九年级中考数学第三轮冲刺：四边形综合 压轴题专题复习 .docx

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1、2021年中考数学第三轮冲刺：四边形综合 压轴题专题复习1、如图所示，的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足（1）求证：（2）若正方形ABCD的边长为1，求的值2、如图1，四边形的对角线，相交于点，（1）过点作交于点，求证：；（2）如图2，将沿翻折得到求证：；若，求证：3、如图，在正方形中，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，（1）求证：；（2）求证：；（3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积4、点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、点为的中点（1）

2、如图1，当点与点重合时，线段和的关系是；（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、之间的关系5、如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON（1）求证：AM=BN；（2）请判断OMN的形状，并说明理由；（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且OMN的面积为，请直接写出AK长6、菱形的对角线相交

3、于点O，点G是射线上一个动点，过点G作交射线于点E，以为邻边作矩形（1）如图1，当点F在线段上时，求证：；（2）若延长与边交于点H，将沿直线翻折180得到如图2，当点M在上时，求证：四边形为正方形：如图3，当为定值时，设，k为大于0的常数，当且仅当时，点M在矩形的外部，求m的值7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒（1）线段；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时

4、，直接写出点的坐标8、已知：如图，在四边形和中，点在上，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点设运动时间为解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式；（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由9、如图1，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、（1）求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）当四边形的周长取最大值时，求的值10、将正方形的边绕点逆时针

5、旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，（1）如图1，当时，的形状为，连接，可求出的值为；（2）当且时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值11、如图，在四边形中，分别平分，并交线段，于点，（点，不重合）在线段上取点，（点在之间），使当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点记，已知，当为中点时，（1）判断与的位置关系，并说明理由（2）求，的长（3）若当时，通过计算比较与的大小关系连结，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值12、问题背景：如图1，

6、在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F探究图中线段，之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_；探究延伸1：如图2，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由探究延伸2：如图3，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时

7、的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离13、【性质探究】如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点作于点，分别交，于点，（1）判断的形状并说明理由（2）求证：【迁移应用】（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值【拓展延伸】（4）若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值14、综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在

8、经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出MNE；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接

9、AA交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9请写出以上4个数值中你认为正确的数值参考答案2021年中考数学第三轮冲刺：四边形综合 压轴题专题复习1、如图所示，的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足（1）求证：（2）若正方形ABCD的边长为1，求的值【详解】（1）证明：，（2），正方形边长为1，2、如图1，四边形的对角线，相交于点，（1）过点

10、作交于点，求证：；（2）如图2，将沿翻折得到求证：；若，求证：【解答】（1）证明：，又，；（2）证明：如图1，过点作交于点，由（1）可知，将沿翻折得到，又证明：如图2，过点作交于点，延长交于点，四边形为平行四边形，将沿翻折得到，又，3、如图，在正方形中，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，（1）求证：；（2）求证：；（3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积【解答】解：（1）证明：在正方形中，；（2）在和中，由可知，由可知，（3），当点从点沿边运动至点停止时，点经过的路径是以为直径，圆心角为的圆弧，同理可得点经过的路径，两弧交于正方形的中心点，如图，所围成的图

11、形的面积为4、点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、点为的中点（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是；（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、之间的关系【解答】解：（1）四边形是平行四边形，又，故答案为：；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长交于点，点为的中点，又，；（4）点在线段的延长线上运动时，线段、之间的关系为，证明如下：如图，延长交的延长线于点，由（2）可知，又，5、如图，边长为1的正方形ABC

12、D中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON（1）求证：AM=BN；（2）请判断OMN的形状，并说明理由；（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且OMN的面积为，请直接写出AK长【详解】解：（1）证明：又又（AAS）（2）是等腰直角三角形理由如下：连接，为正方形的中心OAOB，OBAOAB45OBC，AOBO，MABCBM，即（SAS），AON+BON90，AON+AOM90，等腰直角三角形（3）在中，由，四边形ABCD是正方

13、形，可得：，得：，得：即：当点K在线段AD上时，则，解得：x13（不合题意舍去），当点K在线段AD的延长线时，同理可求得，解得：x13，（不合题意舍去），综上所述：长为或3时，OMN的面积为6、菱形的对角线相交于点O，点G是射线上一个动点，过点G作交射线于点E，以为邻边作矩形（1）如图1，当点F在线段上时，求证：；（2）若延长与边交于点H，将沿直线翻折180得到如图2，当点M在上时，求证：四边形为正方形：如图3，当为定值时，设，k为大于0的常数，当且仅当时，点M在矩形的外部，求m的值【详解】（1）证明：如图，四边形EOGF为矩形，四边形ECFG，DGEF是平行四边形，；（2）如图，证明：由折叠

14、得，四边形ABCD为菱形，点M在GE上，四边形EOGF为矩形，矩形EOGF为正方形；（3）如图，四边形ABCD为菱形，（m为定值），点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动，当且仅当时，M点在矩形EOGF的外部，时，M点在矩形EOGF上，即点M在EF上，设，过点D作于点N，又，是直角三角形，（负值舍去），7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒（1）线段；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动

15、过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标【解答】解：（1）长是的根，四边形是矩形，故答案为：（2）如图，过点作于，当时，的面积；当时，点与点重合，当时，的面积；（3）如图，过点作于，当时，或，或，当时，点，当时，同理可求点，当时，或24（不合题意舍去），点，综上所述：点坐标为，或，8、已知：如图，在四边形和中，点在上，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点设运动时间为解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式

