不等式的性质与不等式的证明.pdf

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1、-不等式的性质与不等式的证明一.教学内容：不等式的性质与不等式的证明二.教学重点、难点：1.理解不等式的性质及其应用。2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用。3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单不等式。三.知识串讲：一不等式的意义和性质1.不等式的意义：对于任意实数a，b不等式的意义是不等式的根底，是比较两个实数的大小及作差法证明不等式的根底依据。2.不等式的性质二不等式的证明证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、放缩法及利用函数单调性等方法。而比较法、综合法和分析法是证明不等式的最根本方法，也是高考命题的重要思想方法。1.比较法比较法是证

2、明不等式的一种最重要、最根本的方法，可分为作差法和作商法。结论。其中变形是作差法的关键，常用的变形手段是因式分解或配方。差式假设为分式，一般要先通分，再将分子、分母因式分解。变形与 1 比较大小结论，多用在证明幂、指数形式的不等式的时候。当差或商式中含有参数或符号不能一概而论时，要进展讨论。2.综合法由题设条件以及的定义、公理、定理不断推导出所证命题成立的必要条件由因导果直至推导出命题的结论，这种证明方法叫综合法。在证明过程中，常用的结论：平均值不等式：它们的变形也要熟知：在使用平均值不等式时，一定要注意它们的成立条件。3.分析法从待证的不等式出发，寻求该不等式成立的充分条件的方法叫分析法。即

3、为执果索因。在证明不等式时，经常用分析法探求证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程的步步可逆及书写格式。【典型例题】【典型例题】例 1.已知a 2，b 2，比较a b与ab的大小。解法解法 1 1：取差法解法解法 2 2：比商法例 2.若a b 0，则下列结论中正确的是（）.z.-解析：解析：a b 0，|a|b|选 B例 3.已知0 a 111，A 1 a2，B 1 a2，C，D，试比较21 a1 aA、B、C、D 的大小。解：解：0 a 11，0 a224将、进展比较：、比较：此题也可以用图象法来解：图象。例 4.若a，

4、b R，x，y R，且a b 1，求证：ax by(ax by)222(ax by)(ax by)证明：证明：22211已知x 0，y 0，求证：(x y)2(x y)xy y x24例 5.11(x y)2(x y)xy(x y)4分析：分析：2证明：证明：x 0，y 0，x y 2 xy左端右端原不等式成立例 6.若0 x 11，求证：y y2yx 1分析：分析：此题假设采用比较法和综合法难度大，故采用分析法探求证法。证明：证明：y 0，y 0，y 1例 7.在两个正数*，y 之间插入一个正数 a，使*，a，y 成等比数列；假设另外插入两个正数b，c使*，b，c，y 成等差数列。2x，a，

5、y成等比数列，则a xy证明：证明：22例 8.（1）若正数x，y满足x 2y 1，求11的最小值；xy.z.-1解：解：x 2y 12解：解：由2x 8y xy 0得：yx 8 2x点评：点评：对于1题，如下解法是否正确？此种解法是错误的。因为在二次运用平均值不等式中，取的条件是矛盾的，因此不成立。对于2题，根本思路是借助条件式，化二元函数为一元函数再去运算。例 9.已知a，b为正数，求证：不等式a 1证明：证明：充分性：必要性：综上可知，所证结论成立。例 10.设f(x)是定义在1，1上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线解：解：（1）设g(x)上点Q(x0，y0)与f(x)上

6、点P(x，y)关于直线x 1对称b成立的充分必要条件是：对【模拟试题】【模拟试题】一.选择题。1.以下命题中：a b ca cba b，c 0 ccab22a b ac bc33a b a b其中正确的命题个数是A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.假设a 0，1 b 0，则以下各式中正确的选项是A.(a)(ab)121(a)(ab)B.222C.log1(a)log1(ab2)22.z.-1a12b2()()2D.23.a，b，c，d，x，y R，且P ab cd，Q ax cyB.Q PD.P Qbdxy，则A.P QC.P Q4.设x 0，y 0，x y 1，则 x y a恒成立的

7、 a 的最小值是2A.2二.填空题。B.2C.2D.2 2222x x 0，则x，x，x，x由小到大的排列顺序是_。5.假设xxx 0，P 2 2，Q sinx cosx，则P、Q 关系为 P_Q填，6.假设2，。7.假设x y 1，x 0，y 0，则x y的最大值是_。228.1112log abab，则1填或。19 19.x 0，y 0，且xy，则x y的最小值是_。x2 2x 2y x 1x 110.函数的图象的最低点的坐标是_。三.解答题。a2b2a b22a ba b11a b 0，求证：a，b，c R12.，且a b c 1，求证：111(1)(1)(1)8bc1a.z.-2a2b2 c21313.求证：2 log32 log23 514.设a b c 1，a2b2 c2 1，且a b c。1求证：3 c 0【试题答案】一.选择题。1.B2.C3.D4.B二.填空题。5.x x2 x2 x6.7.18.9.1610.0，2三.解答题。11.略a b ca12.1原式左边(a1)(b ca b cb1)(c1)每个因式中利用平均值定理1(a b c)22取差法。注意到33。13.一边用均值定理，另一边用分析法。14.a b c 1，a b 1c1由知：a、b 是方程x21 cx c2 c 0 3 的两个根设f(x)x21 cx c2 c1解得：3 c 0.z.