双曲线中焦点三角形的探索.pdf

《双曲线中焦点三角形的探索.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线中焦点三角形的探索.pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、双双曲曲线线中中焦焦点点三三角角形形的的探探索索基本条件：基本条件：1：该三角形一边长为焦距 2c，另两边的差的约对值为定值 2a。|PF1|2|PF2|2|F1F2|22：该三角形中由余弦定理得cosF1PF2结合定义，有2|PF1|PF2|x2y2212ab性质一、性质一、设若双曲线方程为设若双曲线方程为（a0 0，b0 0），F1,F2F1,F2 分别为它的左右焦点，分别为它的左右焦点，P P 为双曲线为双曲线上任意一点，则有：上任意一点，则有：若若F1PF2,则则F1PF2 90SF1PF2 b2cot2；特特 别别 地地，当当时，有时，有SF1PF2 b2。证明：记|PF1|r1,|

2、PF2|r2，由双曲线的定义得2r r 2r r cos(2c).F PF121 212在中，由余弦定理得：2222(r r)2r r 2r r cos 4c.121 21 2配方得：224a 2r r(1cos)4c.1 2即由任意三角形的面积公式得：1sinr1r2sin b2 b221cos2sin2SF1PF22 b2cot22sin22.cos特别地，当90时，cot21，所以SF1PF2 b2y2x2212b同理可证，在双曲线a（a0，b0）中，公式仍然成立.x2y216436例例 4 4若若 P P 是双曲线是双曲线上的一点，上的一点，F1、F2是其焦点，且是其焦点，且F1PF2

3、 60，求，求F1PF2的面积的面积.x2y21解法一：解法一：在双曲线6436中，a 8,b 6,c 10,而 60.记|PF1|r1,|PF2|r2.点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：r1r2 2a 16.22r r 2r r cos(2c).F PF121 212在中，由余弦定理得：22(r r)r1r240012配方，得：400r1r2 256.从而r1r2144.x2y212解法二：解法二：在双曲线6436中，b 36，而 60.考题欣赏考题欣赏（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理）(9)已知F1、F2为双曲线 C:x2 y21的左、右焦点，点P在C 上，F1PF2=6

4、00，则P到x轴的距离为(A)(D)6【答案】B（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文）（8）已知F1、F2为双曲线 C:x2 y21的左、右焦点，点 P在 C 上，F1PF2=600，则|PF1|PF2|(A)2 (B)4 (C)6 (D)8|PF1|2|PF2|2|F1F2|2【答案】B【解析 1】.由余弦定理得 cosF1PF2=2|PF1|PF2|PF1|PF2|436 (B)(C)322【解析 2】由焦点三角形面积公式得：|PF1|PF2|4x2y2212ab性质一推论：在双曲线性质一推论：在双曲线（a0 0，b0 0）中，左右焦点分别为）中，左右焦点分别为F1、F2，当点

5、当点 P P 是双曲线左支上任意一点，是双曲线左支上任意一点，若若PF1F2，则则PF1F2 90时，有时，有SF1PF2b2csina ccos.特别地，特别地，当当SF1PF2b2ca。当点。当点 P P 是双曲线右支上任意一点，若是双曲线右支上任意一点，若PF1F2SF1PF2b2csinccos a（双曲线渐近线的倾斜角）双曲线渐近线的倾斜角），则，则证明：i、当 P 为左支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1 r2），由双曲线的定义得r2r1 2a,r2 r1 2a，2r 4c 4r1ccos r2.F PF112在中，由余弦定理得：22r 4c 4r ccos(r 2a

6、).111代入得222b2r1a ccos。求得SF1PF211b2b2csinr1F1F2sin2csin22 a ccosa ccos得证SF1PF2b2ca特别地，当90时，ii、当 P 为右支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1 r2），由双曲线的定义得r1r2 2a,r2 r12a，2r 4c 4r1ccos r2.F PF112在中，由余弦定理得：22r 4c 4r ccos(r 2a).111代入得222b2r1ccosa。求得SF1PF211b2b2csinr1F1F2sin2csin22 ccos accos a得证x2y216436例例 5 5（1 1）若若 P

7、 P 是双曲线是双曲线左支上的一点，左支上的一点，F1、F2是其焦点，且是其焦点，且PF1F2 60，求，求F1PF2的面积的面积.y2x 14（2 2）若）若 P P 是双曲线是双曲线右支上的一点，右支上的一点，F1、F2是其焦点，且是其焦点，且PF1F2 60，2求求F1PF2的面积的面积.x2y21（1）解解 法法 一一：在 双 曲 线6436中，a 8,b 6,c 10,而 60.记|PF1|r1,|PF2|r2.点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：r2r1 2a 16.r216 r12r 4c 4r1ccos r2.F PF112在中，由余弦定理得：22解得：r13613x2y212

8、a 8,b 6,c 10,b 36，而 60.6436解法二：解法二：在双曲线中，y2x 14（2）解解 法法 一一：在 双 曲 线中，a 1,b 2,c 5,而 60.记2|PF1|r1,|PF2|r2.点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：r1r2 2a 2.r2 r122r 4c 4r1ccos r2.F PF112在中，由余弦定理得：22解得：r1 8(5 2)x2y2126436解法二：解法二：在双曲线中，a 8,b 6,c 10,b 36，而 60.1 2,PF2F1,性质二、双曲线的焦点三角形性质二、双曲线的焦点三角形 PF1F2PF1F2 中，中，PFF当点当点 P P 在双曲线右支上时，有在双曲线右支上时，有tane1cot;22e1e1tan22e1当点当点 P P 在双曲线左支上时，有在双曲线左支上时，有cot|F2P|FP|FF1 2|1证明：由正弦定理知sinsinsin()|F2P|FP|FF1|1 2|由等比定理，上式转化为sinsinsin()cossin22，得分子分母同除以