最全最实用的指数函数复习资料(精练+答案)(共16页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 指数与指数函数指数与指数函数【知识梳理知识梳理】一、指数运算一、指数运算1、根式、根式（1）概念：若（） ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “”是方根的记号nxaNnn且 1n（2）a 的 n 次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根 ； nnaa n 为奇数，=a；n 为偶数，=|a|=nnanna. 0, 0,aaaa2、有理数指数幂、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义： （注：无意义） ；)0( 1

2、0Raaa且00 ； ) 1, 0(*nNnmaaanmnm ) 1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm（2）指数幂的运算性质 ； (0, ,)rsr saaaar sR ；(0, ,)rsr saaaar sR ； (0, ,)srrsaaar sR ( ,0,)rrrababa brR二、指数函数二、指数函数1、指数函数的概念：、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义) 1, 0(aaayx且域为 R注意：注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数、指数函数的图象与性质的图象与性质) 1, 0(aaayx精选优质文档-倾情

3、为你奉上专心-专注-专业0a1图象xOy=1(0,1)xOy=1(0,1)定义域定义域：R值域为：值域为：(0,+ ) 过定点：过定点：(0,1)，即 x=0 时，y=1当时，；0 x10 y当时，0 x1y当时，；0 x1y当时，0 x10 y性质在在 R 上单调递减上单调递减在在 R 上单调递增上单调递增【典型例题典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算题型一、根式的化简、指数幂的运算例题例题 1：化简：（1）； （2）； （3）77)2(44)3(44)2( a【解析】 （1）； （2）； （3）= 2)2(773)3(4444)2( a. 2,2, 2, 2aaaa【点评】不注意 n

4、 的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，nna记准，记熟，会用，活用本题易错的是第（3）题，往往忽视 a 与 2 大小的讨论，造成错解例题例题 2：计算：（1）； （2） 1011230.25610 2323333363【解析】 （1）原式；382032101234 （2）3=333 3=3=32=9333632131616131211【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算变式变式 1：化简：（1）； )31()3)(656131212132bababayy精选优质文档-倾情

5、为你奉上专心-专注-专业（2）；14623)(yxyx)0, 0(yx （3）52 674 364 2【解析】 （1）原式=；)31(3)( 612132a653121baab990 （2）原式；21121622)21(1)21(46)6(31yyxyxyx （3）原式22223223)22()32()23(222【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式变式变式 2：若，则_ 103x104y210 x y【解析】 494310101010102222yxyxyx【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将、看作一个整体，再进行1

6、0 x10y代数运算题型二、指数函数概念、定义域和值域题型二、指数函数概念、定义域和值域例题例题 3：下列函数中属于指数函数的有（ ）个（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；xy3213xyxy)3(xy)31(23xy xy 4（7）xay) 12(A2 B3 C4 D5【解析】选 A只有（4） （6）属于指数函数的形式) 1, 0(aaayx【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别要注意函数中是) 1, 0(aaayx否有表明的取值范围a例题例题 4：求下列函数的定义域和值域：求下列函数的定义域和值域：（1） 2； （2）()； （3）y=ax-1 (a0，a

7、1) y41xy32|x【解析】 （1）令 x-40，则 x4，所以函数 y=2的定义域是xRx4 ，41x又因为0，所以 21，即函数 y=2的值域是y|y0 且 y1 41x41x41x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 （2）因为-|x|0，所以只有 x=0. 因此函数 y=()的定义域是xx=0 32|x 而 y=()=()0=1，即函数 y=()的值域是yy=1 32|x3232|x （3）定义域为 R，因为的值域为，所以的值域为xay ), 0( 1xay), 1(【点评】由于指数函数 y=ax,(a0 且 a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借

8、助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性例题例题 5：如图，设 a,b,c,d0，且不等于 1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则 a,b,c,d 的大小顺序 【 】A、abcd B、abdcC、badc D、bacd【解析】a1=a 直线 x=1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故 bad1 时，指数函数底数越大，图象越靠近 y 轴；当 0底数5(+aaayx【解析】因为 y=ax过点（0，1） ，所以当 x=0 时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6） 【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点变式变式 4：已知指数函数的图象过点（） ，

9、, 3（1）求的值； (-3)，(1)，(0)fff（2）利用图像比较三个函数值的大小【解析】 （1）设指数函数 f (x)=ax（a0 且 a1）因为图象过点（3,） ，所以 f (3)=a3=，即 a= ，f (x)=(31)x31 再把 0,1,3 分别代入,得：f (0)=0=1，f (1)=1=，f (-3)=-1=1（2）由图易知 f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式变式 5：当时，函数和的图象只可能是（ ）a 0yaxbaxby y=dxy=cxy=bxy=axOyx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1xyO1xyO

10、1xyO1xyOA B C D【解析】选项 A 中一次函数，指数函数应是减函数，故 A 对1, 0ba 选项 B 中一次函数，指数函数应是增函数，故 B 错1, 0ba 选项 C 中一次函数，指数函数应是减函数，故 C 错1, 0ba 选项 D 中一次函数，指数函数应是增函数，故 D 错1, 0ba 故答案选 A【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键ba,题型三、解指数式方程、不等式题型三、解指数式方程、不等式例题例题 6：解下列方程：（1）； （2）12321xx12122xx【解析】 （1）；236612323112321xxxxxx （2）34012122122xx

