三角函数的诱导公式.pdf

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1、三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式教案分析教案分析本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.在诱导公式的学习中,主要贯输的是一种化归思想教案目标教案目标1.1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程。培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2.2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3.3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点重点难点教案重点:五个诱导公

2、式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教案难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排课时安排 2 课时教案过程教案过程第第 1 1 课时课时导入新课（导入新课（2 2 分）分）思路思路 1.1.利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.复习诱导公式一及其用途.思路思路 2.2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为 0到 360(0 到 2)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于 90到 360(到 2)范围内的角的三角函数怎2样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转

3、化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.提出问题：提出问题：由公式一把任意角转化为0,360)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值活动活动:（6+16+1 分）分）在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.学生思考讨论如下问题学生思考讨论如下问题:9090到到 360360的角的角能否与锐角能否与锐角相联系相联系讨论结果讨论结果:（2 2 分）分）通过分析,归纳得出:如图 1.0,90,180,90,180,=180,180,270,360,270,360,图 1提出问题提出问题讨论锐角

4、与180 的终边位置关系如何它们与单位圆的交点的位置关系如何任意角与180 呢活动（活动（6+16+1 分）分）:分为锐角和任意角作图分析:如图 2.引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论为锐角还是任意角,的终边都是的终边的反向延长线,利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P1x,y和P2 x,y.指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:图2sin 180 sin,cos180 cos,tan 180 tan并指导学生写出角为弧度时的关系式:ooooosin sin,cos cos,tan tan

5、讨论结果讨论结果:（2 2 分）分）锐角的终边与 180+角的终边互为反向延长线.它们与单位圆的交点关于原点对称.任意角与 180+角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题提出问题类比研究360 与的关系如何（即（）与的关系）o活动活动:（6+16+1 分）分）让学生在单位圆中讨论与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角和的终边的位置关系。它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin sin,cos cos,tan tan注意:无论 是锐角还是任意角,公式均成立.讨论结果讨论结果:（1 1 分）分）

6、角的终边与角的终边关于 x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题提出问题有了以上公式,我们再探讨与的关系如何活动活动:（6+16+1 分）分）讨论与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角和的终边的位置关系。它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin sin,cos cos,tan tan强调无论是锐角还是任意角,公式均成立.讨论结果讨论结果:（1 1 分）分）角的终边与角的终边关于 y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用示

7、例应用例 1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225。(2)sin1116。(3)sin33。(4)cos(-2 040).活动活动（6+16+1 分）分）:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：解：(1)cos225=cos(180+45)=-cos45=(3)sin(2113。(2)sin=sin(4)=sin=。2233316163)=-sin=sin(5+)=(sin)=。233331.2(4)cos(2 040)=cos2 040=cos(6360120)=c

8、os120=cos(18060)=cos60=点评点评:利用公式一至四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，负化正、大化小，划到锐角才知道课堂小结（课堂小结（2 2 分）分）.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.作业作业课本习题 1.3A 组 2、3、4.第第 2 2 课时课时引入：引入：（2 2 分）分）上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.提出问题：提出问题：终边与角的终边关于直线y x对称的角

9、有何数量关系活动活动:（8 8 分）分）我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线y x对称的角的数量关系.教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.讨论结果讨论结果:（4 4 分）分）如图 3,设任意角的终边与单位圆的交点 P1的坐标为x,y,由于角于直线y x对称,角的终边与角的终边关2的终边与单位圆的交点P2与点2P1关于直线y x对称,因此点 P2的坐标是y,x,于是,我们有sin y,cos x图 3cos y,sin x22从而得到公式五:cos y2sin x2提出问题提出问题

10、:能否用已有公式得出2的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式活动活动:（8 8 分）分）教师点拨学生将转化为,从而利用公式四和公式五达到我22们的目的.因为可以转化为,所以求角的正余弦问题就转化为利222用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果讨论结果:（1 1 分）分）公式六cos sin2sin cos23sin(2 a)cos(a)cos(a)cos(a)22例例 1 1（8 8 分）分）化简.3cos(a)sin(3 a)sin(a)sin(a)2活动活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.(sina)(cosa)(sina)cos(解解:原式=2a)(cosa)sin(a)sin(a)sin(2a)sin2acosacos(a)sin2=tan.cosa(cosa)sina(sina)sin(a)2课堂小结（课堂小结（2 2 分）分）作业作业1.课本习题B 组 2.2.总结概括公式一至六