备战中考复习数学小题（解答题）专练：圆的综合（一）.doc

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1、2021年备战中考复习数学小题（解答）专练：圆的综合（一）1如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若AD3，DC，求劣弧AC的长2在ABC中，B90，D是ABC外接圆上的一点，且点D是B所对的弧的中点（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD的延长线于点P，BA，DE的延长线交于点Q，DPDQ若，AB4，BC3，求BE的长；若DP（AB+BC），求PDQ的度数3定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我

2、们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，的三角形都是“匀称三角形”（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为 （2）如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DFAC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由4如图，在等腰RtABC中，ABC90，点D是以AB为直径的O上一点，连BD交AC于P，CDBC（1）求证：CD是O的切线；（2）求的值5如图，在RtABC中，B90，点E在AC上，以AE为直径的O经过点D求证：BC是O的切线；CD2C

3、ECA；6如图，四边形ABEC是平行四边形，过A、B、C三点的O与CE相交于点D连接AD、OD，DB是ADE的角平分线（1）判断BDE的形状，并说明理由；（2）求证：BE是O的切线；（3）如果AB，BE8，求O的半径7如图，已知C、D是直径为AB的圆O上的两点，连接CD于点E，DEDA，点P为射线DC上一点，使PBCBDC（1）求证：PB为圆O的切线；（2）求证：BE2EDPC；（3）若BC2，AD，求PB的长8如图，已知AB是O的直径，C为O上一点，OCB的角平分线交O于点D，F在直线AB上，且DFBC，垂足为E，连接AD、BD（1）求证：DF是O的切线；（2）若tanA，O的半径为3，求E

4、F的长9如图所示，PA是O的切线，A为切点，直线OP交O于点E，AC是O的直径，弦BCOP，AB交OP于点D，连接PB（1）判断直线PB与O的位置关系，并说明理由；（2）已知AB6，AE6，求弦AE和劣弧AE所围成弓形的周长和面积10如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD（1）求证：OPCD；（2）连接AD，BC，若DAB50，CBA70，OA2，求OP的长11如图，O是等腰ABC的外接圆，ABAC，点D为上一点，连结AD，CD，作BFAD交AC的延长线于点F（1）求证：BCFADC；（2）若AD2，BF8，求ACCF的值（3）连结BD交A

5、F于点E，若BDAC当AE2时，求CF的长；若k，用含有k的代数式表示tanBAC12如图，在半径为5cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，E是BC的中点，OE3cm（1）求证：CD是O的切线；（2）求AD的长13如图，AC是O的直径，BC，BD是O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DEBC，交BC的延长线于点E，且CD平分ACE（1）求证：DE是O的切线；（2）求证：CDEDBE；（3）若DE6，tanCDE，求BF的长14如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在

6、上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ（1）求sinAOQ的值；（2）求的值；（3）令MEx，QDy，直径AB2R（R0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围15如图所示，AB是O的直径，点C、D是O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC3CE，且9（EF2CF2）OC2（1）求证：直线CF是O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若COD2BOC求证：ACDOBE；过点E作EGAB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD4，求线段MG的长度参考答案1（1）证明：连

7、接OC，AC平分DAB，DACBAC，OAOC，BACACO，DACACO，ADOC，ADDC，OCDC，OC过O，DC为O的切线；（2）解：ADDC，ADC90，AD3，DC，tanDAC，DAC30，BACACODAC30，AC2DC2，AOC1803030120，连接BC，AB是O的直径，ACB90，BAC30，AB2BC，AC2，（2BC）2（2）2+BC2，解得：BC2，AB4，即AO2，劣弧AC的长是2解：（1）如图1，作ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为B所对的弧的中点，（2）连结AE，ABEBAC，AEBACB，又AB为公共边，ABEBAC（AAS），EABABC90，又，

8、BC3，AEBC3，在RtABE中，AB4，AE3，BE5，BE5；连结AD，分别过点A，C作AHBD于点H，CRBD于R，ADDC，ABDDBC45，在RtABH中，AHB90，ABHBAH45，BH2+AH2AB2，BHAHAB，同理，BRBC，ABC90，AC为直径，ADC90，ADH+CDR90，在RtADH中，ADH+HAD90，HADCDR，ADHDCR（AAS），AHDR，（AB+BC）AH+BRDR+BRBD，DP（AB+BC），DPBD，PPBD，BDCP+PBD2P，由得，BE为直径，又AC为直径，点M为圆心，MAMB，MABABM，MABBDC，设P，则ABM2，ABM+