11、xxxx或【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解例题例题 7：解下列不等式：（1）； （2）1614x14221xx【解析】 （1）410141614xxx （2）5114222211414xxxxxxx【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解变式变式 6：解下列方程：（1）； （2）273291xx2353252xx【解析】 （1）原方程化为63-x27=0，(3-x3)(3-x9)=02)3(x 3-x30，由 3-x9=0 得 3-x=32，故 x=2 是原方程的解精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 （2）原方程化为，0235)3(3222

12、xx0)23)(13(23xx ，得，0)23(2x0133x133x3x【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把看成未知数，解得的一元二x3x次方程的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验x3题型四、指数函数性质的应用题型四、指数函数性质的应用例题例题 8：比较下列两个数的大小：（1）； （2）；0.70.83 ,30.1-0.10.75 ,0.75（3）； （4）,21.60.60.8 ,1.832)31(53【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数 y=3x在 R 上是增函数，0.80.7，所以 30.830.7；对（2）因

13、为函数 y=0.75x在 R 上是减函数，0.1-0.1，所以 0.75-0.10.750.1；对（3）由指数函数的性质知 1.80.61.80=1=0.800.81.6，所以 1.80.60.81.6；对（4）由指数函数的性质知()()0=1=202，所以()2 31323153313253【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1” ，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”例题例题 9：求函数的单调区间和值域232312xxy【解析】令在上递减，在上递增，又为减函数

14、，223132()24uxxx3(, 23 ,)2uy312所以在上递增，在上递减，当时，为最大值，232312xxy3(, 23 ,)223x44132312y所以的值域为232312xxy32 , 0(4精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间变式变式 7：已知是奇函数，求常数的值mxfx132)(m【解析】由是奇函数，得，)(xf0)()(xfxf即，得0132132mmxx023132132mxxx0231) 13(2mxx1m【点评】此题中函数的定义域为，所以不能利用来求解，应利用奇函数的定义0

15、 x0)0(f求出值)()(xfxfm变式变式 8：判断函数的单调性、奇偶性1212)(xxxf【解析】任取，使，Rxx21、21xx ，) 12)(12()22(212121212)()(2121221121xxxxxxxxxfxf因为，所以，为增函数，所以，所以02 x0) 12)(12(21xxxy202221xx，0)()(21xfxf所以在上单调递增；)(xfR，所以为奇函数)(2121) 12(2) 12(21212)(xfxfxxxxxxxx)(xf【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘化简，从而比

16、较与的关系x2)( xf )(xf【方法与技巧总结方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练习巩固练习】1

17、下列各式中正确的是（ ） A、=a B、= C、a 0=1 D、=.44a62)2(32105) 12() 12(2将化为分数指数幂的形式为（ ） 322A、 B、 C、 D、 2123122126523函数 f (x)的定义域是（ ）x21A、 B、 0 ,), 0 C、 D、)0 ,(),(4下列函数中，值域为的函数是（ ）, 0A、 B、 C、 D、 xy2312 xy12 xyxy2215已知指数函数图像经过点，则 )3 , 1(p)3(f6若= a-1，则 a 的取值范围为 122a-a7=_ 48373)27102(1 . 0)972(0322218若函数是奇函数，则=_141)(

18、xaxfa9已知函数，求其单调区间及值域22513xxy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业10已知函数.( )f xxx22（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：是区间上的增函数；( )f x), 0( （2）若，求的值 325)(xxfx【课后作业课后作业】1下列各式中成立的一项（ ）A、 B、 C、 D、7177)(mnmn31243)3(43433)(yxyx3339 2化简(a, b 为正数)的结果是（ ）4216132332)b(abbaabA、 B、ab C、D、a2babba3设，则（ ）1.50.90.4812314,8,2yyyA、 B、 C、 D、312yyy2

19、13yyy132yyy123yyy4函数的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） bxaxf)(A、 B、0, 1ba0, 1baC、 D、0, 10ba0, 10ba5函数的定义域是（ ）1xye精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业A、 B、 C、 D、(0,)0,)(1,)1,)6函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）1)1(222)(xaxxf), 5 aA、6,+ B、 C、 D、), 6( 6 ,()6 ,(7设 5x=4，5y=2，则= yx258= 105432)(0625. 08334169函数的图象恒过定点_) 10(33aaayx且10若函数

20、是奇函数，则=_141)(xaxfa11已知，求的最小值与最大值3,2x 11( )142xxf x 12已知xxxxxf10101010)(（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：是定义域内的增函数；)(xf（3）求的值域)(xf【拓展训练拓展训练】1化简，结果是（ ）1111132168421212121212A、 B、 C、 D、113211 2211321 21321 213211 22精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）(1)(0,1)xyabaaA、B、01ba且010ba且C、 D、010ba且11ba且3设集合，则是 （ ）2