16、；（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：由题意，CE=2，CMBF，即：，解得：CM=，要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=，t=；（2）如图，AC=10，EF=10，sinPAH=，cosPAH=，sinEFB=，在RtAPH中，AP=2t，PH=APsinPAH=，在RtECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，在RtQNF中，QF=10-t-=，QN=QFsinEFB=()=，四边形为矩形，PH=QN，=，解得：t=3；（3）如图，过Q作QNAF于N，由（2）

17、中知QN=，AH=APcosPAH=，BH=GC=8-，GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，=，S与t的函数关系式为：；（4）存在，t=证明：如图，延长AC交EF于T，AB=BFBC=BF, ，ABCEBF，BAC=BEF，EFB+BEF=90，BAC+EFB=90，ATE=90即PTEF，要使点在的平分线上，只需PH=PT，在RtECM中，CE=2,sinBEF=，CT=CEsinBEF =，PT=10+-2t=，又PH=，=，解得：t=9、如图1，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、（1）求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）当四边形的周长取最大值时，求的值【解

18、答】（1）证明：，平分，又，；（2）解：如图1，过点作交的延长线于点，设，即，；（3）解：如图2，设，则，解得：，为的中点，又为的中点，四边形的周长为，时，四边形的周长有最大值为10，为等边三角形，10、将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，（1）如图1，当时，的形状为等腰直角三角形，连接，可求出的值为；（2）当且时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值【解答】解：（1）绕点逆时针旋转至，是等边三角形，是等腰直角三角形四边形是正方形，同理，故答

19、案为：等腰直角三角形，（2）两结论仍然成立证明：连接，是等腰直角三角形，四边形是正方形，即，或1若为平行四边形的对角线，点在以为圆心，为半径的圆上，取的中点连接交于点，过点作交的延长线于点，由（1）可知是等腰直角三角形，由（2）可知，且若为平行四边形的一边，如图3，点与点重合，综合以上可得或111、如图，在四边形中，分别平分，并交线段，于点，（点，不重合）在线段上取点，（点在之间），使当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点记，已知，当为中点时，（1）判断与的位置关系，并说明理由（2）求，的长（3）若当时，通过计算比较与的大小关系连结，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的

20、值【解答】解：（1）与的位置关系为：，理由如下：如图1所示：，、分别平分、，；（2）令，得，令，得，把代入，解得：，即，是中点，解得：，；（3）连接并延长交于点，如图2所示：，四边形是平行四边形，由勾股定理得：，当时，解得：，；（）当经过点时，如图3所示：，则；（）当经过点时，如图4所示：，解得：；（）当经过点时，如图5所示：，由勾股定理得：，解得：，由图可知，不可能过点；综上所述，当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点12、问题背景：如图1，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F探究图中线段，之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论

21、，他的结论就是_；探究延伸1：如图2，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由探究延伸2：如图3，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之

22、间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离【详解】解：EF=AE+CF理由：延长到G，使，连接，在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=120，MBN=60，ABE+CBF=60，CBG+CBF=60，即GBF=60，在BGF和BEF中，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF探究延伸1：结论EF=AE+CF成立理由：延长到G，使，连接，在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=ABC，CBG+CBF=ABC，即GBF=ABC，在BGF和BEF中，BGFBEF（SAS），GF=E

23、F，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立理由：延长到G，使，连接，BCG+BCD=180，BCG=BAD在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=ABC，CBG+CBF=ABC，即GBF=ABC，在BGF和BEF中，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，AOB=30+90+(90-70)=140，EOF=70，EOF=AOBOA=OB，OAC+OBC=(90-30)+(70+50)=180，符合探索延伸中

24、的条件结论EF= AE+CF仍然成立即EF=751.2+1001.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里13、【性质探究】如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点作于点，分别交，于点，（1）判断的形状并说明理由（2）求证：【迁移应用】（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值【拓展延伸】（4）若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值【解答】（1）解：如图1中，是等腰三角形理由：平分，是等腰三角形（2）证明：如图2中，过点作交于，则，四边形是矩形，（3）解：如图3中，过点作于，则，又，设，则，（4）解：设，如图4中，连接，当点在

25、线段上时，点在上，由题意：，即，如图5中，当点在的延长线上时，点在线段上，连接，由题意：，即，综上所述，的值为或14、综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图（1）折痕BM是（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答：等边三角形；

26、进一步计算出MNE60；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN15；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9请写出以上4个数值中你认为正确的数值7，9【解答】解：（1）如图对折矩形纸片ABC

27、D，使AD与BC重合，EF垂直平分AB，ANBN，AEBE，NEA90，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，BM垂直平分AN，BAMBNM90，ABBN，ABANBN，ABN是等边三角形，EBN60，ENB30，MNE60，故答案为：是，等边三角形，60；（2）折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，ABGHBG45，GBNABNABG15，故答案为：15；（3）折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，ST垂直平分AA，AOAO，AAST，ADBC，SAOTAO，ASOATO，ASOATO（AAS）SOTO，四边形ASAT是平行四边形，又AAST，边形SATA是菱形；（4）折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，ATAT，在RtATB中，ATBT，AT10AT，AT5，点T在AB上，当点T与点B重合时，AT有最大值为10，5AT10，正确的数值为7，9，故答案为：7，9