《寿险精算学》PPT课件.ppt

《《寿险精算学》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《寿险精算学》PPT课件.ppt（365页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 寿险精算学教材指定教材王晓军，寿险精算学，中国人民大学出版社，2005。参考资料Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.背景知识保险的基本概念精算学及其应用领域寿险精算学的基本思想精算师精算师职业资格考试保险的概念保险的概念投保人根据合同约定，向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险

2、行为。关键概念保险合同可保风险保险合同 保险单，是投保人与保险人约定保险权利义务的协议。保险分类人身保险寿险健康险意外险财产保险车险房屋保险火灾险信用险知识产权保险人身保险人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险，保险事故是人的生、老、病、死、残等。人身保险是比人寿保险更广的概念，但目前在保险市场上经营人身保险业务的保险公司名称都是人寿保险公司。保险法规定财产保险业务，包括财产损失保险，责任保险，信用保险等保险业务人身保险业务包括人寿保险，健康保险，意外伤害保险等业务。同一保险人不得同时兼营财产保险业务和人身保险业务。但是，经营财产保险业务的保险公司经保险监督管理机构核定，可经营短期健康保险

3、业务和意外伤害保险业务。保险中为什么需要精算，精算是什么？精算学及其应用领域精算学概念以概率论和数理统计为基础，与经济学、金融学及保险理论相结合的具有应用性和交叉性的学科。应用领域保险领域社会保障领域投资领域所有与风险评估，控制相关领域精算学是评价风险和制定经济安全方案的方法体系。风险：是一种不确定性，风险的发生可能造成损失，通常风险指不确定性不利的一面。（如：书中3面的例子）保险经营的对象是风险，所以需要精算学。保险中精算的工作确定保险费率计算准备金再保险中分出量和自留量的确定保险基金的投资运营寿险精算学基本思想损失补偿思想不能阻止风险发生，但能将风险带来的损失降低最小事先防范风险净均衡思想

4、自助互助性大数定律保险的基本运作以一年定期寿险为例：自保单生效之日起，如果被保险人在1年之内去世，则保险人向保单的受益人给付保单规定的保险金，否则合同在一年后自动失效。保单组（除保单当事人以外，所有其他条件都一样的保单构成的一个整体）：保险人签发了10000份条件相同的保单（封闭型保单组）保单组中条件：保险金额100,000 被保险人投保年龄 50 保费缴纳方式 趸交保费 死亡给付假设 保单年度末进行对保单组 0时刻：保险人指定保费（毛保费，包括给 付成本，费用和利润）投保人向保险人缴费保费 1时刻：保险人将所收到的保费中很大一部 分返回给若干出险保单 投保人中少数出险的得到索赔，赔 付额就是

5、保险额，通常是保费的数 倍，没出险的得不到任何赔付，推出利息 共同体。保费=？（保险人的工作）首先，统计调查，死亡概率0.0043 假设仅考虑纯保费，100,000*0.0043=430保险人：0时刻出售10,000张保单，收入 430*10000=4300，000 保险人：1时刻若预期死亡率与实际死亡率 相等，死了10,000*0.0043=43，总 赔付=100,000*43=4300,000=纯保 费收入 保险公司无利润也无损失 但实际上在0时刻，未来1年内死亡人数是一个随机变量，实际死亡人数43，则保费收入给付支出，对保险人的不利偏差，在死亡率风险上产生了一个损失。若实际死亡人数给付支

6、 出，保险人获得承保利润。保险人的风险：索赔数超过了保险人的预期，即随机变量的不利偏差。投保人：1时刻单个投保人中发生索赔和未 发生索赔的投保人之间发生了转 移支付。整个保单组由大数定律几乎可以 确定收支平衡保险的基本特性（书6面）自助互助保费的返还性大数定律的保证保险产品的保障性功能精算师精算师金融、保险、投资和风险管理的工程师。精算师的职责 保证风险经营的财务稳健性对风险和损失的预先评价对风险事件做出预先的财务安排精算管理和控制系统产品产品设计设计经验经验数据数据分析分析风险风险分析分析定价定价负债负债评估评估资产资产评估评估资产资产负债负债管理管理偿付偿付能力能力评价评价利润利润分析分析

