不定积分的解题方法与技巧.pdf

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1、一直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二第一类换元法1.当遇到形如dx的不定积分，可分为以下三种情况：2axbxc（1）当 0时，可将原式化为xx1xx2，其中，x1,x2为ax2bxc的两个解，则原不定积分为：dxx1dx1xx1xx2x2x1xx11xx1lnCx2x1xx2dxx2xx2（2）当 0时，可利用完全平方公式，化成本积分公式即可解决。dxkxk2。然后根据基（3）当 0时，可先给分母配方，多利用决。dx arctanxC解1 x22.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次

2、，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。三第二类换元法1.三角代换当被积函数含有a2x2时，令 x=asint 或 x=acost，t 2,2。当被积函数含有a2x2时，令 x=tant，t 2,2。当被积函数含有x2a2时，令 x=asect，t 0,22.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。三分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。四有理函数的积分11.形 如x-ak的 有 理 函 数，它 所 对 应 的 部 分 分 式 是A1A2

3、Ak 2kx-ax-ax-a2.形如1x2pxqk的有理函数，它所对应的的部分分式是 B1xC1B2xC2x2pxqx2pxq2xBkxCk2pxqk3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）：部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为 1 时（指的是 x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设 x的次数相应减一。例如：当部分分式分母x 次数为 1 时，分子所设应为 A；当部分分式分母 x 次数为 2 时，分子所设应为 Ax+B。上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到 arctan 和 ln 很多）。4类似常数形式，分母配方，使用 arctan。二次多项式5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。五凑平方差法1dx1 sinx例题：1-sinxdx21-sin x1-sinxdxcos2x2secxdxsinxdx2cosx1cos2xdcosx1 tanxCcosx tanx