21、 |3 , |1,xSy yxR Ty yxxRSTA、 B、 C、 D、有限集TS4是偶函数，且不恒等于零，则（ ）2( )1( )(0)21xF xf x x( )f x( )f xA、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数5函数的图象是（ ）) 1(|aayx 6函数164xy 的值域是（ ）A、0,) B、0,4 C、0,4) D、(0,4)7 （2010 重庆）函数 412xxf x的图象（ ）A、关于原点对称 B、关于直线 y=x 对称 C、关于 x 轴对称 D、关于 y 轴对称8方程的解 08417214xxx9函数在区间上的最大值比

22、最小值大，则=_) 10()(aaaxfx且2 , 1 2aa10若，求的值32121xx23222323xxxx11如果函数在上的最大值为 14，求实数的值) 10( 122aaaayxx且1 , 1a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12已知) 1, 0)(1)(2aaaaaaxfxx（1）判断的奇偶性；)(xf（2）讨论的单调性；)(xf（3）当时，恒成立，求 b 的取值范围 1 , 1xbxf)(13 （2006 重庆文）已知定义域为 R 的函数abxfxx122)(是奇函数（1）求 a,b 的值；（2）若对任意的Rt ，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求 k 的取

23、值范围【参考答案参考答案】一、巩固练习答案一、巩固练习答案1、选D2、选原式 A2131)211(22精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3、选由得，从而A021x12 x0 x4、选注意先确定定义域D5、设，把代入得，271xay )3 , 1(31a27131)3(3f6、，得，所以1a1) 1(1222aaaa01a1a7、100原式10048373169100358、由得210)0(f21a9、解：令，由于为减函数，所以在单调递4) 1(5222xxxuuy3122513xxy 1,(增，在单调递减，当时，取到最大值，所以值域为), 11xy811811, 0(10、 （1）证明

24、：任取，使，Rxx21、21xx )22)(211 ()22(22)()(2121212121xxxxxxxxxfxf 因为，所以，又，所以，021 xx12121xx021121xx02221xx0)()(21xfxf 所以在上是增函数)(xf), 0( （2）解：由得，即，得或32522xxxxx2351)2(20423)2(2xx42 x，得12x2x二、课后作业答案二、课后作业答案1、选 D2、选原式 Cbabaabbaba37343235323721233231)(3、选，由指数函数单调性C8 . 19 . 02122y44. 148. 03222y5 . 1)5 . 1()1(32

25、2y得132yyy4、选 D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业5、选 B6、选是增函数，所以在上单调递增，所以，Cuuf2)(1) 1(22xaxu), 5 52) 1(2a解得6a7、8 8245)5(5222yxyx8、5原式5211212325211161827425439、根据指数函数恒过点可得出)4 , 3(xay ) 1 , 0(10、由得，得210)()(xfxf0141141xxaa024114axx21a11、解：令，则，xu218 ,41u在上单调递减，在上单调递增，43)21(122uuuy21,418 ,21当，即时，；当，即时，21u1x43)(minxf8u

26、3x57)(maxxf12、 （1）解：的定义域为 R，且，是奇函数)(xf)(10101010)(xfxfxxxx)(xf（2）证明：方法一：1102111011010101010)(222xxxxxxxxf令 x2x1，则) 110)(110(10102)11021 ()11021 ()()(12121222222212xxxxxxxfxf当 x2x1时，10-100. 又10+10,10+10，22x12x12x22x故当 x2x1时，0，即，所以是增函数)()(12xfxf)()(12xfxf)(xf方法二：考虑复合函数的增减性由 .1102110101010)(2xxxxxxfy1=

27、10 x为增函数，y2=102x+1 为增函数，y3=为减函数，y4=为增函数，为增函数11022x11022x11021)(2xxf在定义域内是增函数xxxxxf10101010)(精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（3）解：方法一：令，由解得 102x=)(xfy ,11011022xxyyy11102x 0，即的值域为（-1，1）11y)(xf方法二：=1-,102x 0,102x+1 1.)(xf11022x0 1 时，a210，yax为增函数，y为减函数，从而为增函数，所以为增函数xaxxaay)(xf当 0a1 时，a210，且 a1 时，在定义域内单调递增)(xf（3）由

28、(2)知在 R 上是增函数，在区间1,1上为增函数，)(xf) 1(f)(xf) 1 (fmin)(xf) 1(f111)(12212aaaaaaaa要使b 在1,1上恒成立，则只需 b1，故 b 的取值范围是(，1)(xf13、解：（1）因为)(xf是 R 上的奇函数，所以1, 021, 0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx 又由aaff1121412) 1() 1 (知，解得2a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1xxxxf由上式易知)(xf在 R 上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf 因)(xf是 R 上的减函数，由上式推得.2222kttt即对一切, 0232kttRt有从而31, 0124kk解得解法二：由（1）知,2212)(1xxxf又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt，即0) 12)(22() 12)(22(2222212212ktttttkt，整理得12232ktt，因底数 21，故0232ktt，上式对一切Rt 均成立，从而判别式.31, 0124kk解得