7、精算师职业资格考试精算师执业资格认证考试体系北美、英国、日本、中国认可标准1998年，欧共体精算协会顾问团公布了欧洲精算培训核心大纲，以此建立欧洲国家精算师互相资格认可1998年国际师精算协会通过了国际精算教育指南和培训大纲，要求至少到2005年以后正是会员的资格符合教学大纲的要求2000年，北美精算学会，英国精算学会对各自的教育大纲进行修改，向国际精算师协会推荐的教育体系靠拢2000年底，开始中国精算师资格考试，2004年，中国精算师分寿险和非寿险两个方向考试。课程结构利息理论基础 生命表基础净保费计算 净责任准备金计算产品定价责任准备金评估案例分析 第二部分第二部分 生命表函数与生命表构造

8、生命表函数与生命表构造第二部分生命表函数生命表函数(3.2节节)参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设多重损失模型和多损因表多重损失模型和多损因表生命表生命表生命表生命表理论理论理论理论3.2节 生存函数定义意义：新生儿能活到 岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数 ：基本函数剩余寿命的生存函数 ：特别：基本函数 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概

9、率 整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729)Gompertze模型(1825)有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果

10、不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把H

11、alley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）3.1节 生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：生命表的构造(3.1节)个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作生命表的构造 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：例1：已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。例1答案生命表实例（美

12、国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.893.5节 生命表的编制生命表编制的一般方法 实际同批人生命表 假设同批人生命表选择终极

13、生命表 在人口分析中，可以按性别、地区、种族等对人口进行分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。保险精算中反映死亡规律的经验生命表与人口生命表是不同的，因保险只提供给符合健康标准的人。选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用选择-终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0297.0374.0

14、463.0566.0652 7773.0228.0324.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326.0464.0586.0727.0889.1024 823.3节 有关分数年龄的假设 使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法

15、常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci例2已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：例2答案例2答案例2答案第二部分生命表函数生命表函数参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设多重损失模型和多减因表（第四章）多重损失模型和多减因表（第四章）生命表生命表生命表生命表理论理论理论理论使用背景如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。

16、就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面章节中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。多损失模型的构造两变量模型 多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间 ，在寿险场合它可以表示为剩余寿命；变量二是状况终止的原因 ，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令 表示死亡，表示退保。相关函数联合密度函数边际分布函数事件的概率

17、多重损失函数（一）由原因j引起且损失发生在时间t之前的概率 由原因j引起的损失发生的概率 多重损失函数（二）的密度函数 的分布函数 多重损失函数（三）由各种原因引起且损失发生在时间t之前的概率 损失不会发生在时间t之前的概率 多重损失函数（四）x+t时刻由原因j造成的损失效力 x+t时刻由所有原因造成的总损失效力 多重损失函数（五）给定损失时间t，J的条件概率函数 例3考虑2个损失原因的多重损失模型，其损失效力分别为：计算该模型的联合、边际、条件概率密度函数。计算例3答案（一）例3答案例3答案多减因随机残存组定义考察一组a岁的 个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度

18、函数确定：随机残存组函数 ：在年龄 x与x+n之间因原因j而离开的成员的期望个数 ：在年龄 x与x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数 随机残存组函数 ：原先 个a岁成员在x岁时的残存数随机变量的期望确定性残存组的定义总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。则一组 个a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力 演变，则原先 个a岁成员在x岁时的残存数为 确定性残存组函数 ：在年龄 x与x+1之间因各种原因而离开的成员数 ：现在x岁，将来因为原因j而终结的个体数确定性残存组函数 ：因原因j而引起的损失效力 ：各种原因引起的总损失效力绝对损失率单重损失函数定义 称为绝对损失率，是

