；ab0ab；ab0ab，bc，那么ac；（2）加法性质 设a、b、c均为实数，如果ab，那么acbc；（3）乘法性质 设a、b、c均为实数，如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acc，则acb；(不等式的移项法则)（6）性质 设a、b、c、d均为实数，如果ab，cd，那么

5、acbd；(同向可加性)（7）性质 设a、b、c、d均为实数，如果ab0，cd0，那么acbd.（8）性质 设a、b均为实数，如果ab0，那么anbn(nN，n1)（9）性质 设a、b均为实数，如果ab0，那么(nN，n1)【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；（3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向；我自己的小课堂9、不等式证明方法【拓展】（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，

6、经过逐步推导最后得到结论的方法综合法最重要的推理形式为pq，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论；（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止分析法最重要的推理形式为pq，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件；（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.10、有关不等式的“定理”对任意的实数a和b，总有a2b22ab，且等号当且仅当ab时成立；11、有关不等式的“定理”的拓展（1）算术平

7、均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值；（2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立；【注意】1、两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的;前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a0，b0即可)；2、两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”。（3）均值不等式与最值：已知x0，y0，则我自己的小课堂若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2；即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两

8、个正数的和为常数时，它们的积有最大值；【注意】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：一正：符合均值不等式成立的前提条件，a0，b0；二定：化不等式的一边为定值；三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可12、不等式的解集与不等式组的解集（1）在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值，称为该不等式的解；（2）一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；（3）求不等式解集的过程称为不等式求解或解不等式；（4）将含有相同未知数的多个不等式联立起来，就得到不等式组；（5）求不等式组中所有不等式的解集的交集称，称为解不等式组；【说明】若不等式

9、中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；13、一元二次不等式的概念一般地，形如ax2bxc0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a0；【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)都是一元二次不等式；14、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1x2，则不等式(xx1)(xx2)0的解集是(，x1)(x2，)15、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2bxc0(a0)通过配方总是可以我自己的小课堂变为(xh)2k或(xh)2(，0的二次函数为例)一元二次不等式ax2bxc0(a

10、0)的解集，即二次函数yax2bxc(a0)的值满足y0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数yax2bxc0(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标（2）从方程的角度看设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)的解集为R时，意味着ax2bxc0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解18、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二

11、次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1我自己的小课堂或xx2x|xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2我自己的小课堂19、分式不等式即相关（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零（2）一般地，分式不等式分为两类：0(axb)(cxd)0；020、绝对值不等式（1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式；（2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B

12、(b)，则线段AB的长为|AB|ab|，线段AB的中点M对应的数x【说明】1、（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。2、算术平均值与几何平均值对于两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值；3、平均值不等式如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立；我自己的小课堂4、定理 对于任意实数a，b，有，当且仅当ab时，等号成立；【说明】（1）两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a0，b0即可【P46上的注解】）；（2）两个不等式a2

13、b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”；21、平均值不等式与最值 已知x0，y0，则（1）若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.（2）若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：一正：符合均值不等式成立的前提条件，a0，b0；二定：化不等式的一边为定值；三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可22、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。我自己的小课堂【课后阅读】本章内容提要（教材57页）1、实数大小的比较：；2、等式的基本性质传递性如果，且，那么；加法性质如果，那么；乘法性质如果，那么；3、不等式的基本性质传递性如果，且，那么；加法性质如果，那么；乘法性质如果，那么；如果，那么；4、一元二次方程的根与系数关系：设两根为、，则，；5、一元二次不等式的求解（下表中均假设，而）6、基本不等式平均值不等式，当且仅当时等号成立常用不等式，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；三角不等式，当且仅当时等号成立；第11页上海外国语大学附属浦东外国语学校（上海市浦东达尔文路91号） 谢立竿 邮编： xlg