9、PBDABD45，2+45，15，BDC30，BE为直径，EDB90，PDQ180EDBBDC1809030603（1）解：设第三边长为x，当时，解得x8，当是，解得x5，当时，解得x2，2+46，当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD，AD，AB是O直径，ADBC，ABAC，D为BC的中点，即BDCD，O为AB中点，ODAC，OD，DFAC，AFD90，ODAC，ODEAFD90，ODEF，OD是O半径，EF是O的切线；（3）解：AEF是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BMEF于M，BMDCFD90，在BMD和CFD中，BMD

10、CFD（AAS），BMCF，BMDCFD90，EBMEAF，设AE5x，则AF3x，AEF是“匀称三角形”4（1）证明：连接OD，如图1所示：ODOB，OBDODB，CDCB，CBDCDB，OBD+CBDOBC90，ODB+CDB90，CDO90，ODCD，又OD是O的半径，CD与O相切；（2）解：连接OC交BD于点H，连接AD、OD，如图2所示：BCCD，OBOD，OC垂直平分BD，OHB90，ABD+BOHBCO+BOH90，ABDBCO，ABC是等腰直角三角形，ABBC，AB是O的直径，ADB90，OBABBC，tanABDtanBCO，设OHa，则DHBH2a，BD4a，CH2BH4a

11、，ADBD2a，ADBOHB90，ADCH，ADPCHP，DH2a，DP，PH，在RtPHC中，由勾股定理得：PCa，在RtADP中，由勾股定理得：APa，5证明：如图1，连接DO，FADDAEFAE，DAEDOE（圆周角定理），FAEDOE，DOAB，根据题意可知ABBC，DOBC，BC是O的切线如图2，连接DE，OD，AB为直径，OAOD，ADO+EDOADE90，ADODAO，由（1）可知CDE+EDO90，DAOCDE，在CDE和CAD中，CDECAD，故CD2CECA6解：（1）四边形ABEC是平行四边形，ABCE，ACBE，ADCDAB，ACBD（圆周角定理），BEBD，故BDE是

12、等腰三角形（2）如图1，连接OB，则2DABDOB，由（1）可知BEBD，BDEE，ABCE，DB是ADE的平分线，EDBABD，EDBADB，ABDADBBDEE，ABDBED，DABDBE，ODOB，OBD90DAB90DBE，即OBD+DBE90，OBBE，故BE是O的切线（3）如图2，过点O作OFDB，过点D、E分别作DMAB，ENAB交AB的延长线于点N，则有BOFDOFBOD，BFDFDB，DMEN，DEDM，又DAMBOD，BOFDAM，根据题意有ABCE4，BEBD8，BF4，由（2）可知ABDBED，即，解得DE，在RtDMB和RtENB中，RtDMBRtENB（HL），BM

13、BNMNDE，AMABBM，在RtDMB中，DM，在RtADM和RtOBF中，RtADMRtOBF，即，解得OF3，在RtOBF中，OB5，故O的半径为57（1）证明：AB为直径，ACB90，BDCBAC，BDC+ABC90，PBCBDC，PBC+ABC90，ABP90，ABBP，PB为圆O的切线；（2）证明：DEDA，12，14，23，34，BEBC，DBAACD，ACB90，4+DBA90，由（1）知，EBP90，3+P90，DBPP，BDCPBC，DEBBCP，BEBC，BE2EDPC（3）过B作BGCE于G，由（2）知BEBC，EGCG，ADDE，BCBE2，4PC，设EGCGx，则P