19、指原因j在 的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净损失率（net probabilities of decrement）或独立损失率(independent rate of decrement)。基本关系常数损失效力假定假定条件等价推出关系式均匀分布假定假定条件等价推出关系式联合单减因表的各减因均匀分布可得 利用上面的关系可以推导多减因表的减因概率与联合单减因表的减因概率的关系。（见书79面）如果具备直接计算多减因表每个减因概率的数据资料，可以直接编制多减因表，如果直接编制所需的资料缺乏时，可以通过联合单减因表，用上面给出的关系式求出多减因概率。寿险精算学（三）寿险产品介绍内容传统个人寿

20、险和年金产品1投资类保险产品2附加保险3团体保险4传统寿险和年金产品人身险定期寿险意外险终身寿险两全保险健康保险生存年金投资类保险产品分红产品分红产品分红产品分红产品投连产品投连产品投连产品投连产品万能产品万能产品万能产品万能产品 常见附加险产品疾病保险医疗费用住院津贴收入补偿意外险Cycle nameCycle name主险附加产品团体保险概念团体：团体：5人以上人以上用一张保单用一张保单对一团体的人提供保障对一团体的人提供保障同一险种同一险种团体保险团体保险团体保险特点 1 1精算方法不同2 2费率不同3 3管理方式和费用不同团险种类团体年金团体年金团体意外险团体意外险团体寿险团体寿险团体

21、健康险团体健康险 第六章第六章 净保费净保费人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险 保障标的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险保障期是否有限 定期寿险 终身寿险纯保费厘定的基本假定三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定利率）。净保费厘定原理原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望

22、现时值等于支出期望现时值 基本符号 投保年龄。人的极限年龄 保险金给付函数。贴现函数。保险给付金在保单生效时的现时值死亡即刻赔付死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。死亡年末赔付死亡即刻赔付的含义 如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在事件发

23、生的当年年末，死亡年末时刻是一个离散随机变量，它距离保单生效日的时期长度就等于被保险人签约的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸交保费时通常先假定的理赔方式。主要险种的趸缴净保费的厘定n年期定期寿险终身寿险延期m年的终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的n年期的两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则 n年期定期寿险 死亡年末赔付符号：厘定：现值随机变量的方差公式记等价方差为终身寿险 死亡年末赔付符号：a.定义：从投保开始到终身的死亡保险b.假定：（x）的人x岁投保，一

24、单位元死亡末赔付c.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命d.精算现值（纯保费厘定）e.方差：VarZ=f.关系式：上式左边：x岁的 个人投保终身寿险的趸缴净保费 上式右边：x岁到生命表最大年龄w-1岁上所有死亡年末1单位元赔付支出的延期m年的n年定期寿险 a.假定：（x）的人x岁投保，从x+m年到x+m+n止，死亡赔付1单位元b.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命符号：d.精算现值（纯保费厘定）证：延期m年的终身寿险 a.假定：（x）的人x岁投保，从x+n年到被保险人终身止，死亡赔付1单位元b.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命 c.符号d.精算现值（纯保费厘定）e.关系

25、式：n年期的两全保险 a.定义：定期寿险+纯生存保险 纯生存保险：n年满期被保险人仍然存活为给付条件的保险 现值r.v.则两全保险的现值r.v.b.精算现值：延期m年的n年期两全保险 标准变额寿险定义：保险契约规定的赔付额随死亡时间的变动而不同。赔付额：or 符号：标准递增的终身寿险的精算现值 标准递增的n年定期寿险精算现值 标准递增的n年两全保险精算现值 标准递减的n年定期寿险精算现值1.标准递增的终身寿险相当于每年买一个终身寿险的精算现值 2.标准递增的n年定期寿险相当于每年买一个终身寿险 意义：0-n年每年买一个终身寿险的精算现值-n个在第n年买的终身寿险的精算现值 3 标准递增的n年两

26、全保险4标准递减的n年定期寿险一般变额寿险(终身寿险)现金随机变量:精算现值:死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险常用计算基数计算基数引进的目的：简化计算常用基数：用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费例:(x):35岁，保险金额5000元，25年定期寿险，求保单的趸缴纯保费，i=6%。例：（x）:35岁，买离散型保额5000元的30年两全保险，求该保单的趸缴纯保费，i=6%。例（x）：30岁，买离散型的递增30年定期保险，保险利益为：第1年内死亡，给付1000元，第二年内死亡，给付1100

