家家学网络名师小班辅导教案-初中数学-全等三角形中的截长补短学生版.pdf

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1、第九讲全等三角形中的截长补短中考要求考试要求考试要求板块板块A级要求级要求全等三全等三角形的角形的性质及性质及判定判定B级要求级要求C级要求级要求掌握全等三角形的概念、判会运用全等三角会识别全等三角定和性质，会用全等三角形形的性质和判定形的性质和判定解决简单问题解决有关问题知识点睛全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共

2、边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法：第 1 页(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5)斜边、直角边定理(HL)：

3、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线奥数赛点：奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底重、难点重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL例题精讲板块一、截长补短【例【例1 1】(06年北京中考题年北京中考题)

4、ABC中，中，A 60，BD、CE分别平分分别平分ABC和和.ACB，BD、CE交于点交于点O，试判断，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明【例【例2 2】如图，点如图，点M为正三角形为正三角形ABD的边的边AB所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点(点点B除外除外)，作，作DMN 60，射线，射线MN与与DBA外角的平分线交于点外角的平分线交于点N，DM与与MN有怎样的数有怎样的数量关系量关系?【例【例3 3】如图如图 2-9 所示所示 正方形正方形ABCD中，中，M为为CD的中点，的中点，E为为MC上一点，上一点，且且BAE=2DAM求证：求证：AE=BC+

5、CE第 2 页【例【例4 4】(“希望杯竞赛试题“希望杯竞赛试题)如图，如图，ADAB，CBAB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，AMD=75，BMC=45，那么，那么AB的长为的长为 ()()A.aB.kC.【例【例5 5】：如图，：如图，ABCDk hD.h2是正方形，是正方形，FAD=FAE.求证：求证：BE+DF=AE.【例【例6 6】以以ABC的的AB、AC为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结，连结CD、BE相交相交于点于点O求证：求证：OA平分平分DOE【例【例7 7】(北京市数学竞赛试题，北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题天津市数学竞赛试题)如下图

6、，如下图，ABC是边长为是边长为1的正的正三角形，三角形，BDC是顶角为是顶角为120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60的的MDN，点点M、N分别在分别在AB、AC上，求上，求AMN的周长的周长【例【例8 8】如下图，如下图，ABC是边长为是边长为1的正三角形，的正三角形，BDC是顶角为是顶角为120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60的的MDN，点，点M、N分别在分别在AB、AC上，求上，求AMN的周长的周长【稳固】【稳固】(全国数学联合竞赛试题全国数学联合竞赛试题)如下图，在如下图，在ABC中，中，AB AC，D是底边是底边BC上上的一

7、点，的一点，E是线段是线段AD上的一点，且上的一点，且BED 2CED BAC，求证，求证BD 2CD.【例【例9 9】五边形五边形ABCDE中，中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：，求证：AD平分平分CDE【稳固】【稳固】(2021浙江湖州浙江湖州)假设假设P为为ABC所在平面上一点，所在平面上一点，且且APBBPC CPA120，那么点那么点P叫做叫做ABC的费马点的费马点 假设点 假设点P为锐角为锐角ABC的费马点，的费马点，且且ABC 60，PA3，PC 4，那么那么PB的值的值为为_；如图，在锐角 如图，在锐角ABC外侧作等边外侧作等边ACB，连结，连结B

8、B求证：求证：BB过过ABC的费马点的费马点P，且，且BB PA PB PC板块二、全等与角度【例【例1010】如如图，图，在在ABC中，中，BAC 60，AD是是BAC的平分线，的平分线，且且AC AB BD，求求ABC的度数的度数.【例【例1111】在在等腰等腰ABC中，中，顶角顶角A 20，在边在边AB上取点上取点D，使使AD BC，求求BDC.AB AC，【例【例1212】(“勤奋杯数学邀请赛试题“勤奋杯数学邀请赛试题)如下图，在如下图，在ABC中，中，AC BC，C 20，又，又M在在AC上，上，N在在BC上，且满足上，且满足BAN 50，ABM 60，求，求NMB.【例【例1313

9、】在在四边形四边形ABCD中，中，AB AC，ABD 60，ADB 76，BDC 28，求，求DBC的度的度数数.【例【例1414】(日本算术奥林匹克试题日本算术奥林匹克试题)如下图，如下图，在四边形在四边形ABCD中，中，DAC 12，CAB 36，ABD 48，DBC 24，求，求ACD的度数的度数.【例【例1515】(河南省数学竞赛试题河南省数学竞赛试题)在正在正ABC内取一点内取一点D，使，使DA DB，在，在ABC外取一外取一点点E，使，使DBE DBC，且，且BE BA，求，求BED.【例【例1616】(北京市数学竞赛试题北京市数学竞赛试题)如下图，在如下图，在ABC中，中，BAC

10、 BCA 44，M为为ABC内内第 3 页一点，使得一点，使得MCA 30，MAC 16，求，求BMC的度数的度数.【稳固】【稳固】如下图，如下图，在在ABC中，中，且且DAB 10，BAC 80，ABC 60，D为三角形内一点，为三角形内一点，DBA 20，求，求ACD的度数的度数.家庭作业【习题【习题 1 1】点】点M，N在等边三角形在等边三角形ABC的的AB边上运动，边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证，求证MN=MB+NC【习题【习题 2 2】(南斯拉夫数学奥林匹克试题，黄冈市数学竞赛试题南斯拉夫数学奥林匹克试题，黄冈市数学竞赛试题)在在ABC内取一点内取一点M，使得，使得MBA30，MAB 10.设设ACB 80，AC BC，求，求AMC.月测备选【备选【备选 1 1】如图，点】如图，点M为正方形为正方形ABCD的边的边AB上任意一点，上任意一点，MN DM且与且与ABC外角外角的平分线交于点的平分线交于点N，MD与与MN有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？第 4 页