2019高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系12 面面垂直的性质学案 苏教版必修2.doc

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1、1面面垂直的性质面面垂直的性质一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明面面垂直的性质1. 理解面面垂直性质定理的含义；2. 能运用性质定理证明相关问题；3. 理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化。选择题填空题解答题垂直关系是高考的重点内容，同学们要多练习多思考，认真掌握。其中二面角的平面角是难点。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：平面和平面垂直的性质定理及二面角的平面角问题。难点：难点：平面和平面垂直的性质定理的应用及二面角的平面角问题考点一：平面与平面垂直的性质考点一：平面与平面垂直的性质1. 平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于

2、它们交线的直线垂直于另一个平面。符号语言，l，a，ala图形语言简记为：面面垂直线面垂直2 .平面与平面垂直的其他性质（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。其图形语言和符号语言如下：,l AAa aa （2）如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面， 即, （3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即,ll 2（4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即 , , ,l mlm mn nl n 考点二：二面角的求法考点二：二面角的求法【规律总结规律总结】作二面角的一般方法（1）定义法：在二面角的棱

3、上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图，则AOB为二面角l的平面角。由定义法作出二面角的平面角，若已知二面角的两个面是特殊的三角形（如以棱为公共边的两个等腰三角形） ，这时可以选取棱上的特殊点，如公共底边的中点或公共底边上高的垂足，从特殊点出发根据定义作出二面角的平面角。（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角，如图，AOB为二面角l的平面角。（3）线面垂直法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角，如

4、图，AOB为二面角l的平面角，这种方法是求二面角大小最常用的方法。（4）射影面积法设二面角ABCA为，过A作AA于点A，过A作A DBC于点D，连接AD，则A DA是二面角ABCA的平面角，于是12cos1 2A BCABCA D BCSA D ADSAD BC 。【要点诠释要点诠释】对于特殊图形，不易作出二面角的平面角时，可用上述公式计算。【规律总结规律总结】求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样，步骤如下：3简称为“一作二证三算四答” 。例题例题 1 1 （平面与平面垂直的性质定理在立体几何证明题中的应用）（平面与平面垂直的性质定理在立体几何证明题中的应用）（洛阳）如图，P是

5、ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC。思路分析：思路分析：答案：答案：证明：过A作AEPC于点E，由平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC，可知AE平面PBC，又BC平面PBC，故AEBC，又PA平面ABC，BC平面ABC，故PABC，PAAEA，BC平面PAC，又AC平面PAC，故BCAC。技巧点拨：技巧点拨：1. 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题。2. 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，

6、要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线。例题例题 2 2 （求二面角）（求二面角）如图，四棱锥PABCD是底面边长为 1 的正方形，PDBC，PD1，PC2。4（1）求证：PD面ABCD；（2）求二面角APBD的大小。思路分析：思路分析：（1） 利用线面垂直的判定定理；（2） 利用线面垂直法找出二面角的平面角，在三角形中计算角的大小。答案：答案：（1）证明：PDDC1，PC2，PDC是直角三角形，即PDCD，又PDBC，BCCDC，PD面ABCD；（2）解：连接BD，设BD交AC于点O，过O作OEPB于点E，连接AE，PD面ABCD，

7、AOPD，又AOBD，AO面PDB，AOPB，又OEPB，OEAOO，PB平面AEO，从而PBEO，故AEO就是二面角APBD的平面角，PD面ABCD，PDBD，在 RtPDB中，PB22PDBD123，又OEOB PDPB，OE6 6，tanAEOAD OE2 236 6，AEO60，故二面角APBD的大小为 60。技巧点拨：技巧点拨：用线面垂直法作出二面角是最常用的找平面角的方法，关键是找到线面垂直关系。5垂面法求二面角的平面角垂面法求二面角的平面角【满分训练满分训练】如果二面角l的平面角是锐角，点P到，和棱l的距离分别为22、4 和 42，求二面角的大小。思路分析：思路分析：点P可能在二

8、面角l内部，也可能在外部，应分别处理。答案：答案：如图（1）是点P在二面角l的内部的情况。图（2）是点P在二面角l的外部的情况。PA，PAl，ACl，l平面PAC，同理，l平面PBC，而平面PAC平面PBCPC，平面PAC与平面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，则ACB是二面角l的平面角，在 RtAPC中，sinACP2 21 24 2PA PC，ACP30，在 RtBPC中，sinBCP42 24 2PB PC，BCP45，故ACB304575或ACB453015。即二面角l的大小为 75或 15。技巧点拨：技巧点拨： 本题主要考查求二面角的另一种方法“垂面法” ，所谓“垂面法”即过棱上一点作棱的垂直 平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角即为二面角 的平面角。