27、元，第三年内死亡，给付1200，.在第30个保单 年度内死亡，给付3900元，求趸缴保费。例（x）：30岁，买离散型的递减20年定期保险，保险利益为：第1年内死亡，给付5000元，第二年内死亡，给付4900元，第三年内死亡，给付4800，.在第20个保单 年度内死亡，给付3100元，求趸缴保费。例6.1 某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付，根据中国人寿保险业生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%计算趸缴净保费。例6.2 某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为 死亡赔付在死亡年末，i=10%，求这一保单的精算现值

28、。1、n年定期寿险定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：岁的人，保额1元n年定期寿险基本函数关系 6.1.2节 死亡时刻赔付死亡时刻赔付符号：厘定：方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为 终身寿险 符号：两全保险 符号：精算现值：如何利用生命表计算死亡时刻的寿险现值？以终身寿险为例死亡时刻赔付趸缴净保费的厘定死亡均匀分布假设下分析：有何解释？假设死亡发生在每个年龄的中间平均来说这种赔付比在年末赔付早半年，则在复利假设下 复利：类似的在单利假设下 对定期寿险和两全保险也有类似的近似计算：例6.3

29、:某人在30岁时投保了50000元30年两全保险,预定利率为6%,根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)求趸缴净保费.例6.4:在例6.3中,如果契约规定在投保前10年死亡赔付50000元,后20年死亡赔付30000元,满期存活给付20000元,求趸缴净保费4变额年金（1）死亡时赔付的标准递增变额年金 ：t时刻的赔付额 ：死亡时赔付的终身递增寿险精算现值（2）赔付额连续递增死亡时赔付5 赔付发生在单位时间的等分点处（以终身寿险为例）：把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡给付在死亡发生的那部分期末进行的终身寿险精算现值。现值随机变量：，其中 为（x）在死亡年所活过的分数年部分，K为

30、整值余寿另外例：（死亡时赔付的延迟终身寿险）保险金额为1单位的延期5年的终身寿险，(x)岁的人的死亡力 ，利息力 ，Z为现值随机变量，求练习：1（x）:40岁的人，投保标准连续型的递减的10年定期保险；i=6%，保险利益如下图，求死力均匀分布下的趸交纯保费。例：(x)的未来寿命T=T(x)的密度函数利息力为 ，给付1个单位保额的终身寿险的现值变量为Z，计算（1）趸交纯保费（2）Z的方差（3）求 的分位数趸缴纯保费递推公式公式一：证明：理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。趸缴纯保费递推公式公式二：解释：直观意

31、义：可以分解为在x+1岁上为x岁上投保的人准备 的现值和为在xx+1岁上死亡的被保险人准备另外的 现值之和。趸缴纯保费递推公式公式三：解释：个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。趸缴纯保费递推公式公式四：解释(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。趸缴纯保费递推公式公式五：连续型终身寿险趸交纯保费的微分方程证明：其中 ，而 随机变量T(x)在 条件下的条件密度函数为：则故 上式中令综上 第6.2节 生存年金的精算现值生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期

32、（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型分类初付年金/延付年金连续年金/离散年金定期年金/终身年金非延期年金/延期年金生存年金与确定性年金的关系确定性年金支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）生存年金与确定性年金的联系都是间隔一段时间支付一次的系列付款生存年金与确定性年金的区别确定性年金的支付期数确定生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）生存年金的用途被保险人保费交付常使用生存年金的方式某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险伤残保险抚恤保险失业保险 6.2.1节 纯粹的生存保险定义：现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险