14、E，RtBGERtPBE，BE2EGEP，解得x，48解：（1）如图，连接OD，OCOD，ODCOCD，CD平分OCB，OCDBCD，ODCBCD，ODCE，CEFODE，CEDF，CEF90，ODE90，即ODDF，DF是O的切线；（2）AB是O的直径，ADB90，tanA，则AD2BD，在RtABD中，ADB90，AB2r6，BD2+AD2AB2，即BD2+（2BD）262，解得BD，由（1）知DF是O的切线，BDFA，BEDF，BEF90，tanBDF，则DE2BE，在RtBDE中，BD，由勾股定理可得，BE2+DE2BD2，即BE2+（2BE）2（）2，解得BE，则DE，由（1）知BE

15、OD，即，解得EF9解：（1）直线PB是O的切线理由如下：连接OBBCOP，AOPACB，BOPOBC，OBOC，ACBOBC，AOPBOP，PA是O的切线，PAO90在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），PBOPAO90，OBPB，直线PB是O的切线（2）AOPBOP，弧AE弧BE，OP弦AB，ADBD，AB6，AE6，ADAB3，在RtADE中，DE3，在RtADO中，设O的半径为x，则，解得x6，在RtAOD中，sinAOD，AOD60又OAOE，AOE是等边三角形，AOOE6弧AE的长2，弓形的周长弦AE+弧AE的长6+2，弓形的面积S扇形AOESAOE6910解：（1）连接OC

16、，OD，OCOD，PD，PC是O的切线，ODPOCP90，在RtODP和RtOCP中，RtODPRtOCP（HL），DOPCOP，ODOC，OPCD；（2）如图，连接OD，OC，OAODOCOB2，OCBCBA70，ODAOAD50，BOC40，AOD80，COD180BOCAOD60，ODPOCP90，ODOC，COD是等边三角形，由（1）知，DOPCOP30，在RtODP中，OP11解：（1）ABAC，ABCACB，ACB+BCF180，ABC+ADC180，BCFADC；（2）ADBF，DACF，BCFADC，BCFCDA，即ACCFADBF2816；（3）设CEx，CFy，DBCDAC

17、F，BECFEB，BECFEB，BE2x（x+y），在RtABE中，22+x（x+y）（2+x）2，CFy4；设AEa，由知，CF2a，k，AC2ak，ECACAEa（2k1），EFEC+CFa（2k1）+2aa（2k+1），由知，BE2CEEF，BEa，tanBCA12（1）证明：连接OC，如图：AC平分BAD，DACCAO，OAOC，CAOOCA，DACOCA，ADOC，ADDC，CODC，CD是O的切线；（2）E是BC的中点，且OAOB，OE是ABC的中位线，AC2OE，OE3，AC6，AB是O的直径，ACB90ADC，又DACCAB，DACCAB，即，AD13（1）证明：连接OD，如图

18、：CD平分ACE，OCDDCE，OCOD，OCDODC，DCEODC，ODBC，DEBC，DEOD，DE是O的切线；（2）证明：连接AB，如图：AC是O的直径，ABC90，即ABD+DBC90，ABDACD，ACDODC，ABDODC，ODC+DBC90，ODC+CDE90，CDEDBC，即CDEDBE；（3）解：RtCDE中，DE6，tanCDE，CE4，由（2）知CDEDBE，RtBDE中，DE6，tanDBE，BE9，BCBECE5，M为BC的中点，OMBC，BMBC，RtBFM中，BM，tanDBE，FM，BF14解：（1）如图，连接OP四边形MNPQ是正方形，OMNONP90，MQP

19、N，OQOP，OMQONP（HL），OMON，设OMONm，则MQ2m，OQm，sinAOQ（2）由（1）可知OMONm，OQOAm，MN2m，AMOAOMmm，（3）AB2R，OAOBOQr，QM2MO，OM，MQ，AB是直径，ACBDCE90，CEDAEM，AD，AMEDMB90，AMEDMB，y，当点C与P重合时，xR，RxR15（1）证明：9（EF2CF2）OC2，OC3OE，9（EF2CF2）9EC2，EF2EC2+CF2，ECF90，OCCF，直线CF是O的切线（2）证明：COD2DAC，COD2BOC，DACEOB，DCAEBO，ACDOBE解：OBOC，OC3EC，OB：OE3：2，ACDOBE，AD4，AC6，M是AC的中点，CMMA3，EGOA，CG2，MGCMCG321