33、。也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值1经济解释：该式说明为了保证n年末每个存活的人能得到1元，在x岁投保时必须每人缴费 。例如：（x）:20岁，存活到60岁将得到1000元，i=6%可理解为 ,每人缴 ，年后形成资金 ，在岁之间死的106321人在满期时没有支付，死者的缴付费用由生存者分享，这种情况称为生存者利益，或生者利。2 ：利率和生存者利益下n年的积累系数3 其中 是利息积累因子，4 是生存积累因子。3 证明：表明(x)的n年折现系数可以分为先折现到x+t岁再折现到x岁两步完成。4证明：从上式直接得

34、到表明：在利率和生存者利下，先从x+t折现到x岁再累积到x+n岁，等于x+t岁直接累积到x+n岁。6.2.2节 生存年金的精算现值现时值支付法计算步骤 Step1:求出时刻t时给付年金的数额 Step2:确定时刻t 给付数额的精算现值 Step3：对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分总额支付法计算步骤Step1:求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间t内所有年金给付额的现值，这一现值只与利率有关Step2:将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度Step3：对第二部得到的结果按所有可能的死亡时间t进行相加或积分终身生存年金a.定义：支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔一定时

35、期发生一次支付。b.符号：-(x)的每年1单位元首付终身生存年金 -(x)的每年1单位元末付终身生存年金c.精算现值：可证明 d.类似地期末付终身生存年金的精算现值 定期生存年金e 与 的关系：证明：表明：年龄为(x)的生存者在利率为i下只要缴纳1元即可享受期初付d元的终身生存年金，一旦死亡还可在死亡的年度末获得1元的死亡收益金。定期生存年金符号 -(x)的每年1单位元n年定期期首付生存年金的精算现值。符号 -(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金的精算现值。期首付现值随机变量期首付精算现值 类似地 与 的关系：延期生存年金 定义：n年延期生存年金是从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金。

36、-(x)的n年延期每年1单位元首付终身生存年金的精算现值 -(x)的n年延期每年1单位元末付终身生存年金精算现值 关系式类似的有 延期定期生存年金 -(x)的n年延期m年定期每年1单位元首付生存年金的精算现值，是从x+n到x+n+m的生存年金。-(x)的n年延期m年定期每年1单位元末付生存年金现值随机变量精算现值 常见险种的生存年金现值总结常见险种的生存年金现值总结等额年金计算基数公式 例6.6（116面）对于(30)的从60岁起每年6000元的生存年金，预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费例6.7（116面）假设30岁开始购买从60岁起的生存年

37、金保险，契约规定，在被保险人6069岁时每年的给付额为6000元，7079岁时每年的给付额为7000元，80岁以后每年给付额为8000元，在预定利率为6%下，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费例6.8（117面）某30岁的人投保养老年金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金；若被保险人在6069岁间死亡，有其知指定的收益人继续领取，直到领满10年为止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起一生存为条件得到年金。如果年金每年支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交

38、净保费例6.9（117面）某人在30岁时购买了从60岁起每年给付10000元的生存年金，以后每年给付额以4%的比例增长，在利率4%时，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费练习已知假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：该生存年金在90岁的净保费 9091929310072390283339解：连续生存年金 定义：以生存为条件的连续支付年金。实际中得年金都是离散年金，当支付间隔足够短时，可以用连续年金近似。终身生存年金符号：现值随机变量 c.精算现值 d.关系式 (i)(ii)证明：（iii）定期生存年金 a.符号：b现值随机变量c.精算现值 延期生存年金

39、a.符号：b现值随机变量 c.精算现值 d.关系式 延期定期生存年金 a.符号：b现值随机变量 c.精算现值 d.关系式例：设死亡力 ，利息力 ，求（1）终身生存年金的精算现值 ，（2）终身生存年金现值 的标准差，（3）年付次生存年金的精算现值1符号 ：（x）的每年给付1元，一年给付m此的期首付终身生存年金2.现值3.计算 无法从生命表直接获得，只能做近似计算。在死亡均匀分布假设下 则 令则 很小时 同理可推导如下关系式(x)的n年延期每年单位元，1年m次收付的期首期末付终身生存年金(x)的n年定期1年m次收付的期首期末付生存年金例6.10.(30)买得从60岁起每年6000元的生存年金，每月

40、支付一次，求趸交净保费的近似值。（在死亡力均匀分布假设）例：（x）：30岁，60岁起每月支付500元的生存年金，在60前死亡，在死亡末给付1000元，求趸交 净保费。练习：(x):45岁，每月领取800元的期初付25年定期生存年金的精算现值（i=6%）在死亡均匀分布条件下的近似值。练习：i=6%,在死亡均匀分布假设条件下，计算60岁起退休者每月领取1000元的期初终身生存年金的精算现值。变额生存年金 一般变额生存年金 ：(x)的n年定期生存年金。若一年给付m次，期首付 若一年给付m次，期末付等差递增生存年金 终身首付标准递增年金 终身末付标准递增年金期首付n年定期标准递增年金期末付n年定期标准

41、递增年金 等差递减生存年金期首付n年定期标准递减年金期末付n年定期标准递减年金 比例变额生存年金定义：首付额等比例递增，如某些给付确定型养老金计划和社会养老保险，期给付额在一个基础水平上按一个规定的比例增长，这个规定的比例有时是价格指数或社会平均工资增长指数。(x)的n年定期期首付生存年金生存年金的递推公式 上式简单变形可得到：6.3 均衡净保费纯保费计算的历史发展 自然保费：根据被保险人的出险概率和保险金额计算保费 均衡纯保费：把自然保费在长期内均衡，平均化，在保费缴付期内每隔一定时期缴付相等 数额的保险费 净均衡计算原理平衡原理：以预定年利率和预定死亡率为基础，根据未来给付保险金额，使得未

42、来给付保险金额现值的期望值等于缴纳保费的精算现值。由该原理，均衡保费的交付以被保险人存活为条件，实际上是个生存年金，设保险金的现值为A，每次净保费为P，每次一单位元的纯生存年金为 ，则几类寿险的年缴保费终身寿险的年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次终身缴付，年缴付额记为 (x)的死亡时刻赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次终身缴付，年缴付额记为 (x)的死亡年末赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次n年缴清，年缴付额记为 (x)的死亡时刻赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次n年缴清，年缴付额记为 定期寿险年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的n年定期寿险，保费每年

43、1次t年缴清,年缴付额记为 (x)的死亡时刻赔付1单位元的n年定期寿险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为两全保险年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的n年两全保险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为 (x)的死亡时刻赔付1单位元的n年两全保险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为延期年金年缴净保费 （x）的n年延期期首付生存年金，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为 例1：设 ，其中 ，求例：（x）:30岁签发了一份死亡年末赔付终身寿险，保险金额为20000元，求：（1）普通终身寿险的年缴纯保费（2）20年限期缴费终身寿险的年缴纯保费（3）65岁缴清终身寿险的年缴纯保费练习：设年龄为25岁的

44、人，买15年定期寿险，保险金额为1000元，求年缴纯保费。练习：（x）:25岁，购买保险金额为1000元的半连续式寿险保单，i=6%，计算（1）普通终身寿险，（2）35岁定期寿险，（3）35年两全保险，（4）35年限期缴费终身寿险。例6.13 证明证：经济含义：(x)岁时的1元等于从x岁开始每年初的终身生存年金，也等于(x)存活年每年初1元预付利息d和(x)死亡年年末的1元给付现值之和。（x）死亡年末的1元给付又等于每年初 的生存年金，这样，在每年初的 等于每年初的 。（2）代入(1)即得。经济含义：假设一个x岁的人借了趸交净保费 购买1元终身寿险，若在他的有生之年每年初还 ，在死亡年末从1元

45、保险金中归还 ，则正好还清 。这相当于对(x)每年缴 的保费获得在死亡年末的 的保险金，因此1元保险金的每年保费为即常见险种的完全离散净均衡保费总结险种险种保费公式保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险完全连续年缴净均衡保费的厘定（以终身人寿保险为例）条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）厘定过程：常见险种的完全连续净均衡保费总结险种险种保费公式保费公式终身人寿保险终身人寿保险n年定期寿险年定期寿险n年两全保险年两全保险h年缴费终身人寿保险年缴费终

46、身人寿保险h年缴费年缴费n年两全保险年两全保险n年生存保险年生存保险m年递延终身生存保险年递延终身生存保险 6.3.5节 一年多次缴费的净保费 符号一年m次缴费各类寿险年缴净保费 见表6-1（130面），将前面各种一年1次缴费寿险的年缴净保费公式中的 改为延期生存年金的均衡保费 年金支付在期首的终身生存年金，延期n年，年金现值 支付方式：n年缴清，每年m次（缴费不延期）则 年金支付在期末的终身生存年金，延期n年，年金现值 支付方式：n年缴清，每年m次（缴费不延期）则 的分析 一年分m次缴费，平均缴费时间晚于年初缴费，使保险人得到保费利息减少；一年分m次缴费，被保险人死后一年内其他时间不再缴费，

47、平均来说少于年初缴付方式下的保费，综上为得到相同的保险金额，应有例：(50)买了一份保险金额为10000元的20年普通两全寿险的保单，每年真是缴付保费两次，i=6%,在死亡均匀分布假设下计算全离散和半连续方式下的年缴纯保费。例2.（40）签发一张保险金额为5000元的全离散式25年的定期寿险，在死亡均匀分布假设下计算（1）普通年缴纯保费；（2）季缴纯保费;(3)月缴纯保费例3.(20)岁的人，购买保险金额为50000元的保单，i=6%，在死亡均匀分布假设下计算（1）全离散式普通终身寿险，（2）半连续式65岁缴清的终身寿险，（3）全离散式65岁满清的普通两全保险的月缴纯保费6.3.6节 比例净保

48、费 定义：对一定时期缴付一次保费的期缴保费保单，投保人会认为期初的缴费应该为接下来的一期提供担保，如果在期初缴费后不久被保险人出险，保险人不仅应按保险合同实施赔付，还应该按比例退还从出险到下次预计缴费期间的保费部分。实践中有的保单规定在保险赔付时退还从死亡到下次预计缴费期间的净保费。如一年 两次保费的比例净保费符号：（以终身寿险为例）（x）的比例保费方式的终身缴付的1元死亡年末赔付终身寿险的保费 ：年缴保费，每次缴付比例保费的估计 保费的退还是在死亡年末，一年分为了m个等份，在1个小等份内，用X表示某个等分区间内的死亡时间，它在 上均匀分布，在一个小区间的左端点交了保费 ，则在死亡年末应退还

49、的保费。则死亡年末退还的平均保费为：则死亡赔付同时退还 的现值为 退还发生在年末，同死亡赔付一起进行，就相当于赔付额为 的终身寿险。比例期初年金：是在被保险人死亡时退还从死亡到下次预计年金收付期间的部分收付的年金 上式左边是每年支付m次，一年支付总额为1单位元期首付n年定期年金现值，右边是n年连续支付年支付额为 记 ：（x）的每年1单位元，1年支付m次的期首付m次的期首付比例年金现值 例：求 比例保费的计算 ：死亡时赔付的n年定期两全保险，保费在h年内定期比例缴费6.3.7节 退还保费保单的净保费在保险实践中，有些保单规定在被保险人死亡时退还过去已缴净保费的累积，这种退还还通常有两种不同的规定

50、，一种是不计利息退还过去已缴净保费的累积，一种是以规定的利息累积退还过去已缴净保费部分。例6.15（135面）对(x)的n年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付10000元外，还退还过去已缴净保费的累积。假设保险赔付发生在死亡年年末，保费每年缴费一次，n年付清，计算下面情况下的年缴均衡净保费。（1）退还的保费部分不计利息 （2）退还的保费部分以不同于保单预定利率i的利率j复利累积 （3）退还的保费部分以保单定价预定利率复利累积。例6.16 对(x)的从x+n岁起每年1单位元生存年金，保险费在n年内每年缴付一次，如果被保险人在n年内死亡，则退还过去已缴净保费的累积，计算年缴净保费。毛保